數(shù)學(xué)建模講義

數(shù)學(xué)建模講義建模概論與初等模型風(fēng)洞中的飛機(jī)…——物理模型地圖、電路圖…——符號(hào)模型模型是為了一定目的，對(duì)客觀事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物。模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征.我們常見(jiàn)的模型什么是數(shù)學(xué)模型一、數(shù)學(xué)建模概論玩具、照片……——實(shí)物模型數(shù)學(xué)模型

(MathematicalModel)數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling)數(shù)學(xué)建模指建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程。 ——包括模型建立、求解、分析、檢驗(yàn)。數(shù)學(xué)模型——對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)建?！抢脭?shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的一種實(shí)踐過(guò)程.即通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過(guò)程后,將實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，以建立起數(shù)學(xué)模型,然后運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解.觀點(diǎn)：“所謂高科技就是一種數(shù)學(xué)技術(shù)”數(shù)量關(guān)系1.解釋——孟德?tīng)栠z傳定律的“3:1”數(shù)學(xué)建模三大功能——解釋,判斷,預(yù)見(jiàn)美國(guó)原子能委員會(huì)提出如下處理濃縮放射性廢物：封裝入密封性很好的堅(jiān)固的圓桶中，沉入300ft的海里，而一些工程師提出質(zhì)疑？需要判斷方案的合理性。2.判斷——放射性廢物處理3.預(yù)見(jiàn)——谷神星的發(fā)現(xiàn)行星的軌道半徑水、金、地、火、木、土1781年,利用這個(gè)結(jié)果發(fā)現(xiàn)了天王星,1802年，發(fā)現(xiàn)了谷神星與3對(duì)應(yīng)(有故事)，之后還發(fā)現(xiàn)了海王星、冥王星。你碰到過(guò)的數(shù)學(xué)模型——航行問(wèn)題用x表示船速，y表示水速，列出方程：求解得到x=20,y=5,答：船速每小時(shí)20公里. 甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問(wèn)船的速度是多少？航行問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟

作出簡(jiǎn)化假設(shè)(船速、水速為常數(shù),方向一致);

用符號(hào)表示有關(guān)量(x,y表示船速和水速)；

用物理定律(勻速運(yùn)動(dòng)的距離等于速度乘以時(shí)間)列出數(shù)學(xué)式子(二元一次方程)；

求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；

回答原問(wèn)題（船速每小時(shí)20公里）。錄象機(jī)計(jì)數(shù)器的用途問(wèn)題 經(jīng)試驗(yàn)，一盤(pán)錄像帶從頭走到尾，時(shí)間用了183分30秒，計(jì)數(shù)器讀數(shù)從0000變到6152。在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過(guò)大半，計(jì)數(shù)器讀數(shù)為4580，問(wèn)剩下的一段還能否錄下1小時(shí)的節(jié)目？要求不僅僅回答問(wèn)題,而且建立計(jì)數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間的關(guān)系——一個(gè)數(shù)學(xué)模型!思考本題中計(jì)數(shù)器讀數(shù)是均勻增長(zhǎng)的嗎？日常問(wèn)題：常見(jiàn)的錄音機(jī)的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)是勻速的嗎?問(wèn)題分析錄象機(jī)計(jì)數(shù)器的工作原理0000左輪盤(pán)右輪盤(pán)磁頭主動(dòng)輪壓輪計(jì)數(shù)器錄象帶錄象帶運(yùn)動(dòng)方向錄象帶運(yùn)動(dòng)右輪盤(pán)半徑增大右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù)錄象帶運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)變慢觀察或分析:

計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)越來(lái)越慢！模型假設(shè)

