七年級數(shù)學(xué)上冊專題4.1 與線段有關(guān)的動點問題（壓軸題專項講練）（人教版）（解析版）

/專題4.1與線段有關(guān)的動點問題【典例1】已知，線段AB上有三個點C、D、E，AB=18，AC=2BC，D、E為動點（點D在點E的左側(cè)），并且始終保持DE=8．（1）如圖1，當(dāng)E為BC中點時，求AD的長；（2）如圖2，點F為線段BC的中點，AF=3AD，求AE的長；（3）若點D從A出發(fā)向右運動（當(dāng)點E到達(dá)點B時立即停止），運動的速度為每秒2個單位，當(dāng)運動時間t為多少秒時，使AD，BE兩條線段中，一條的長度恰好是另一條的兩倍．【思路點撥】（1）由AB=18，AC=2BC，求解AC,BC，再利用E為BC中點，求解EC,再求解DC，最后利用AD=AC?CD，從而可得答案；（2）由點F為線段BC的中點，求解CF,BF，再求解AF,AD，DF,EF,BE，再利用AE=AB?BE，即可得到答案；（3）如圖3，以A為原點建立數(shù)軸，則C,B分別表示12,18，先確定DE的最長運動時間，再在運動后，表示D對應(yīng)的數(shù)為2t,E對應(yīng)的數(shù)為8+2t,求解AD,BE，再分兩種情況列方程即可得到答案．【解題過程】解：（1）如圖1，∵AB=18，AC=2BC，∴AC=2∵E為BC中點時，∴CE=BE=1∵DE=8,∴DC=DE?CE=8?3=5，∴AD=AC?CD=12?5=7.（2）如圖2，∵點F為線段BC的中點，∴CF=BF=1∵AB=AF+FB=18，∴AF=18?3=15，∵AF=3AD，∴AD=5，∴DF=AF?AD=15?5=10，∵DE=8，∴EF=DF?DE=10?8=2，∴BE=EF+BF=2+3=5，∴AE=AB?BE=18?5=13.（3）如圖3，以A為原點建立數(shù)軸，則C,B分別表示12,18，由運動開始前：BE=AB?DE=18?8=10，∴DE的最長運動時間為：102運動后，由題意可得：D對應(yīng)的數(shù)為2t,E對應(yīng)的數(shù)為8+2t,∴AD=2t,BE=18?(8+2t)=10?2t,當(dāng)AD=2BE時，∴2t=2(10?2t),∴6t=20,∴t=10經(jīng)檢驗：t=10當(dāng)2AD=BE時，∴4t=10?2t,∴6t=10,∴t=5經(jīng)檢驗：t=5綜上：當(dāng)t=103s或t=531．（2022·貴州黔西·七年級期末）如圖，數(shù)軸上的點O和點A分別表示0和10，點P是線段OA上一動點.點P沿O→A→O以每秒2個單位的速度往返運動1次，B是線段OA的中點，設(shè)點P運動時間為t秒（t不超過10秒）.若點P在運動過程中，當(dāng)PB=2時，則運動時間t的值為（

）A．32秒或72秒 B．32秒或72秒或C．3秒或7秒 D．3秒或132或7秒或17【思路點撥】根據(jù)點P的位置分類討論，分別畫出對應(yīng)的圖形，利用路程÷速度=時間即可得出結(jié)論．【解題過程】解：∵數(shù)軸上的點O和點A分別表示0和10∴OA=10∵B是線段OA的中點，∴OB=AB=1①當(dāng)點P由點O向點A運動，且未到點B時，如下圖所示，PB=2此時點P運動的路程OP=OB－PB=3∴點P運動的時間為3÷2=32②當(dāng)點P由點O向點A運動，且已過點B時，如下圖所示，PB=2此時點P運動的路程OP=OB+PB=7∴點P運動的時間為7÷2=72③當(dāng)點P由點A向點O運動，且未到點B時，如下圖所示，PB=2此時點P運動的路程為OA＋AP=OA＋AB－PB=13∴點P運動的時間為13÷2=132④當(dāng)點P由點A向點O運動，且已過點B時，如下圖所示，PB=2此時點P運動的路程為OA＋AP=OA＋AB＋PB=17∴點P運動的時間為17÷2=172綜上所述：當(dāng)PB=2時，則運動時間t的值為32秒或72秒或132故選B．2．（2021·河北·平山縣外國語中學(xué)七年級期末）如圖，C為射線AB上一點，AB＝30，AC比BC的14多5，P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)．分別以2單位/秒和1單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運動，運動時間為t秒，M為BP的中點，N為QM的中點，以下結(jié)論：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③當(dāng)PB＝12BQ時，A．0 B．1 C．2 D．