關(guān)于微積分課程內(nèi)容設(shè)計(jì)的思考

關(guān)于微積分課程內(nèi)容設(shè)計(jì)的思考

本文論述了背景來(lái)源、思想方法、過(guò)程、實(shí)踐和特點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)了應(yīng)用，反思了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值。這是數(shù)學(xué)新課程為促進(jìn)課程教育而提出的課程理念。為了將這一理念落實(shí)到課程內(nèi)容-微觀課程的設(shè)計(jì)中，有必要從以下五個(gè)方面探討：數(shù)學(xué)的歷史和地位；基本的思維方式：為什么我們要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？在舊時(shí)期的課程中，數(shù)學(xué)內(nèi)容和處理的特點(diǎn)需要理解和思考。導(dǎo)數(shù)概念的形成。1以動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)研究切線、極大、極小值微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱.積分學(xué)源自曲線的長(zhǎng)度、區(qū)域的面積、物體的體積的計(jì)算方法.比如古希臘的Eudoxusde的窮竭法和Archimedes的平衡法,中國(guó)魏晉時(shí)期劉徽的割圓術(shù)和祖沖之的圓周率的計(jì)算以及祖求體積的祖原理,意大利的B.Cavaliera的不可分量方法(即祖原理).這些先驅(qū)者的方法奠定了積分學(xué)的基礎(chǔ).微分學(xué)的起源比積分學(xué)晚.它主要源自求曲線的切線、運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度、一些問(wèn)題的極大極小值.在17世紀(jì)之前,人們只是以靜態(tài)的觀點(diǎn)處理切線問(wèn)題.把切線看做是與曲線只在一點(diǎn)接觸且不穿過(guò)曲線的“切觸線”,與動(dòng)態(tài)變化無(wú)關(guān).對(duì)切線、極大極小問(wèn)題的研究遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及對(duì)弧長(zhǎng)、面積、體積問(wèn)題的研究.直到17世紀(jì),微分學(xué)問(wèn)題的討論才有了實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展——以動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)研究切線、極大、極小問(wèn)題.例如,法國(guó)的G.P.deRoberval從物理學(xué)的角度,利用兩個(gè)運(yùn)動(dòng)分量的合成向量來(lái)求拋物線的切線.而Fermat于1629年給出了求極大、極小值的一般方法:設(shè)f(x)在x處有極大值或極小值,并設(shè)e是一個(gè)很小的量,那么f(x+e)與f(x)很接近.由方程f(x+e)-f(x)e|e=0=0f(x+e)?f(x)e|e=0=0求出x=x0,這就是所求極值點(diǎn)的橫坐標(biāo).Fermat的方法實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)代微分學(xué)中所用的方法,只是把△x寫成了e而已.也就是說(shuō),Fermat給出了一個(gè)統(tǒng)一的無(wú)窮小方法,用以解決求極值問(wèn)題和切線問(wèn)題.Ⅰ.Barrow運(yùn)用“微分三角形”求曲線的切線.更重要的是,Barrow在其《光學(xué)和幾何學(xué)講義》中以幾何形式反映了切線問(wèn)題是面積問(wèn)題的逆問(wèn)題.遺憾的是他沒(méi)有意識(shí)到這兩類問(wèn)題(微分和積分)的互逆關(guān)系.在17世紀(jì)上半葉之前,求切線、速度、極大極小值、長(zhǎng)度、面積、體積等問(wèn)題被作為不同類型的問(wèn)題予以研究和解決的,而且方法缺乏一般性,沒(méi)有人明確提出微分和積分的互逆關(guān)系.因此,需要人從一般性和統(tǒng)一性的高度將過(guò)去分散的成果予以概括.而Ⅰ.Newton和G.W.Leibniz正是這樣的偉人.他們建立了微積分基本定理:微分與積分互為逆運(yùn)算.從此,計(jì)算微分、積分不再需要一些特殊的方法來(lái)進(jìn)行個(gè)別處理,而可以統(tǒng)一來(lái)處理,從而使微積分不再成為幾何學(xué)的一部分,而成為一門獨(dú)立的學(xué)科.微積分的誕生是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)重要轉(zhuǎn)折點(diǎn).從古希臘繼承下來(lái)的舊數(shù)學(xué)是常量數(shù)學(xué),而由微積分的建立帶來(lái)的新數(shù)學(xué)則是變量數(shù)學(xué).