錄象帶的運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)

v

；

計(jì)數(shù)器讀數(shù)

n與右輪轉(zhuǎn)數(shù)

m成正比，記

m=kn；

錄象帶厚度(含夾在兩圈間的空隙)為常數(shù)

w；

空右輪盤(pán)半徑記作

r

；

時(shí)間

t=0

時(shí)讀數(shù)n=0.建模目的建立時(shí)間t與讀數(shù)n之間的關(guān)系(設(shè)v，k，w，r為已知參數(shù))模型建立建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法:1.右輪盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)第

i圈的半徑為r+wi,m圈的總長(zhǎng)度等于錄象帶在時(shí)間t內(nèi)移動(dòng)的長(zhǎng)度vt,所以模型建立2.考察右輪盤(pán)面積的變化,等于錄象帶厚度乘以轉(zhuǎn)過(guò)的長(zhǎng)度,即3.考察t到t+dt錄象帶在右輪盤(pán)纏繞的長(zhǎng)度,有思考1.3種建模方法得到同一結(jié)果2.模型中有待定參數(shù)確定參數(shù)的一種辦法是測(cè)量或調(diào)查，試設(shè)計(jì)測(cè)量方法——參數(shù)估計(jì).參數(shù)估計(jì)將模型改記作只需估計(jì)理論上，已知t=183.5,n=6152,再有一組(t,n)數(shù)據(jù)即可；實(shí)際上,由于測(cè)試有誤差,最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合。若現(xiàn)有一批測(cè)試數(shù)據(jù)：用最小二乘法可得t020406080n00001153204528003466t100120140160183.5n40684621513556196152模型檢驗(yàn)應(yīng)該另外測(cè)試一批數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停耗Ｐ蛻?yīng)用回答提出的問(wèn)題：由模型算得n=4580時(shí)t=118.5分,剩下的錄象帶能錄183.5-118.5=65分鐘的節(jié)目，可以錄制60分鐘的節(jié)目。2.揭示了“t與n之間呈二次函數(shù)關(guān)系”這一普遍規(guī)律，當(dāng)錄象帶的狀態(tài)改變時(shí)，只需重新估計(jì)a,b即可?；痉椒C(jī)理分析測(cè)試分析根據(jù)對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)，找出反映內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律。將研究對(duì)象看作“黑箱”,通過(guò)對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型二者結(jié)合機(jī)理分析建立模型結(jié)構(gòu),測(cè)試分析確定模型參數(shù)數(shù)學(xué)建模的方法和步驟

機(jī)理分析沒(méi)有統(tǒng)一的方法，主要通過(guò)實(shí)例研究(CaseStudies)來(lái)學(xué)習(xí).以下建模主要指機(jī)理分析.數(shù)學(xué)建模的一般步驟模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型構(gòu)成模型求解模型分析模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用數(shù)學(xué)模型的分類：◆按研究方法和對(duì)象的數(shù)學(xué)特征分：初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型等。◆按研究對(duì)象的實(shí)際領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分：人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經(jīng)濟(jì)模型、社會(huì)模型等。為了便于學(xué)習(xí)掌握，可對(duì)數(shù)學(xué)模型做適當(dāng)?shù)姆诸悾簲?shù)學(xué)建模的重要意義

電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)及飛速發(fā)展

數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透數(shù)學(xué)建模作為用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的第一步，越來(lái)越受到人們的重視。數(shù)學(xué)建模計(jì)算機(jī)技術(shù)如虎添翼知識(shí)經(jīng)濟(jì)四、近幾年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題1994A逢山開(kāi)路B鎖具裝箱1995A一個(gè)飛行管理問(wèn)題B天車與冶煉爐的作業(yè)調(diào)度1996A洗衣機(jī)節(jié)水問(wèn)題B最優(yōu)捕魚(yú)問(wèn)題1997A零件的參數(shù)設(shè)計(jì)B最優(yōu)截?cái)嗲懈顔?wèn)題1998A投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)B災(zāi)情巡視路線1999A自動(dòng)化車床管理B鉆井布局2000ADNA序列分類B鋼管訂購(gòu)和運(yùn)輸2001A血管三維重建B公交車調(diào)度2002A彩票問(wèn)題B車燈優(yōu)化設(shè)計(jì)2003ASARS預(yù)測(cè)B露天礦車輛安排2004A奧運(yùn)會(huì)臨時(shí)超市網(wǎng)點(diǎn)設(shè)計(jì)B電力市場(chǎng)的輸電阻塞管理

2005A

長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)BDVD在線租賃2006A出版社的資源配置