3【思路點撥】根據(jù)AC比BC的14【解題過程】解：設(shè)BC＝x，∴AC＝14x∵AC+BC＝AB∴x+14x解得：x＝20，∴BC＝20，AC＝10，∴BC＝2AC，故①成立，∵AP＝2t，BQ＝t，當(dāng)0≤t≤15時，此時點P在線段AB上，∴BP＝AB﹣AP＝30﹣2t，∵M(jìn)是BP的中點∴MB＝12BP＝15﹣∵QM＝MB+BQ，∴QM＝15，∵N為QM的中點，∴NQ＝12QM＝15∴AB＝4NQ，當(dāng)15＜t≤30時，此時點P在線段AB外，且點P在Q的左側(cè)，∴AP＝2t，BQ＝t，∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，∵M(jìn)是BP的中點∴BM＝12BP＝t∵QM＝BQ﹣BM＝15，∵N為QM的中點，∴NQ＝12QM＝15∴AB＝4NQ，當(dāng)t＞30時，此時點P在Q的右側(cè)，∴AP＝2t，BQ＝t，∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，∵M(jìn)是BP的中點∴BM＝12BP＝t∵QM＝BQ﹣BM＝15，∵N為QM的中點，∴NQ＝12QM＝15∴AB＝4NQ，綜上所述，AB＝4NQ，故②正確，當(dāng)0＜t≤15，PB＝12BQ時，此時點P在線段AB∴AP＝2t，BQ＝t∴PB＝AB﹣AP＝30﹣2t，∴30﹣2t＝12t∴t＝12，當(dāng)15＜t≤30，PB＝12BQ時，此時點P在線段AB外，且點P在Q∴AP＝2t，BQ＝t，∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，∴2t﹣30＝12tt＝20，當(dāng)t＞30時，此時點P在Q的右側(cè)，∴AP＝2t，BQ＝t，∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，∴2t﹣30＝12tt＝20，不符合t＞30，綜上所述，當(dāng)PB＝12BQ時，t故選：C．3．（2022·廣東·南聯(lián)學(xué)校七年級階段練習(xí)）線段AB=15，點P從點A開始向點B以每秒1個單位長度的速度運動，點Q從點B開始向點A以每秒2個單位長度的速度運動，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時另一個點也隨之停止運動，當(dāng)AP=2PQ時，t的值為________．【思路點撥】根據(jù)時間與速度可以分別表示出AP、BQ，結(jié)合AP=2PQ分別從相遇前和相遇后，利用線段的和差關(guān)系計算出t的值．【解題過程】解：此題可分為兩種情況進(jìn)行討論：①如圖1，點P、Q相遇前，由題意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AB－AP－BQ，當(dāng)AP=2PQ時，t＝2(15－t－2t)，解得t＝307②如圖2，點P、Q相遇后，由題意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AP＋BQ－AB，當(dāng)AP=2PQ時，t＝2(t＋2t－15)，解得t＝6．綜上所述：t的值為307故答案為：3074．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖直線l上有AB兩點，AB=12cm，點O是線段AB上的一點，OA=2OB，若點C是射線AB上一點，且滿足AC=CO+CB，則OC【思路點撥】根據(jù)題意可求出OA=8cm，OB=4cm．設(shè)OC=xcm，分類討論①當(dāng)點C在AO之間時；②當(dāng)點C在OB之間時；③當(dāng)點C在點B右側(cè)時，利用x可分別表示出AC，CB的長，根據(jù)AC=CO+CB，即得出關(guān)于x的等式，解出x即可．【解題過程】解：∵AB=12cm，點O是線段AB上的一點，OA=2OB，∴OA=23AB=8cm設(shè)OC=xcm，分類討論：①當(dāng)點C在AO之間時，如圖，由圖可知，AC=OA?OC=(8?x)cm，CB=OC+OB=(x+4)cm，∵AC=CO+CB，∴8?x=x+x+4，解得：x=4故此時OC=4②當(dāng)點C在OB之間時，如圖，由圖可知，CO+CB=OB=4cm，AC=AO+OC=(8+x)cm>8cm．∴此時不成立；③當(dāng)點C在點B右側(cè)時，如圖，由圖可知，AC=OA+OC=(8+x)cm，CB=OC?OB=(x?4)cm，∵AC=CO+CB，∴8+x=x+x?4，解得：x=12．故此時OC=12cm；綜上可知OC的長為43cm或故答案為：43或125．（2022·遼寧·遼陽市第一中學(xué)七年級期中）如圖，P是線段AB上一點，AB＝18cm，C，D兩動點分別從點P，B同時出發(fā)沿射線BA向左運動，到達(dá)點A處即停止運動．(1)若點C，D的速度分別是1cm/s，2cm/s．