版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
第6章常微分方程數(shù)值解法§6.1引言§6.2歐拉方法§6.3龍格—庫(kù)塔方法微分方程數(shù)值解法§6.1引言
微分方程數(shù)值解一般可分為:常微分方程數(shù)值解和偏微分方程數(shù)值解。自然界與工程技術(shù)中的許多現(xiàn)象,其數(shù)學(xué)表達(dá)式可歸結(jié)為常微分方程(組)的定解問(wèn)題。一些偏微分方程問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為常微分方程問(wèn)題來(lái)(近似)求解。Newton最早采用數(shù)學(xué)方法研究二體問(wèn)題,其中需要求解的運(yùn)動(dòng)方程就是常微分方程。許多著名的數(shù)學(xué)家,如Bernoulli(家族),Euler、Gauss、Lagrange和Laplace等,都遵循歷史傳統(tǒng),研究重要的力學(xué)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,在這些問(wèn)題中,許多是常微分方程的求解。作為科學(xué)史上的一段佳話,海王星的發(fā)現(xiàn)就是通過(guò)對(duì)常微分方程的近似計(jì)算得到的。本章主要介紹常微分方程數(shù)值解的若干方法。微分方程數(shù)值解法1、常微分方程與解為n階常微分方程。如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]內(nèi)n階可導(dǎo),稱方程滿足方程的函數(shù)稱為微分方程的解。則如為任意常數(shù))一般稱為方程的通解。為方程的解。如果則有為方程滿足定解條件的解。一、初值問(wèn)題的數(shù)值解法微分方程數(shù)值解法方程的通解滿足定解條件的解微分關(guān)系(方程)解的圖示微分方程數(shù)值解法本教材重點(diǎn)討論定解問(wèn)題(初值問(wèn)題)定解條件(初始條件)是否能夠找到定解問(wèn)題的解取決于僅有極少數(shù)的方程可以通過(guò)“常數(shù)變易法”、“可分離變量法”等特殊方法求得初等函數(shù)形式的解,絕大部分方程至今無(wú)法理論求解。如等等微分方程數(shù)值解法2、數(shù)值解的思想(1)將連續(xù)變量離散為(2)用代數(shù)的方法求出解函數(shù)在點(diǎn)的近似值*數(shù)學(xué)界關(guān)注工程師關(guān)注如果找不到解函數(shù)數(shù)學(xué)界還關(guān)注:解的存在性解的唯一性解的光滑性解的振動(dòng)性解的周期性解的穩(wěn)定性解的混沌性……微分方程數(shù)值解法
求函數(shù)y(x)在一系列節(jié)點(diǎn)
a=x0<x1<…<xn=b處的近似值的方法稱為微分方程的數(shù)值解法。稱節(jié)點(diǎn)間距為步長(zhǎng),通常采用等距節(jié)點(diǎn),即取hi=h
(常數(shù))。稱為微分方程的數(shù)值解。所謂數(shù)值解法:微分方程數(shù)值解法稱在區(qū)域D上對(duì)滿足Lipschitz條件是指:記3、相關(guān)定義微分方程數(shù)值解法(2)一般構(gòu)造方法:
離散點(diǎn)函數(shù)值集合+線性組合結(jié)構(gòu)→近似公式4、迭代格式的構(gòu)造(1)構(gòu)造思想:將連續(xù)的微分方程及初值條件離散為線性方程組加以求解。由于離散化的出發(fā)點(diǎn)不同,產(chǎn)生出各種不同的數(shù)值方法?;痉椒ㄓ校河邢薏罘址ǎ〝?shù)值微分)、有限體積法(數(shù)值積分)、有限元法(函數(shù)插值)等等。
微分方程數(shù)值解法(3)如何保證迭代公式的穩(wěn)定性與收斂性?5、微分方程的數(shù)值解法需要解決的主要問(wèn)題(1)如何將微分方程離散化,并建立求其數(shù)值解的迭代公式?(2)如何估計(jì)迭代公式的局部截?cái)嗾`差與整體誤差?微分方程數(shù)值解法二、初值問(wèn)題解的存在唯一性
考慮一階常微分方程的初值問(wèn)題
/*Initial-ValueProblem*/:則上述IVP存在唯一解。只要在
上連續(xù),且關(guān)于y滿足Lipschitz條件,即存在與無(wú)關(guān)的常數(shù)L使對(duì)任意定義在上的都成立,微分方程數(shù)值解法三、初值問(wèn)題的離散化方法
離散化方法的基本特點(diǎn)是依照某一遞推公式,值