舊數(shù)學(xué)是固定的、靜態(tài)的、有限的,而新數(shù)學(xué)則是運(yùn)動(dòng)的、變化的、無(wú)限的.微積分的出現(xiàn)不但改變了數(shù)學(xué)的面貌,也由于其廣泛應(yīng)用于其他自然學(xué)科而推動(dòng)了科學(xué)的進(jìn)步,促進(jìn)了人類經(jīng)濟(jì)、社會(huì)的發(fā)展,具有劃時(shí)代的意義.微積分是“數(shù)學(xué)中一步真正的發(fā)展”,是“更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)現(xiàn)”.恩格斯評(píng)價(jià)道:“在一切理論成就中,未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的勝利了.如果在某個(gè)地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績(jī),那正是在這里.2轉(zhuǎn)的結(jié)果,是表面運(yùn)動(dòng)常量數(shù)學(xué)是以靜態(tài)的、不變的、有限的觀點(diǎn)去研究問(wèn)題,而微積分是變量數(shù)學(xué),它以動(dòng)態(tài)的、變化的、無(wú)限的觀點(diǎn)來(lái)研究問(wèn)題.Newton認(rèn)為:線是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的結(jié)果,角是它的邊旋轉(zhuǎn)的結(jié)果,體是表面運(yùn)動(dòng)的結(jié)果;變量是運(yùn)動(dòng)著的點(diǎn),叫流動(dòng)量,運(yùn)動(dòng)的速度叫流數(shù),流數(shù)是流動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù).Newton用路程的改變量△S與時(shí)間的改變量△t的比△S△t表示物體運(yùn)動(dòng)的平均速度,令△t無(wú)限逼近于0,就得到該物體的瞬時(shí)速度,并由此建立了導(dǎo)數(shù)的概念.總而言之,微積分是通過(guò)靜態(tài)的逐步逼近而把握動(dòng)態(tài),通過(guò)有限去認(rèn)識(shí)無(wú)限,利用近似去探索精確,是辯證法在數(shù)學(xué)上的體現(xiàn).無(wú)窮小的思想方法、逼近的思想方法、用有限研究無(wú)限的思想方法、量變到質(zhì)變的辯證統(tǒng)一的思想方法是微積分的基本思想方法.3為什么我們要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)3.1數(shù)學(xué)課程內(nèi)容設(shè)計(jì).對(duì)于提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值的認(rèn)識(shí),建議做到從單一、單學(xué)生通過(guò)解決數(shù)學(xué)上和社會(huì)生產(chǎn)生活中的各種問(wèn)題,如切線問(wèn)題、速度及加速度問(wèn)題、邊際成本和邊際利潤(rùn)問(wèn)題、面積問(wèn)題、體積問(wèn)題、壓力及功的問(wèn)題、最大最小等優(yōu)化問(wèn)題,逐步認(rèn)識(shí)和體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值、科學(xué)價(jià)值和文化價(jià)值.3.2使學(xué)生體會(huì)變量數(shù)學(xué)的思想方法,發(fā)展學(xué)生的辯證思維能力通過(guò)學(xué)習(xí)微積分,使學(xué)生學(xué)會(huì)以動(dòng)態(tài)的、變化的、無(wú)限的變量數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來(lái)研究問(wèn)題,而不僅僅是停留在靜態(tài)的、不變的、有限的常量數(shù)學(xué)觀點(diǎn)上.在學(xué)習(xí)過(guò)程中逐步體會(huì)常量與變量、有限與無(wú)限、近似與準(zhǔn)確、動(dòng)與靜、直與曲的對(duì)立與統(tǒng)一,發(fā)展學(xué)生的辯證思維能力.3.3不斷的演繹形式在大學(xué)里,學(xué)生學(xué)習(xí)微積分問(wèn)題的主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面:(1)作為科學(xué)的微積分,其定義是精確的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、抽象?其展開(kāi)陳述方式是公理化基礎(chǔ)之上的邏輯演繹的形式,這就給學(xué)生的理解帶來(lái)困難;(2)中國(guó)大學(xué)微積分的教學(xué)方式主要是由原理到例子的同化方式,較側(cè)重于邏輯形式的演繹.