①當(dāng)動點C，D運動了2s，且點D仍在線段PB上時，AC＋PD＝_________cm；②若點C到達(dá)AP中點時，點D也剛好到達(dá)BP的中點，則AP∶PB＝_________；(2)若動點C，D的速度分別是1cm/s，3cm/s，點C，D在運動時，總有PD＝3AC，求AP的長度．【思路點撥】（1）①先計算BD，PC的長度，再計算AC+PD；②設(shè)運動時間為：t秒，則PC=t,BD=2t，利用中點的性質(zhì)表達(dá)出：AP=2PC=2t,BP=2BD=4t，即可得出答案；（2）依題意得出BD＝3PC，PD＝3AC，再由PB=BD+PD=3AP和【解題過程】解：（1）①依題意得：PC=1×2=2,BD=2×2=4，∴AC＋故答案為：12；②設(shè)運動時間為t秒，則PC=t,BD=2t∵當(dāng)點C到達(dá)AP中點時，點D也剛好到達(dá)BP的中點，∴AP=2PC=2t,BP=2BD=4t∴AP:BP=2t:4t=1:2故答案為：1:2；（2）設(shè)運動時間為t秒，則PC=t,BD=3t，∴BD＝∵PD＝∴PB=BD+PD=3PC+3AC=3PC+AC∵PB+AP=AB∴3AP+AP=AB∴AP=16．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）如圖1，線段AB長為24個單位長度，動點P從A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線AB運動，M為AP的中點，設(shè)P的運動時間為x秒．(1)P在線段AB上運動，當(dāng)PB=2AM時，求x的值．(2)當(dāng)P在線段AB上運動時，求2BM?BP的值．(3)如圖2，當(dāng)P在AB延長線上運動時，N為BP的中點，MN的長度是否發(fā)生變化?如不變，求出MN的長度．如變化，請說明理由．【思路點撥】（1）根據(jù)PB=2AM建立關(guān)于x的方程，解方程即可；（2）將BM=24-x，PB=24-2x代入2BM-BP后，化簡即可得出結(jié)論；（3）利用PA=2x，AM=PM=x，PB=2x?24，PN=1【解題過程】解：（1）∵M(jìn)是線段AP的中點，∴AM=1PB=AB?AP=24?2x，∵PB=2AM，∴24?2x=2x，解得x=6．（2）解：∵AM=x，BM=24?x，PB=24?2x，∴2BM?BP=224?x即2BM?BP為定值24．（3）解：當(dāng)P在AB延長線上運動時，點P在B點的右側(cè)．∵PA=2x，AM=PM=x，PB=2x?24，PN=1∴MN=PM?PN=x?x?12所以MN的長度無變化是定值．7．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖①，已知線段AB=12，點C為線段AB上的一點，點D，E分別是AC和BC的中點．（1）若AC=4，則DE的長為_____________；（2）若BC=m，求DE的長；（3）如圖②，動點P，Q分別從A，B兩點同時出發(fā)，相向而行，點P以每秒3個單位長度的速度沿線段AB向右勻速運動，點Q以點P速度的兩倍沿線段AB向左勻速運動，設(shè)運動時間為t秒，問當(dāng)t為多少時，P，Q之間的距離為6？【思路點撥】(1)根據(jù)圖形，由AB=12，AC=4得出BC=8再根據(jù)點D，E分別時AC和BC中點，得出DC，EC，再根據(jù)線段的和求出DE，(2)根據(jù)圖形，由AB=12，BC=m得出AC=12-m再根據(jù)點D，E分別時AC和BC中點，得出DC，EC，再根據(jù)線段的和求出DE，(3)用含t的式子表示AP，BQ，再畫出兩種圖形，根據(jù)線段的和等于AB，得到兩個一元一次方程，即可求出．【解題過程】解：如圖(1)∵AB=12，AC=4∴BC=8∵點D，E分別時AC和BC中點，∴DC=2，BC=EC=4∴DE=DC+CE=6(2)∵AB=12，BC=m∴AC=12-m∵點D，E分別時AC和BC中點∴DC=6-12m，BC=EC=∴DE=DC+CE=6(3)由題意得，如圖所示，或AP=3t，BQ=6t∴AP+PQ+BQ=12或AP+BQ-PQ=12∴3t+6+6t=12或3t+6t-6=12解得t=23故當(dāng)t=238．