,取。按節(jié)點(diǎn)從左至右的順序依次求出的近似
如果計(jì)算,只用到前一步的值,則稱這類方法為單步方法。如果計(jì)算需用到前r步的值,
,則稱這類方法為r步方法。微分方程數(shù)值解法§6.2Euler方法第一步:連續(xù)變量離散化第二步:用直線步進(jìn)·····Euler格式1、Euler格式微分方程數(shù)值解法18世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)家之一,13歲時(shí)入讀巴塞爾大學(xué),15歲大學(xué)畢業(yè),16歲獲得碩士學(xué)位。
1727年-1741年(20歲-34歲)在彼得堡科學(xué)院從事研究工作,在分析學(xué)、數(shù)論、力學(xué)方面均有出色成就,并應(yīng)俄國(guó)政府要求,解決了不少地圖學(xué)、造船業(yè)等實(shí)際問(wèn)題。
24歲晉升物理學(xué)教授。
1735年(28歲)右眼失明。微分方程數(shù)值解法1741年-1766(34歲-59歲)任德國(guó)科學(xué)院物理數(shù)學(xué)所所長(zhǎng),任職25年。在行星運(yùn)動(dòng)、剛體運(yùn)動(dòng)、熱力學(xué)、彈道學(xué)、人口學(xué)、微分方程、曲面微分幾何等研究領(lǐng)域均有開(kāi)創(chuàng)性的工作。
1766年應(yīng)沙皇禮聘重回彼得堡,在1771年(64歲)左眼失明。
Euler是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家,平均以每年800頁(yè)的速度寫(xiě)出創(chuàng)造性論文。他去世后,人們用35年整理出他的研究成果74卷。
微分方程數(shù)值解法
在假設(shè)yi=y(xi),即第
i
步計(jì)算是精確的前提下,考慮的截?cái)嗾`差Ri=y(xi+1)
yi+1稱為局部截?cái)嗾`差/*localtruncationerror*/。定義2.2
若某算法的局部截?cái)嗾`差為O(hp+1),則稱該算法有p
階精度。定義2.12、歐拉法的局部截?cái)嗾`差微分方程數(shù)值解法
歐拉法的局部截?cái)嗾`差:Ri
的主項(xiàng)/*leadingterm*/歐拉法具有1階精度。微分方程數(shù)值解法例1:
用歐拉公式求解初值問(wèn)題取步長(zhǎng)。解:
應(yīng)用Euler公式于題給初值問(wèn)題的具體形式為:
其中。計(jì)算結(jié)果列于下表:
微分方程數(shù)值解法
微分方程數(shù)值解法可用來(lái)檢驗(yàn)近似解的準(zhǔn)確程度。
進(jìn)行計(jì)算,數(shù)值解已達(dá)到了一定的精度。這個(gè)初值問(wèn)題的準(zhǔn)確解為,從上表最后一列,我們看到取步長(zhǎng)微分方程數(shù)值解法3、歐拉公式的改進(jìn):
隱式歐拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似導(dǎo)數(shù)x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+
微分方程數(shù)值解法由于未知數(shù)yi+1
同時(shí)出現(xiàn)在等式的兩邊,不能直接得到,故稱為隱式/*implicit*/
歐拉公式,而前者稱為顯式/*explicit*/歐拉公式。微分方程數(shù)值解法一般先用顯式計(jì)算一個(gè)初值,再迭代求解。隱式歐拉法的局部截?cái)嗾`差:即隱式歐拉公式具有1階精度。微分方程數(shù)值解法
梯形公式
/*trapezoidformula*/—顯、隱式兩種算法的平均注:梯形公式的局部截?cái)嗾`差,即梯形公式具有2階精度,比歐拉方法有了進(jìn)步。但注意到該公式是隱式公式,計(jì)算時(shí)不得不用到迭代法,其迭代收斂性與歐拉公式相似。微分方程數(shù)值解法
中點(diǎn)歐拉公式
/*midpointformula*/中心差商近似導(dǎo)數(shù)x0x2x1假設(shè),則可以導(dǎo)出即中點(diǎn)公式具有2
階精度。微分方程數(shù)值解法方法
顯式歐拉隱式歐拉梯形公式中點(diǎn)公式簡(jiǎn)單精度低穩(wěn)定性最好精度低,計(jì)算量大精度提高計(jì)算量大精度提高,顯式多一個(gè)初值,可能影響精度微分方程數(shù)值解法
改進(jìn)歐拉法
/*modifiedEuler’smethod*/Step1:
