對(duì)幻六邊形數(shù)學(xué)特性及其構(gòu)造方法研究

三階幻六邊形，也稱阿達(dá)莫斯幻方，是指將1～19自38。美國人阿達(dá)莫斯花費(fèi)了47年，在1957年時(shí)才將其構(gòu)5、內(nèi)環(huán)和外環(huán)的數(shù)字組成及排7階?；昧呅蔚奶厥庑郧?正 一 推導(dǎo)并得出公式結(jié) 二 研究幻六邊形的對(duì)稱 三 找出可能的奇偶數(shù)分布 四 綜合使用上述方法構(gòu)造幻 五 對(duì)四階幻六邊形的研 討 致 參考書 47年的時(shí)間！1962年阿達(dá)莫斯先生發(fā)表這個(gè)幻方的47WilliamMDalyGWAnderson1963年用IBM1620196729種排列的方法論證的。1964年，CharlesWTrigg以手工驗(yàn)算1896種排列圖的方式重新驗(yàn)證了此結(jié)果。CharlesWTrigg提出的。這是在其唯一性證明方案中使用的一種他稱之為“MethodofSearch”的方法。然而這種方法實(shí)質(zhì)上18969種奇偶數(shù)分布即可構(gòu)造出幻六邊形，并同時(shí)證明唯一A?a??a??a??a??B?b??b??b??b???b??b??b??b??b??b???b??b??b???b??b??b?再將各行列上的數(shù)字之和用1代表（如右圖3 ?13?3Φ?A?b??114?Φ?38?A3○4?9 ?14?2Δb??A

Δb?Δb?

?? ?2?7?12?2Δb??A A?2Δb??1? ? ?10?11?15?2b??2Δb?228?b??Δb?3Φ?A?114?b??Δb?????A?A?2Φ? Δb?114?b??A?3Φ?38??b??114?Δb?A?Δb??A?38?Φ?2A?3Φ?76? A?114?b??A?2b??3?1?Φ?38?3?5??6??b?A?3Φ?38??76Φ?8?A?2b???1?由A?2Φ?38可知，A?2?由b??A?Δb?76?Φ可知，b?、Δb、Φ?4?A????1?2?3?4?5?7?22（A為偶數(shù)，而1?2?3?4?Φ??22?A?39?Δb?68?b???7?9?11?36，此時(shí)Φ1，顯然矛盾；而2?4?6?8?10?1242?36 51315個(gè)3時(shí)，在已知了Φ?5，A?2?4?6?8?1?7?28三、找出可能的奇偶數(shù)分布圖（圖中代表奇數(shù)，代表偶數(shù)導(dǎo)方式，一共可以排出9種分布圖。3奇?2121奇?21奇（鄰21奇?21奇（對(duì)3偶?2121偶?21偶（鄰21偶?21偶（對(duì)9種奇偶數(shù)分布圖是可能適用的，那么還能不能繼續(xù)縮小范圍呢？經(jīng)過證明，?10?12?42?36，不滿足要求，故①可被排除。③～⑨也可被證明不適用9種奇偶數(shù)分布圖的一個(gè)最大好處就是可以更加簡(jiǎn)便地證明其唯一性。因1963年，WilliamM.DalyHoneywell‐800196729種布局9種奇偶數(shù)分布圖再進(jìn)行分析證明，只需分析9?4?36種數(shù)值組合即可。因?yàn)槊恳环N分布圖中Φ4種取值，1、3、5、72、4、6、8；3635以a?為關(guān)鍵點(diǎn)分析，令a??1816、14、12、10、8、6、4、2，舉a?18為例已知b??a??a??b???38?b??a??a??21890，90??2?20??18?滿足要求。依次令a?為16、14、12、10、8、6、4、2皆存矛盾現(xiàn)象。A?24?1?3?5?9?2?根據(jù)對(duì)稱性三，6不能出現(xiàn)在?b任一位置上，只可能在b?或b??（b?）處。若在b?處，則需要其兩側(cè)有兩個(gè)32，但是這四個(gè)數(shù)逐一放到b??的位置上驗(yàn)證。當(dāng)b???13，b??19，推出a??a???1?539在a?與a?處，由對(duì)稱性三得出b??19，與b?沖突，反之亦然當(dāng)b???15，b??17，推出a??a??8?3?519在a?與a?b??17，與b?沖突，反之亦然。所以當(dāng)Φ?7布圖不滿足構(gòu)造要求。再令Φ?1、3、5，按同樣方式分析，都會(huì)出現(xiàn)矛盾，故此對(duì)圖⑤的排除：7以?1?為例，a??a?的最小可能值是10?2?12，此時(shí)Φ否b???20超出范圍，故Φ?6，b??8，這就要求a??a??2（

Φ2、4、6、8，先令Φ?8，則此時(shí)A?22?1?3?5?7?2?18、16、14、12、10、6中能組38的組合只有18?14?6和16?12?10，故當(dāng)Φ?8時(shí)不滿足要求。再令Φ?2、4