（2021·上海市民辦新北郊初級中學(xué)七年級期末）如圖，P是定長線段AB上一點，C、D兩點分別從P、B出發(fā)以1cm/s、2cm/s的速度沿直線AB向左運動（C在線段AP上，D在線段BP上）（1）若C、D運動到任一時刻時，總有PD＝2AC，請說明P點在線段AB上的位置：（2）在（1）的條件下，Q是直線AB上一點，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQAB（3）在（1）的條件下，若C、D運動5秒后，恰好有CD=12AB，此時C點停止運動，D點繼續(xù)運動（D點在線段PB上），M、N分別是CD、PD的中點，下列結(jié)論：①PM﹣【思路點撥】（1）根據(jù)C、D的運動速度知BD=2PC，再由已知條件PD=2AC求得PB=2AP，所以點P在線段AB上的13（2）由題設(shè)畫出圖示，根據(jù)AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，從而求得PQ與AB的關(guān)系；（3）當(dāng)點C停止運動時，有CD＝12AB，從而求得CM與AB的數(shù)量關(guān)系；然后求得以AB表示的PM與PN的值，所以MN＝PN?PM＝1【解題過程】解：（1）由題意：BD=2PC∵PD=2AC，∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.∴點P在線段AB上的13（2）如圖：∵AQ-BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ，∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，∴PQ=13∴PQAB（3）②MNAB理由：如圖，當(dāng)點C停止運動時，有CD=12∴CM=14∴PM=CM-CP=14∵PD=23∴PN=12（2∴MN=PN-PM=112當(dāng)點C停止運動，D點繼續(xù)運動時，MN的值不變，所以MNAB9．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）已知點C在線段AB上，AC=2BC，點D、E在直線AB上，點D在點E的左側(cè)．若AB=18，DE=8，線段DE在線段AB上移動．(1)如圖1，當(dāng)E為BC中點時，求AD的長；(2)點F（異于A，B，C點）在線段AB上，AF=3AD，CE+EF=3，求AD的長．【思路點撥】（1）根據(jù)AC=2BC，AB=18，可求得BC=6，AC=12，根據(jù)中點的定義求出BE，由線段的和差即可得到AD的長．（2）點F（異于A，B，C點）在線段AB上，AF=3AD，CE+EF=3，確定點F是BC的中點，即可求出AD的長．【解題過程】解：（1）AC=2BC，AB=18，∴BC=6，AC=12，如圖1，∵E為BC中點，∴CE=BE=3，∵DE=8，∴BD=DE+BE=8+3=11，∴AD=AB?DB=18?11=7，（2）Ⅰ、當(dāng)點E在點F的左側(cè)，如圖2，或∵CE+EF=3，BC=6，∴點F是BC的中點，∴CF=BF=3，∴AF=AB?BF=18?3=15，∴AD=1∵CE+EF=3，故圖2（b）這種情況求不出；Ⅱ、如圖3，當(dāng)點E在點F的右側(cè)，或∵AC=12，CE+EF=CF=3，∴AF=AC?CF=9，∴AF=3AD=9，∴AD=3．∵CE+EF=3，故圖3（b）這種情況求不出；綜上所述：AD的長為3或5．10．（2022·江蘇·南通田家炳中學(xué)七年級階段練習(xí)）（1）如圖1，已知點C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點M，N分別是AC，BC的中點，求線段MN的長度；（2）在（1）的條件下，動點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，點P以2cm/s的速度沿AB向右運動，終點為B，點Q以1cm/s的速度沿AB向左運動，終點為A，當(dāng)一個點到達(dá)終點，另一個點也隨之停止運動，求運動多少秒時，C、P、Q三點有一點恰好是以另兩點為端點的線段的中點？【思路點撥】（1）根據(jù)中點的定義、線段的和差，可得答案；（2）根據(jù)中點的定義、線段的和差，列出關(guān)于t的方程，問題可解．【解題過程】解：（1）∵線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點M，N分別是AC，BC的中點，∴CM＝12AC＝5厘米，CN＝12∴MN＝CM+CN＝8厘米；（2）設(shè)點P、Q運動時間為ts，由題意得0<t≤8，下面分別討論之．①當(dāng)0＜t≤5時，C是線段PQ的中點，如圖1由圖得PC=AC-AP=10-2t，CQ=CB-QB=6-t由PC=CQ得10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4；②當(dāng)5＜t≤163時，P為線段CQ由圖得PC=AP-AC=2t-10，PQ=PB-QB=(16-2t)﹣t，由PC=PQ得2t﹣10＝(16-2t)﹣t，解得t＝265③當(dāng)163＜t≤6時，Q為線段PC由圖得，CQ=BC-BQ=6-t，PQ=AP-CQ=2t-10-(6-t)，由CQ=PQ得6﹣t＝2t-10-(6-t)，解得t＝112④當(dāng)6＜t≤8時，C為線段PQ的中點，如圖4由圖得，PC=AP-AC=2t-10，CQ=BQ-BC=t-6，由QC=PC得2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4＜6（舍去），綜上所述：t＝4或265或1111．