光子晶體光纖等效為階躍折射率光纖

光子晶體光纖等效為階躍折射率光纖

1光子晶體光纖傳輸特性的研究石英晶體光纖（pcf）是一種由石英和空氣孔組成的結(jié)構(gòu)光譜性材料。光子晶體光纖主要分兩大類:全反射導(dǎo)光型(TIR)和光子帶隙導(dǎo)光型(PBG)。全反射導(dǎo)光型光子晶體光纖的芯區(qū)周期性位置上缺少一個空氣孔,因而其芯區(qū)折射率比光子晶體包層區(qū)的等效折射率高,可以用全反射來解釋其導(dǎo)光機(jī)制;光子帶隙導(dǎo)光型光子晶體光纖的芯區(qū)周期性位置上的空氣孔仍然存在,但孔徑與其它空氣孔不同,不能簡單地將這種光子晶體光纖解釋為全反射導(dǎo)光,必須根據(jù)光子晶體能帶理論研究帶隙結(jié)構(gòu)和傳輸特性。人們對光子晶體光纖的傳輸特性已經(jīng)展開了大量研究,建立了一些理論模型和數(shù)學(xué)分析方法,如等效折射率模型、利用各種正交基函數(shù)展開的矢量模型、平面波法、時域射線傳輸法、散射矩陣法、有限時域差分法、有限元法等等。平面波法是光子晶體理論研究中物理概念最明晰的一種方法,但其數(shù)值計算的速度和精度都比較低,一般主要用于分析光子晶體的能帶結(jié)構(gòu)。有限時域差分法和有限元法是電磁場數(shù)值分析中比較精確的常用算法,這兩種算法可以用于分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)的光纖傳輸特性,但實際程序編寫和算法設(shè)計過程都非常復(fù)雜,目前還沒有有限時域差分法和有限元法方法研究光子晶體光纖的報道。利用各種正交基函數(shù)展開的方法報道較多,尤其利用厄米-高斯函數(shù)展開的全矢量模型,可以比較準(zhǔn)確地分析光子晶體光纖的模式性質(zhì)、色散特性以及偏振特性,而且算法相對比較簡單。Birks等人最早研究光子晶體光纖時,將其與傳統(tǒng)的階躍折射率光纖類比,提出了等效折射率模型,主要用于解釋全反射型光子晶體光纖的單模特性,并指出對于光子晶體包層空氣孔較大的情況不能使用此方法,而且很少用于分析光纖的色散特性,主要原因是一般認(rèn)為其近似精度比較低。我們利用等效折射率模型對光子晶體光纖進(jìn)行了比較詳盡的研究,主要包括模式特性、傳輸常量、模場分布、功率限制特性、瑞利散射損耗特性、色散特性,等等。研究表明,等效折射率模型的計算精度并不象文獻(xiàn)指出的那么低,我們的分析結(jié)果與矢量方法得到的結(jié)論一致性比較好。本文主要利用等效折射率模型研究光子晶體光纖的模式特性、傳輸常量、模場分布、功率限制特性等,損耗特性和色散特性已經(jīng)在其它論文中詳細(xì)研究。2中心空氣柱的尺寸圖1為光子晶體光纖的橫截面示意圖,將光子晶體光纖橫截面分為半徑為a的芯層和光子晶體包層。關(guān)于芯徑a,有不同的考慮,本文選取a=Λ。包層由石英材料上周期性三角排列的均勻圓空氣柱構(gòu)成,按照周期性,芯層中心位置本應(yīng)該有一個相同的空氣柱,但實際的光子晶體光纖正是通過改變該空氣柱的尺寸而引入一個缺陷,從而實現(xiàn)光傳輸,圖1(b)所示的rc即為中心空氣柱的半徑。rc=0時,相當(dāng)于由一個石英圓柱代替一個空氣柱,即全反射導(dǎo)光型光子晶體光纖;rc>0時,仍然存在一個空氣柱,是光子帶隙導(dǎo)光型光子晶體光纖。光子晶體光纖的結(jié)構(gòu)參量還包括孔距Λ,孔徑d,一般用Λ和相對孔徑f=d/Λ來描述。2.1u3000定分法等效折射率模型提出基空間填充模式(FSM),即完美光子晶體光纖中允許的最大傳輸常量βFSM所對應(yīng)的模式。這樣,光子晶體包層可以等效成一個均勻外包層,其等效折射率為ne=βFSΜ/k0,(1)ne=βFSM/k0,(1)其中k0=2π/λ。為了得到βFSM,將光子晶體包層近似為無限大周期性結(jié)構(gòu),圖1(c)是包層中的一個單元,在空氣柱直徑d不是很大的情況下,將其正六邊形外邊界近似為圖1(d)中半徑為re的圓,re=[√3/(2π)]1/2Λre=[3√/(2π)]1/2Λ。