重形式,輕背景;重計(jì)算、輕理解;重邏輯,輕應(yīng)用.學(xué)了導(dǎo)數(shù),不知道導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義.其結(jié)果是,學(xué)生認(rèn)為微積分是數(shù)學(xué)家把玩的符號(hào)游戲,從而對(duì)微積分失去了興趣.在高中學(xué)比較原始、直觀和現(xiàn)實(shí)的微積分,使學(xué)生了解微積分的現(xiàn)實(shí)背景、應(yīng)用背景,體會(huì)微積分的思想方法,為大學(xué)微積分的學(xué)習(xí)奠定好認(rèn)知的基礎(chǔ).從而可以在一定程度上解決上述問(wèn)題.4極限、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在大學(xué)中,微積分內(nèi)容編排的結(jié)構(gòu)基本上是“數(shù)列極限—函數(shù)極限—函數(shù)的連續(xù)性—導(dǎo)數(shù)與微分—中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用—不定積分—定積分—定積分的應(yīng)用”.而導(dǎo)數(shù)的概念是在函數(shù)極限的ε-δ定義的基礎(chǔ)上來(lái)學(xué)習(xí).導(dǎo)數(shù)的極限定義是準(zhǔn)確的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹⒊橄蟮目茖W(xué)概念,理解起來(lái)有一定的難度.過(guò)去的高中教材,不管是甲種本、實(shí)驗(yàn)本還是實(shí)驗(yàn)修訂本,其結(jié)構(gòu)與大學(xué)微積分基本一致.導(dǎo)數(shù)概念還是在講了數(shù)列極限、函數(shù)極限之后,用極限來(lái)定義導(dǎo)數(shù).例如,實(shí)驗(yàn)修訂本第三冊(cè)(選修Ⅱ)中是這樣敘述導(dǎo)數(shù)概念的:如果當(dāng)△x→0時(shí),△y/△x有極限,我們就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),并把這個(gè)極限叫做函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)(或變化率).由于教學(xué)的重心被難以理解的極限定義牽扯,微積分教學(xué)實(shí)際上走進(jìn)了機(jī)械的、操作性規(guī)則的教學(xué)誤區(qū),忽視和影響了微積分思想方法的理解.缺乏背景材料、遠(yuǎn)離社會(huì)實(shí)際、抽象枯燥的微積分變成了師生沉重的負(fù)擔(dān).新課程的微積分在內(nèi)容處理上有了新的突破:(1)不學(xué)極限概念來(lái)學(xué)導(dǎo)數(shù)概念.直接通過(guò)實(shí)際背景和具體應(yīng)用實(shí)例(速度、膨脹率、效率、增長(zhǎng)率等)來(lái)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)平均變化率和瞬時(shí)變化率之間的關(guān)系,從而抽象概括出導(dǎo)數(shù)的概念.(2)在內(nèi)容的選擇上,把重點(diǎn)放在導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)用上,以體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)作為解決許多實(shí)際問(wèn)題的一般性和有效性.(3)在內(nèi)容安排上,更加關(guān)注微積分的現(xiàn)實(shí)背景及其應(yīng)用、微積分的基本思想、微積分與其他學(xué)科的聯(lián)系.5數(shù)學(xué)的概念的形成5.1極限、無(wú)窮小悖論在微分學(xué)中,導(dǎo)數(shù)概念的建立最為關(guān)鍵.從微分學(xué)發(fā)展的歷史可以知道,極限概念是導(dǎo)數(shù)概念的核心基礎(chǔ),沒(méi)有了極限過(guò)程也就沒(méi)有了導(dǎo)數(shù).極限是導(dǎo)數(shù)不能回避的概念.因此,從科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊饬x上說(shuō),不教極限是沒(méi)法教導(dǎo)數(shù)的.那么標(biāo)準(zhǔn)中為何又提出不學(xué)極限來(lái)學(xué)導(dǎo)數(shù)呢?問(wèn)題的關(guān)鍵是“教”與“學(xué)”,即你如何教,教到什么程度?你如何學(xué),學(xué)什么?是注重嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x還是注重本質(zhì)的思想?是注重結(jié)論還是注重過(guò)程?是注重形式計(jì)算還是注重理解與實(shí)際應(yīng)用?一句話,是科學(xué)數(shù)學(xué)還是教育數(shù)學(xué)的問(wèn)題?