（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）【新知理解】如圖①，點C在線段AB上，若BC=πAC，則稱點C是線段的圓周率點，線段AC、BC稱作互為圓周率伴侶線段．（1）若AC=2，求AB的長；（2）在（1）的條件下，若點D也是圖①中線段AB的圓周率點（不同于點C），試求出線段BD的長，并判斷AC與BD的數(shù)量關(guān)系；【解決問題】（3）如圖②，現(xiàn)有一個直徑為1個單位長度的圓片，將圓片上的某點與數(shù)軸上表示1的點重合，并把圓片沿數(shù)軸向右無滑動性的滾動1周，該點到達(dá)C的位置，求點C所表示的數(shù)；若點M、N是線段OC的圓周率點，求MN的長；（4）圖②中，若點D在射線OC上，且線段CD與O、C、D中某兩個點為端點的線段互為圓周率伴侶線段，請直接寫出點D所表示的數(shù)（答案保留π）．【思路點撥】（1）利用BC=πAC求出BC的長度，進(jìn)而求出AB的長．（2）設(shè)AC的長為x，BD的長為y，利用圓周率點的定義，得到關(guān)于x與y的關(guān)系式，進(jìn)而得到x=y，故此時有AC=BD．（3）利用旋轉(zhuǎn)一周即為圓的周長，得到C點表示的數(shù)，假設(shè)M點離O點最近，設(shè)OM=z，利用圓周率點及題（2）的結(jié)論，求出OM=CN=1，最后求出MN的長度即可．.（4）設(shè)點D表示的數(shù)為m，根據(jù)條件分四類情況：CD=πOD，OD=πCD，OC=πCD，CD=πOC，進(jìn)行分類討論，設(shè)出對應(yīng)的方程進(jìn)行求解m的值．【解題過程】解：（1）∵AC=2,BC=πAC，∴BC=2π，∴AB=AC+BC=2+2π．（2）∵點D、C都是線段AB的圓周率點且不重合，∴AD=πBD，BC=πAC．∴設(shè)AC=x，BD=y，則有BC=πx，AD=πy，∵AB=AC+BC=AD+BD，∴x+πx=y+πy，∴x=y，∴AC=BD=2．（3）由題意可知：C點表示的數(shù)是π+1∵M(jìn)、N均為線段OC的圓周率點，∴不妨設(shè)M點里O點近，且OM=z，CM=πz，∴z+πz=π+1，解得z=1，∴OM=1，CM=π，OC=π+1，由（2）可知：OM=CN=1∴MN=OC?OM?CN=π?1．（4）解：設(shè)點D表示的數(shù)為m，根據(jù)題意可知，共分為四種情況．①若CD=πOD，則有π+1?m=πm，解得m=1．②若OD=πCD，則有m=π(π+1?m)，解得m=π．③若OC=πCD，則有π+1=π(m?π?1)，解得m=π+1④若CD=πOC，則有m?(π+1)=π(π+1)，解得m=π綜上所述，點D表示的數(shù)是1或π或π+1π+212．（2021·安徽蚌埠·七年級期末）如圖，點A,B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,b，且a,b滿足|a+2|+(b?5)（1）點A表示的數(shù)是___________，點B表示的數(shù)是____________．（2）若動點P從點A出發(fā)以每秒3個單位長度向右運動，動點Q從點B出發(fā)以每秒1個單位長度向點A運動，到達(dá)A點即停止運動P,Q兩點同時出發(fā)，且Q點停止運動時，P也隨之停止運動，求經(jīng)過多少秒時，P,Q第一次相距3個單位長度？（3）在（2）的條件下整個運動過程中，設(shè)運動時間為t秒，若AP的中點為M,BQ的中點為N，當(dāng)t為何值時，BM+AN=3PB？【思路點撥】（1）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得a+2＝0，且b﹣5＝0，得出a＝﹣2，b＝5；（2）求出AB＝7，設(shè)經(jīng)過x秒時，P、Q第一次相距3個單位長度，則AP＝3x，BQ＝x，可列方程7﹣3x﹣x＝3，解方程即可；（3）由題意得t秒后，AP＝3t，BQ＝t，由中點的定義得AM＝12AP＝32t，BN＝12BQ＝12t，對P、M、B三點的位置分類討論，用含t的式子表示【解題過程】解：（1）∵a,b滿足|a+2|+(b?5)∴a+2＝0，b﹣5＝0，∴a＝﹣2，b＝5，即點A所對應(yīng)的數(shù)是﹣2，點B所對應(yīng)的數(shù)是5；故答案為：﹣2，5；（2）AB＝5﹣（﹣2）＝7，設(shè)經(jīng)過x秒時，P、Q第一次相距3個單位長度，則AP＝3x，BQ＝x，PQ＝AB﹣AP﹣BQ，列方程得，7﹣3x﹣x＝3，解得：x＝1，答：經(jīng)過1秒時，P、Q第一次相距3個單位長度；（3）由題意得：t秒后，AP＝3t，BQ＝t，∵AP的中點為M，BQ的中點為N，∴AM＝12AP＝32t，BN＝12BQ＝如圖1，當(dāng)點P、M都在點B的左側(cè)時，BM＝AB﹣AM＝7﹣32t，PB＝AB﹣AP＝7﹣3t，AN＝AB﹣BN＝7﹣12∵BM+AN＝3PB，∴7﹣32t+7﹣12t＝3（7﹣3解得：t＝1；如圖2，當(dāng)點M在點B的左側(cè)，點P在點B的右側(cè)時，BM＝AB﹣AM＝7﹣32t，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣12∵BM+AN＝3PB，∴7﹣32t+7﹣12t＝3（3解得：t＝3511③如圖3，當(dāng)點P、M都在點B的右側(cè)時，BM＝AM﹣AB＝32t﹣7，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣12∵BM+AN＝3PB，∴32t﹣7+7﹣12t＝3（3解得：t＝218綜上所述，當(dāng)t為1秒或3511秒時，BM+AN＝3PB13．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）如圖，已知線段AB，延長線段BA至C，使CB＝43AB（1）請根據(jù)題意將圖形補(bǔ)充完整．直接寫出ACAB（2）設(shè)AB＝9cm，點D從點B出發(fā)，點E從點A出發(fā)，分別以3cm/s，1cm/s的速度沿直線AB向左運動．①當(dāng)點D在線段AB上運動，求ADCE②在點D，E沿直線AB向左運動的過程中，M，N分別是線段DE、AB的中點．當(dāng)點C恰好為線段BD的三等分點時，求MN的長．【思路點撥】（1）根據(jù)線段的和差倍分關(guān)系即可得到結(jié)論；（2）①設(shè)運動的時間為t秒，表示出線段長即可得到結(jié)論；②分BD=3CD和BD=3CB兩種情況，根據(jù)三等分點求出BD的長，進(jìn)而求出運動時間，求出MD、NB的長即可．【解題過程】解：（1）圖形補(bǔ)充完整如圖，∵CB＝43AB∴CA＝BC?AB=1ACAB故答案為：13（2）①AB＝9cm，由（1）得，CA=13AB=3DA=(9?3t)cm，CE=(3?t)cm，ADCE②當(dāng)BD=3CD時，∵AB＝9cm，CA=3cm，∴CB=2CD=12cm，∴CD=6cm，BD=3CD=18cm，運動時間為：18÷3=6（秒），則AE=6cm，BE=BA+AE=15cm，ED=BD?BE=3cm，∵M(jìn)，N分別是線段DE、AB的中點．∴DM=1.5cm，BN=4.5cm，MN=BD?DM?BN=12cm，當(dāng)BD=3CB時，∵AB＝9cm，CA=3cm，∴CB=12cm，∴BD=3CB=36cm，運動時間為：36÷3=12（秒），則AE=12cm，BE=BA+AE=21cm，ED=BD?BE=15cm，∵M(jìn)，N分別是線段DE、AB的中點．∴DM=7.5cm，BN=4.5cm，MN=BD?DM?BN=24cm，綜上，MN的長是12cm或24cm．14．（2022·江蘇·七年級專題練習(xí)）如圖，點A、B、C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別是?12、b、c，且b、c滿足(b?9)2+c?20=0，動點P從點A出發(fā)以2單位/秒的速度向右運動，同時點Q從點C出發(fā)，以1個單位/秒速度向左運動，O、B兩點之間為“變速區(qū)”，規(guī)則為從點O運動到點B期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，之后立刻恢?fù)原速，從點B運動到點O期間速度變?yōu)樵瓉淼模?）b=____，c=____，A、C兩點間的距離為____個單位；（2）①若動點P從A出發(fā)運動至點C時，求t的值；②當(dāng)P、Q兩點相遇時，求相遇點在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)；（3）當(dāng)t=___時，P、Q兩點到點B的距離相等．【思路點撥】（1）根據(jù)b?92（2）①點P從點A運動到點C可得當(dāng)點P在AO上時，點P在OB上時及點P在BC上時，然后分別求出時間，進(jìn)而問題可求解；②由題意易得當(dāng)點C到達(dá)變速點B時，點P所運動到的位置可求，然后再根據(jù)相遇問題進(jìn)行求解，最后在利用數(shù)軸求解即可；（3）由（1）（2）及題意可分：①當(dāng)0<t≤6時，②當(dāng)6<t≤11時，③當(dāng)點Q的速度變?yōu)?單位/秒時，即11<t≤14，④當(dāng)點Q和點P都過了“變速區(qū)”，即t>15，然后根據(jù)數(shù)軸兩點距離及線段的和差關(guān)系進(jìn)行列方程求解即可．