先用顯式歐拉公式作預(yù)測(cè),算出Step2:再將代入隱式梯形公式的右邊作校正,得到1+ny微分方程數(shù)值解法微分方程數(shù)值解法注:此法亦稱為預(yù)測(cè)-校正法
/*predictor-correctormethod*/可以證明該算法具有2階精度,同時(shí)可以看到它是個(gè)單步遞推格式,比隱式公式的迭代求解過(guò)程簡(jiǎn)單。后面將看到,它的穩(wěn)定性高于顯式歐拉法。改進(jìn)的歐拉法微分方程數(shù)值解法在實(shí)際計(jì)算時(shí),可將歐拉法與梯形法則相結(jié)合,計(jì)算公式為應(yīng)用改進(jìn)歐拉法,如果序列收斂,它的極限便滿足方程微分方程數(shù)值解法改進(jìn)歐拉法的截?cái)嗾`差因此,改進(jìn)歐拉法公式具有2
階精度微分方程數(shù)值解法例2:
用改進(jìn)Euler公式求解例1中的初值問(wèn)題,
取步長(zhǎng)。解:對(duì)此初值問(wèn)題采用改進(jìn)Euler公式,其具體形式為計(jì)算結(jié)果列于下表:例1:
用歐拉公式求解初值問(wèn)題微分方程數(shù)值解法改進(jìn)的Euler法Euler法微分方程數(shù)值解法通過(guò)計(jì)算結(jié)果的比較可以看出,改進(jìn)的Euler方法的計(jì)算精度比Euler方法要高。微分方程數(shù)值解法歐拉法誤差概述微分方程數(shù)值解法6.3龍格—庫(kù)塔方法
對(duì)許多實(shí)際問(wèn)題來(lái)說(shuō),歐拉公式與改進(jìn)歐拉公式精度還不能滿足要求,為此從另一個(gè)角度來(lái)分析這兩個(gè)公式的特點(diǎn),從而探索一條構(gòu)造高精度方法的途徑.
微分方程數(shù)值解法改進(jìn)歐拉法微分方程數(shù)值解法微分方程數(shù)值解法微分方程數(shù)值解法
微分方程數(shù)值解法微分方程數(shù)值解法
微分方程數(shù)值解法三階龍格-庫(kù)塔方法三階龍格-庫(kù)塔方法是用三個(gè)值k1,k2,k3的線性組合要使三階龍格-庫(kù)塔方法具有三階精度,必須使其局部截?cái)嗾`差為O(h4)將
k1,k2,k3代入
yn+1的表達(dá)式中,在
(xn,
yn)
處用二元泰勒公式展開(kāi),與
y(xn+1)在xn處的泰勒展開(kāi)式比較微分方程數(shù)值解法類似二階龍格-庫(kù)塔方法的推導(dǎo)過(guò)程,8個(gè)待定系數(shù)c1,c2,c3,a2,a3,b21,b31,b32應(yīng)滿足:8個(gè)未知參數(shù),6個(gè)方程,有無(wú)窮多組解三階龍格庫(kù)塔公式微分方程數(shù)值解法四階Runge-Kutta方法微分方程數(shù)值解法附注:二階Runge-Kutta方法的局部截?cái)嗾`差只能達(dá)到
五階Runge-Kutta方法的局部截?cái)嗾`差只能達(dá)到
四階Runge-Kutta方法的局部截?cái)嗾`差只能達(dá)到
三階Runge-Kutta方
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 蘇教版六上科學(xué)全冊(cè)課件人類文明與科技發(fā)展
- 地理現(xiàn)象的驅(qū)動(dòng)因素解析
- 一年級(jí)文具教學(xué)問(wèn)題與解決策略
- 鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)英國(guó)殖民主義的暴行
- 北師大比教學(xué)設(shè)計(jì)新視角
- 整式的運(yùn)算規(guī)律
- 精準(zhǔn)復(fù)習(xí)蘇教版物理關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)
- 地球海陸變遷的自然力量
- 蘇教版橢圓選修課解讀幾何性質(zhì)的謎團(tuán)
- 2023-2024學(xué)年四川省蒼溪縣中考英語(yǔ)猜題卷含答案
- 口腔生物學(xué)復(fù)習(xí)全新版整理
- 產(chǎn)品模擬召回方案
- 電鍍鋅原理及工藝流程56169
- 節(jié)假日公車封條模版
- 計(jì)量器具管理
- 室內(nèi)裝飾裝修工程竣工報(bào)告
- 大體積混凝土測(cè)溫記錄
- 21剖宮產(chǎn)術(shù)前討論術(shù)后審核制度
- 1重慶房屋建筑與裝飾工程計(jì)價(jià)定額-建筑工程
- 司庫(kù)型企業(yè)集團(tuán)財(cái)務(wù)公司淺議
- 股票分析入門(mén)整理-入眠
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論