在圖1(d)所示的一個周期性單元中,采用標(biāo)量近似,標(biāo)量場可以表示為ψexp[i(ωt-βz+mφ)],其中ψ滿足標(biāo)量波動方程:?2ψ?r2+1r?ψ?r-(β2-k20n2a+m2r2)ψ=0,r≤A,?ψ2?r2+1r?ψ?r-(k20n20-β2-m2r2)ψ=0,A≤r≤re,}(2)其中n0為石英的折射率,na為空氣的折射率,A=d/2。如果記U2c=A2(k20n20-β2)2,W2c=A2(β2-k20n2a)2?可以得到標(biāo)量場的形式為ψ=Ιm(Wcr/A),r≤A,ψ=C1Jm(Ucr/A)+C2Νm(Ucr/A),A≤r≤re,}(3)其中Im、Jm、Nm以及下文將出現(xiàn)的Km是四種形式的貝塞爾函數(shù)。利用周期性邊界條件:dψ/dr|r=re=0,以及場分量連續(xù)條件:r=A時,ψ、dψ/dr連續(xù),由式(3),可以得到m=0時關(guān)于傳輸常量β的特征方程為UcΙ0(Wc)WcΙ1(Wc)=J1(Ucre/A)Ν0(Uc)-J0(Uc)Ν1(Ucre/A)J1(Uc)Ν1(Ucre/A)-J1(Ucre/A)Ν1(Uc),(4)該方程的最大的根就是βFSM,由(1)式即可得到光子晶體包層的等效折射率ne。2.2導(dǎo)光型光子晶體光纖電場分布根據(jù)上節(jié)得到的包層等效折射率,我們可以將光子晶體光纖等效成階躍折射率的普通光纖,折射率剖面如圖1(b)所示。rc=0時,對應(yīng)的全反射型光子晶體光纖等效成階躍光纖后,利用標(biāo)量波動方程可以得到芯層和包層區(qū)域的場分布,如(5)式所示。Ey=Jm(Ur/a),0≤r≤a,Ey=A4Κm(Wr/a),r≥a,}(5)其中U2=(k20n20-β2)a2,W2=(β2-k20n2e)a2。利用邊界上的場分量連續(xù)條件可以得到系數(shù)A4的表達(dá)式和關(guān)于傳輸常量β的特征方程:A4=Jm(U)/Κm(W),UJ′m(U)Κm(W)-WJm(U)K′m(W)=0,}(6)根據(jù)特征方程得到傳輸常量后,從式(5)就可以得到全反射導(dǎo)光型光子晶體光纖中的電場分布。rc>0時,對應(yīng)帶隙導(dǎo)光型光子晶體光纖,可以將其等效成空氣芯階躍光纖,繼而利用標(biāo)量波動方程得到三個不同區(qū)域的場分布,如(7)式所示。Ey=Ιm(W1r/a),0≤r≤rc,Ey=A1Jm(Ur/a)+A2Νm(Ur/a),rc≤r≤a,Ey=A3Κm(Wr/a),r≥a,}(7)其中W21=(β2-k20n2a)a2。利用邊界連續(xù)條件,得到系數(shù)A1、A2、A3的形式和關(guān)于β的特征方程,如下所示:A1=UΙm(W1rc/a)N′m(Urc/a)-W1I′m(W1rc/a)Νm(Urc/a)UJm(Urc/a)N′m(Urc/a)-UJ′m(Urc/a)Νm(Urc/a),A2=W1Jm(W1rc/a)I′m(W1rc/a)-UJ′m(Urc/a)Ιm(W1rc/a)UJm(Urc/a)N′m(Urc/a)-UJ′m(Urc/a)Νm(Urc/a),A3=A1Jm(U)+A2Νm(U)Κm(W)}(8)UΙm(W1rc/a)N′m(Urc/a)-W1I′m(W1rc/a)Νm(Urc/a)W1Jm(Urc/a)I′m(W1rc/a)-UJ′m(Urc/a)Ιm(W1rc/a)=WK′m(W)Νm(U)-UΚm(W)N′m(U)UΚm(W)J′m(U)-WK′m(W)J(U),(9)同樣根據(jù)特征方程得到傳輸常量后,從(7)式、(8)式可以得到光子帶隙導(dǎo)光型光子晶體光纖中的電場分布。3光子晶體光纖的結(jié)構(gòu)參量和波長根據(jù)光纖理論,導(dǎo)模的傳輸常量β必須滿足:k0ne<β<k0n0,為了使數(shù)值分析結(jié)果更明晰,我們定義“歸一化傳輸常量”為:b=(β-k0ne)/(k0n0-k0ne),這一定義與傳統(tǒng)光纖中的定義不同,那么0<b<1。在本文的分析中,Λ=2.3μm,d=0.6μm,對光子帶隙導(dǎo)光型光子晶體光纖,rc=0.5μm。