【解題過程】解：（1）∵b?92∴b?9=0,c?20=0，∴b=9,c=20，∴A、C兩點距離為：20??12故答案為9，20，32；（2）①由題意可分：當(dāng)點P從A運動到O和從B運動到C時，所需時間為：12+11÷2=點P從點O到點B屬于變速區(qū)，所以速度為2÷2=1單位/秒，此時所需時間為9÷1=9s，∴點P從點A到點C的時間為：232②當(dāng)點C到達(dá)變速點B時，所需時間為11÷1=11s，此時點P運動的路程為：12+11?6∴4÷1+3∴5+1×1=6，∴相遇點所表示的數(shù)為6；（3）由（1）（2）及題意可分：①當(dāng)0<t≤6時，如圖所示：則有AB=21，AP=2t，PB=21-2t，BC=11，BQ=11-t，∵BP=BQ，∴21?2t=11?t，解得：t=10（不符合題意，舍去）；②當(dāng)6<t≤11時，如圖所示：∵點P的速度為1單位/秒，Q速度不變，∴PB=21?12+∵PB=BQ，∴15?t=11?t，方程無解；③當(dāng)點Q的速度變?yōu)?單位/秒時，即11<t≤14，如圖所示：∴PB=15-t，BQ=CQ?CB=BQ=3t?11∵PB=BQ，∴15?t=3t?33，解得t=12，④當(dāng)點Q和點P都過了“變速區(qū)”，即t>15，如圖所示：∴PB=2t?15=2t?30，∵PB=BQ，∴2t?30=t?5，解得：t=25；綜上所述：當(dāng)t=12或25時，點P、Q到點B的距離相等；故答案為12或25．15．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，直線l上有A，B兩點，AB＝12cm，點O是線段AB上的一點，OA＝2OB．（1）則OA＝cm，OB＝cm；（2）若點C是線段AB上一點（點C不與點A、B重合），且滿足AC＝CO+CB，求CO的長；（3）若動點P從點A出發(fā)，動點Q從點B同時出發(fā)，都向右運動，點P的速度為2cm/s．點Q的速度為1cm/s，設(shè)運動時間為t（s）（其中t≥0）．①若把直線l看作以O(shè)為原點，向右為正方向的一條數(shù)軸，則t（s）后，P點所到的點表示的數(shù)為；此時，Q點所到的點表示的數(shù)為．（用含t的代數(shù)式表示）②求當(dāng)t為何值時，2OP﹣OQ＝4（cm）．【思路點撥】（1）由于AB＝12cm，點O是線段AB上的一點，OA＝2OB，則OA+OB＝3OB＝AB＝12cm，依此即可求解；（2）根據(jù)圖形可知，點C是線段AO上的一點，可設(shè)C點所表示的實數(shù)為x，分兩種情況：①點C在線段OA上時；②點C在線段OB上時，根據(jù)AC＝CO+CB，列出方程求解即可；（3）①根據(jù)路程＝速度×?xí)r間即可求解；②分兩種情況：0＜t＜4（P在O的左側(cè)）；4≤t≤12（P在O的右側(cè)）；進(jìn)行討論求解即可．【解題過程】解：（1）∵AB＝12cm，OA＝2OB，∴OA+OB＝3OB＝AB＝12（cm），解得OB＝4，OA＝2OB＝8（cm）．故答案為：8，4；（2）設(shè)C點所表示的實數(shù)為x，分兩種情況：①點C在線段OA上時，∵AC＝CO+CB，∴8+x＝﹣x+4﹣x，3x＝﹣4，解得x＝﹣43②點C在線段OB上時，∵AC＝CO+CB，∴8+x＝4，解得x＝﹣4（不符合題意，舍）．故CO的長是43cm（3）①t（s）后，P點所到的點表示的數(shù)為﹣8+2t；此時，Q點所到的點表示的數(shù)為4+t．故答案為：﹣8+2t，4+t；②0＜t＜4（P在O的左側(cè)），OP＝0﹣（﹣8+2t）＝8﹣2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，則2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，解得t＝1.6；4≤t≤12（P在O的右側(cè)），OP＝﹣8+2t﹣0＝﹣8+2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，則2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，解得t＝8．綜上所述，t＝1.6或8時，2OP﹣OQ＝4cm．16．（2022·全國·七年級專題練習(xí)）（理解新知）如圖①，點M在線段AB上，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點M是線段AB的“奇妙點”，（1）線段的中點這條線段的“奇妙點”（填“是”或“不是”）（2）（初步應(yīng)用）如圖②，若CD=24cm，點N是線段CD的“奇妙點”，則CN=cm（3）（解決問題）如圖③，已知AB=24cm，動點P從點A出發(fā)，以2cm/s速度沿AB向點B勻速移動，點Q從點B出發(fā)，以3cm/s的速度沿BA向點A勻速移動，點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，運動停止．