Φ?2，A?4?6?8??12?1?3Φ?4，A??6?8?10?1?只能出現(xiàn)在a?處或a?處（此時(shí)a?處只能填2），如下圖所示： 再令Φ?2也會(huì)出現(xiàn)如上矛盾，故此分布圖不適用。18偶數(shù)內(nèi)，只能找出6、14、18與10、12、162、4、8Φ、a?、a?先令Φ?8，則A?38?16?22?1?3?7?2?4a?、a?：1、3?b?? a?、a?：5、7?b???20（舍去a?、a?：1、5?b?? 盾a?、a?：1、7?b??16 a?a?：35?b???16，16重復(fù)出現(xiàn)兩次不合要求；所以當(dāng)Φ?8時(shí)，此分布圖不滿足構(gòu)造要求。再令Φ?2或4也都會(huì)出現(xiàn)矛盾，證合：Φ?2，A?4?6?8?10?1?5?b??b??3012?1814?16Φ?2，A?4?6?8?12?1?3?b???32?14?Φ?4，A?2?6?8?10?1?3?b??b??30?12?18或14?ΦA(chǔ)ΦA(chǔ)1357?1?Φ?7此時(shí)A?38?2Φ?24，且由2個(gè)奇數(shù)與4個(gè)偶數(shù)組成，則只可能是2??7?1?318143路的并行計(jì)算，立刻發(fā)現(xiàn)b?與b15，而這是幻方所不允許的，故Φ?7不滿足幻方要求，證畢。?2?Φ?3?1?A?2?4?6?8?1?1110、12、1614、?2?A?2?4?6?8?5?710、12、1614、?3?A?2?4?6?10?1?98、14、1612、?4?A?2?4?6?10?1?98、12、1814、?5?A?2?4?8?10?1?76、14、1812、?6?A?2?6?8?10?1?54、16、1812、14?3?Φ?1?1?A?2?4?6?8?3?1310、12、1614、?2?A?2?4?6?8?5?1110、12、1614、?3?A?2?4?6?8?7?910、12、1614、?4?A?2?4?6?10?3?118、14、1612、?5?A?2?4?6?10?3?118、12、1814、?6?A?2?4?6?10?5?98、14、1612、?7?A?2?4?6?10?5?98、12、1814、?8?A?2?4?8?10?3?96、14、1812、?9?A?2?4?8?10?5?76、14、1812、?10?A?2?6?8?10?3?74、16、1812、Φ?5這個(gè)唯一可能了，當(dāng)Φ?5時(shí)，只有3種小情況。?1?A?2?4?6?12?1?38、14、1612、?2?A?2?4?8?10?1?36、14、1812、★?3?A?2?4?6?8?1?710、12、1614、對(duì)36種布局的簡(jiǎn)單分析，不僅得出了幻六邊形的排列，還在同時(shí)證明了其唯一性。用3～39共37個(gè)數(shù)字組成的新圖字之和均為111，若不按照上述原由3～39共37個(gè)數(shù)字組成的幻方A?a??a??a??a??a????????b??????? ??b??????????b??b??b?? ?b??b????c??c??c??c???c???c???c??c??c??c??c?c??c???c???c???c???c??????????????? ?????????????1?Φ?b??3?b???222Φ??A??Δb??b???c???Δc?

?5?b???c???444?6??7?Φ?A??b??8??c??? 著色三角形節(jié)點(diǎn)6個(gè)數(shù)字

著色梯形節(jié)點(diǎn)9個(gè)數(shù)字之

內(nèi)部三角形節(jié)點(diǎn)6數(shù)字之點(diǎn)3個(gè)數(shù)字之和相等。

每個(gè)著色六邊形?頂點(diǎn)數(shù)字?2?中點(diǎn)數(shù)字?值與另一同色六邊形相等。A環(huán)中都存在四個(gè)相連的數(shù)字其和為31，如5?7?11?8?31，5?11?7?86?8?5?12?31，6?12?8?5?31A與?b3三階幻六邊形“對(duì)稱性三”在四階上的擴(kuò)展，因?yàn)樵谌A中有?b?A?3Φ與?b3ΦA(chǔ)Φ之和等于?b對(duì)邊的數(shù)字。如最后一圖中A?50，?b?50，則圖中?b的14?5?9，19?10?9，16?10?6，18?12?620?8?12，13?8?5……Φ為某一值，計(jì)算b’?111?列舉出?axis??3組無重復(fù)數(shù)字的組合??x??,?y??,在?x??,?y??,?z??6數(shù)字之和為b?，標(biāo)記為得到知5131等推導(dǎo)路徑。9種是可能存在的，繼續(xù)縮小范圍又會(huì)發(fā)現(xiàn)只有②才是Daly196729種布局、CharlesWTrigg1896種外圈排列方式相3～7階幻六邊形與各種傳統(tǒng)正方形幻方可以總結(jié)出：在具有對(duì)稱性且有特定中9種可能的奇偶數(shù)分布圖中，唯一適用的一種（②）是唯一一個(gè)關(guān)此種方法可否用于解決高階幻方？4階已推導(dǎo)出不少公式、對(duì)稱性與一部分奇偶數(shù)34 52735694675??其

并可能回答猜想7所提出的問題；RogenBacon曾說：“數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門和