利用這些結(jié)構(gòu)參量,我們得到兩種光子晶體光纖的歸一化傳輸常量b隨工作波長的變化關(guān)系曲線,如圖2所示。圖2(a)是全反射導(dǎo)光型光子晶體光纖中LP01模和LP11模的b～λ曲線,圖2(b)是光子帶隙導(dǎo)光型光子晶體光纖的LP01模和LP11模的b～λ曲線。顯然,兩種光子晶體光纖的傳輸常量存在明顯差異,對相同階模式,全反射導(dǎo)光型光子晶體光纖的傳輸常量比光子帶隙導(dǎo)光型光子晶體光纖大得多,而且都隨波長增大而減小。值得注意的是,波長超過2.5μ時,LP01模仍然存在,這正是基模,而LP11模在較短波長處截止,對全反射導(dǎo)光型和光子帶隙導(dǎo)光型光子晶體光纖,截止波長λc分別約為0.74μm和0.56μm,單模工作范圍明顯比普通單模光纖要寬,當(dāng)然λc與光子晶體光纖的結(jié)構(gòu)參量有密切關(guān)系,文獻(xiàn)將光子晶體光纖的這一性質(zhì)稱為無盡單模(endlesssinglemode)。利用b(λ)或者β(λ),可以進(jìn)一步得到光子晶體光纖的時延特性和色散特性,本文不再贅述。4基模功率限制因子利用第3節(jié)得到的傳輸常量,根據(jù)(5)式和(7)式可以得到兩種光子晶體光纖中的LP01模歸一化電場分布,如圖3所示。圖3(a)和圖3(b)分別顯示工作波長為980nm和1550nm時全反射導(dǎo)光型和光子帶隙導(dǎo)光型兩種光子晶體光纖的基模場分布?？梢钥吹?波長較長的光在光纖包層區(qū)域的穿透深度較大,而波長較短的光更集中在芯層區(qū)域。由于芯層存在一半徑為rc的空氣柱,光子帶隙導(dǎo)光型光子晶體光纖的電場最大值偏離纖芯,呈環(huán)狀分布。為了更準(zhǔn)確地描述不同波長的光功率在光纖中的分布情況,我們引用光纖理論中的“功率限制因子”Γ(λ,r),其定義為Γ(λ.r)=2π∫0r∫0[E(λ,r,φ)×Η(λ,r,φ)]?ezrdrdφ/2π∫0+∞∫0[E(λ,r,φ)×Η(λ,r,φ)]?ezrdrdφ,(10)Γ(λ,r)反映了波長為λ的光,在橫截面內(nèi)半徑為r的區(qū)域中的光功率與總光功率之比。對于弱導(dǎo)光波導(dǎo),在標(biāo)量近似條件下,(10)式化簡為Γ(λ,r)=r∫0n(λ,r)E2y(λ,r)rdr/+∞∫0n(λ,r)E2y(λ,r)rdr,(11)其中n(λ,r)為波長λ時位置r處的折射率,利用上節(jié)得到的電場分布可以得到基模功率限制因子,如圖4所示。圖4(a)、圖4(b)分別是980nm和1550nm時全反射導(dǎo)光型和光子帶隙導(dǎo)光型光子晶體光纖以及兩種不同結(jié)構(gòu)的單包層階躍光纖的基模功率限制因子,單包層階躍光纖的結(jié)構(gòu)參量分別為:SMF-1:半徑4.5μm,Δ=0.3%;SMF-2:半徑2.3μm,Δ=0.3%。SMF-1即普通G.652單模光纖,SMF-2的結(jié)構(gòu)參量是考慮到將G.652光纖與光子晶體光纖對比而選取的,而且與一般的摻鉺光纖結(jié)構(gòu)參量基本一致。從圖4看到,全反射導(dǎo)光型光子晶體光纖的功率限制因子最大,980nm時,SMF-2在靠近芯層處的功率限制比SMF-1和光子帶隙導(dǎo)光型光子晶體光纖都強(qiáng);1550nm時,SMF-2的功率限制卻最弱。圖5是在半徑2.3μm的圓形區(qū)域內(nèi)四種光纖的功率限制因子隨波長的變化。顯然全反射導(dǎo)光型光子晶體光纖最大;SMF-2因其纖芯半徑較小,波長變大時,功率限制因子迅速下降;SMF-1的纖芯半徑比較大,因而功率限制因子隨波長變化較慢,波長約1.3μm時與SMF-2相等;光子帶隙導(dǎo)光型光子晶體光纖的功率限制因子隨波長變化速度處于兩種SMF之間,波長較長時功率限制因子明顯比SMF-2大。由于功率限制因子較大,如果在光子晶體光纖的芯層石英區(qū)摻入Er3+,預(yù)期可以制作比目前商用摻鉺光纖放大器效率更高的摻鉺光纖放大器。結(jié)論本文利用等效折射率模型,將光子晶體光纖等效