答案顯然是后者.數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容不是科學(xué)數(shù)學(xué)本身,科學(xué)數(shù)學(xué)僅僅是為數(shù)學(xué)教育的資源庫(kù).對(duì)科學(xué)數(shù)學(xué)提供的素材進(jìn)行教學(xué)重構(gòu)就得到教育數(shù)學(xué),它才是數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容.因此,不學(xué)極限來(lái)學(xué)導(dǎo)數(shù)是基于數(shù)學(xué)教育的需要.另一方面,導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)中爭(zhēng)論的主要原因是極限概念.在歷史發(fā)展進(jìn)程中,極限概念不是一下子就嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?例如,Newton指出:“兩個(gè)量和量之比,如果在有限時(shí)間內(nèi)不斷趨于相等,且在這一時(shí)間終止前互相靠近,使得其差小于任意給定的差別,則最終就成為相等.”這個(gè)定義的表述并不嚴(yán)謹(jǐn),只是接近于極限的直觀表述:如果當(dāng)x無(wú)限接近x0時(shí),f(x)無(wú)限地接近于常數(shù)A,那么就說(shuō)f(x)以A為極限.由于極限概念的不嚴(yán)謹(jǐn),導(dǎo)致了無(wú)窮小悖論的出現(xiàn):簡(jiǎn)言之,增量△x在作差商時(shí)不等于零,約簡(jiǎn)后又等于零.英國(guó)大主教B.G.Berkeley(1685-1753)攻擊微分學(xué)的推導(dǎo)是“分明的詭變”.法國(guó)數(shù)學(xué)家A.L.Cauchy(1789-1857)把無(wú)窮小視為以零為極限的變量,解決了無(wú)窮小“似零非零”的悖論.他指出:當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無(wú)限趨近于一個(gè)定值,最終使變量的值和該定值之差要多小就多小,這個(gè)定值就叫做所有其他值的極限值.”Cauchy的這一極限定義依然使用了幾何直觀的語(yǔ)言,如“無(wú)限趨近”,“要多小就多小”,依然不夠嚴(yán)謹(jǐn).而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摩?δ定義是由德國(guó)數(shù)學(xué)家K.T.L.Weierstrass(1815-1897)給出.由極限定義的精確化過(guò)程可知,在極限的ε-δ定義出現(xiàn)之前,人們對(duì)極限的理解是基于幾何直觀的.這符合人類認(rèn)識(shí)的發(fā)展水平.因此,作為教育數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)概念完全可以用直觀的極限來(lái)描述和理解導(dǎo)數(shù)概念.關(guān)于如何學(xué)習(xí)、理解和運(yùn)用抽象的函數(shù)概念,前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿.尼.柯莫戈洛夫(1903-1987)已經(jīng)為我們作了精辟的詮釋:“數(shù)學(xué)不能從定義開(kāi)始.去定義一些概念,我們就不可避免地要在這些定義中應(yīng)用一些其他的概念.當(dāng)我們不理解一些概念的含義時(shí),我們就不能前進(jìn)一步,不能表述出任何一個(gè)定義.因此,任何一個(gè)數(shù)學(xué)理論的敘述要從一些不用定義的概念開(kāi)始.用它們就已經(jīng)可能去表述深入一步的任意的概念.人們?nèi)绾位ハ嘟忉屪约簩?duì)基礎(chǔ)概念的理解呢?對(duì)于這一點(diǎn)沒(méi)有其他方法,只有在例子中借助于對(duì)確定事物典型性質(zhì)的詳細(xì)描述來(lái)闡明.這些描術(shù)可以在細(xì)節(jié)上不完全清楚并且可以不徹底.但是具有足夠清晰程度的概念的內(nèi)涵就可以逐漸從它們中顯示出來(lái).”綜上所述,數(shù)學(xué)教育的內(nèi)容是教育數(shù)學(xué)不是科學(xué)數(shù)學(xué);極限概念的精確化過(guò)程說(shuō)明,幾何直觀的極限概念符合人類認(rèn)知的發(fā)展水平;蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家阿.尼.柯莫戈洛夫已經(jīng)為我們處理抽象的數(shù)學(xué)概念指明了方向.所以,高中數(shù)學(xué)新課程提出不學(xué)極限來(lái)學(xué)導(dǎo)數(shù)是必要的,也是可行的.那么如何具體實(shí)施呢?5.2用于計(jì)算概念的課程設(shè)計(jì)(1)a公司的產(chǎn)量問(wèn)題1已知A公司某種產(chǎn)品的成本函數(shù)C(x)=0.015x2+15x+3000,收入函數(shù)R(x)=90x-0.01x2.試確定A公司的產(chǎn)量為多少時(shí),平均利潤(rùn)最大?問(wèn)題2從西到東的鐵路干線經(jīng)過(guò)A、B兩個(gè)城市.已知A與B相距150公里,某工廠C位于B城市正北20公里處.現(xiàn)在要從A城市把貨物運(yùn)往工廠C.如果鐵路運(yùn)費(fèi)是3元/公里,公路運(yùn)費(fèi)是5元/公里,那么應(yīng)從鐵路干線上何處筑起到工廠C的公路,才能使運(yùn)費(fèi)最省?(2)實(shí)現(xiàn)平均變化率設(shè)點(diǎn)P(x1,y1)和點(diǎn)Q(x2,y2)是直線y=kx+b上的任意兩點(diǎn),則有y的改變量x的改變量=△y△x=y2-y1x2-x1=(kx2+b)-(kx1+b)x2-x1=k(方程y=kx+b中x的系數(shù))比率△y/△x表示由x的改變量△x引起的y的平均變化率.它與該直線上那兩點(diǎn)P和Q的位置沒(méi)有關(guān)系,它就是該直線的斜率,k>0表示平均變化率增加,k<0表示平均變化率減少.例1已知生產(chǎn)某型號(hào)的計(jì)算器x臺(tái)的成本由成本函數(shù)C(x)=45x+6000確定.試求:(1)生產(chǎn)150臺(tái)該型號(hào)的計(jì)算器的成本;(2)生產(chǎn)160臺(tái)該型號(hào)的計(jì)算器的成本;(3)每天生產(chǎn)計(jì)算器的數(shù)量x從150增加到160時(shí),成本的平均變化率;(4)生產(chǎn)第1001臺(tái)計(jì)算器的成本;(5)生產(chǎn)x臺(tái)計(jì)算器的平均成本函數(shù)A(x);(6)生產(chǎn)5000臺(tái)計(jì)算器的平均成本.例2某公司預(yù)計(jì)每天生產(chǎn)x只手機(jī)電池的成本(元)是C(x)=0.01x2+20x+3000.如果每天生產(chǎn)的數(shù)量由100增加到120,那么成本增加的平均變化是多少?(3)x.0.產(chǎn)品種類的邊際利潤(rùn)數(shù)在例2中,當(dāng)產(chǎn)量從100增加到120時(shí),每個(gè)單位產(chǎn)品的成本增加的平均變化率為△C△x=C(120)-C(100)120-100=22.20元.需要注意的是,這并不是說(shuō)對(duì)每個(gè)增加的電池成本實(shí)際增加為22.20元.例如,當(dāng)產(chǎn)量從100增加到101時(shí),增加的成本只是C(101)-C(100)=5122.01元-5100元=22.01元.一般地,生產(chǎn)x只產(chǎn)品,對(duì)成本函數(shù)C(x),每個(gè)單位產(chǎn)品成本的變化率△C△x并沒(méi)有給出在一個(gè)特別瞬時(shí)產(chǎn)量的變化率.為了求產(chǎn)量x=100時(shí),成本增加的變化率,我們?cè)O(shè)產(chǎn)量由100增加到100+△x,此處△x很小.于是,對(duì)于增加的△x個(gè)產(chǎn)品,成本的平均變化率由差商△C△x=C(100+△x)-C(100)△x=22△x+0.01(△x)2△x=22+0.01△x確定.由于△x很小,上述差商近似等于22.當(dāng)△x充分接近0時(shí),它充分接近常數(shù)22.常數(shù)22叫做成本函數(shù)C(x)在x=100時(shí)的瞬時(shí)變化率.它說(shuō)明,產(chǎn)量x=100時(shí),再生產(chǎn)一只電池,成本增加22元.相應(yīng)地,它也叫做產(chǎn)量x=100時(shí)的邊際成本.類似地,可以計(jì)算出產(chǎn)量x=120時(shí)的邊際成本為22.40元.產(chǎn)品銷售量為x的銷售收入R(x)是x的函數(shù),稱為收入函數(shù).類似地,我們把銷售量為x時(shí)的邊際收入定義為收入函數(shù)R(x)在x處的瞬時(shí)變化率,即:在△x充分接近0時(shí),差商△R△x=R(x+△x)-R(x)△x充分接近的常數(shù).這個(gè)常數(shù)表示,銷售量為x個(gè)單位時(shí),再售出一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的收入數(shù).如果R(x)是收入函數(shù),C(x)是成本函數(shù),那么利潤(rùn)函數(shù)P(x)=R(x)-C(x).我們可以類似地理解邊際利潤(rùn)的意義.例3已知某種產(chǎn)品的成本函數(shù)C(x)=0.015x2+15x+3000,收入函數(shù)R(x)=90x-0.01x2.試求銷售量x=100時(shí)的邊際利潤(rùn)(單位:元).解利潤(rùn)函數(shù)P(x)=R(x)-C(x)=-0.025x2+75x-3000.當(dāng)x=100時(shí),差商△Ρ△x=Ρ(100+△x)-Ρ(100)△x=70-0.025△x.于是,當(dāng)△x充分接近0時(shí),該差商就充分接近一個(gè)