設(shè)移動的時間為t，請求出為何值時，A、P、【思路點撥】（1）根據(jù)線段的中點平分線段長的性質(zhì)，以及題目中所給的“奇妙點”的定義，進(jìn)行判斷即可．（2）由“奇妙點”定義，此題分為三種情況，情況1：CN=CD2，即N為CD的中點；情況2：CN=DN2，即N為靠近C點的三等分點；情況3：DN=CN2，即（3）由題意可知，A不可能是“奇妙點”，故此題分兩大類情況，情況1：當(dāng)P、Q未相遇之前，P是“奇妙點”時，根據(jù)第（2）題的思路，又可以分為3種情況，根據(jù)每種情況，利用線段長度關(guān)系列方程，分別求出對應(yīng)時間；情況2：當(dāng)P、Q相遇之后，Q是“奇妙點”時，同樣根據(jù)第（2）題的思路，又分成3種情況討論，利用線段長度關(guān)系列方程，求出每種情況對應(yīng)的時間．【解題過程】解：（1）由線段中點的性質(zhì)可知：被中點平分的兩條線段長度是線段總長的一半，根據(jù)“奇妙點”定義可知：線段的中點是“奇妙點”．故答案是：是；（2）∵N是線段CD的“奇妙點”∴根據(jù)定義，此題共分為三種情況．當(dāng)CN=CD2，即N為CD的中點時，有CN當(dāng)CN=DN2，即N為靠近C點的三等分點時，有CN當(dāng)DN=CN2，即N為靠近D點的三等分點時，有CN故答案為：8或12或16．（3）解：由題意可知，A點不可能是“奇妙點”，故P或Q點是“奇妙點”．∵AB=24cm∴t秒后，AP=2t，AQ=24?3t．當(dāng)P點是“奇妙點”時，PQ=AQ?AP=24?5t．由“奇妙點”定義可分三種情況．當(dāng)AP=AQ2時，有2t=24?3t當(dāng)AP=PQ2時，有2t=24?5t當(dāng)PQ=AP2時，有24?5t=2t當(dāng)Q點是“奇妙點”時，PQ=AP?AQ=5t?24．當(dāng)AQ=AP2時，有24?3t=2t當(dāng)AQ=PQ2時，有24?3t=5t?24當(dāng)PQ=AQ2時，有5t?24=24?3t綜上所述：當(dāng)點P為AQ的“奇妙點”時，t=83或4或當(dāng)點Q為AP的“奇妙點”時，t=7213或6或17．（2022·全國·七年級單元測試）已知：如圖1，M是定長線段AB上一定點，C、D兩點分別從M、B出發(fā)以1cm/s、3cm/s的速度沿直線BA向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段AM上，D在線段BM上）(1)若AB＝11cm，當(dāng)點C、D運動了1s，求AC+MD的值．(2)若點C、D運動時，總有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的條件下，N是直線AB上一點，且AN﹣BN＝MN，求2MN3【思路點撥】（1）計算出CM和BD的長，進(jìn)而可得出答案；（2）由AC=AM－CM，MD=BM－BD，MD=3AC結(jié)合（1）問便可解答；（3）由AN＞BN，分兩種情況討論：①點N在線段AB上時，②點N在AB的延長線上時；結(jié)合圖形計算出線段的長度關(guān)系即可求解；【解題過程】解：（1）當(dāng)點C、D運動了1s時，CM＝1cm，BD＝3cm∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．（2）解：設(shè)運動時間為t，則CM＝t，BD＝3t，∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=13故答案為：13（3）解：由（2）可得：∵BM＝AB﹣AM∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝14AB①當(dāng)點N在線段AB上時，如圖∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN∴BN＝AM＝14AB∴MN＝12AB，即2MN3AB②當(dāng)點N在線段AB的延長線上時，如圖∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB∴MN＝AB，∴MNAB=1,即2MN3AB綜上所述2MN3AB＝118．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）如圖，線段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，點P以0.5cm/s的速度從點A沿線段AC向點C運動；同時點Q以1cm/s從點C出發(fā)，在線段CB上做來回往返運動（即沿C→B→C→B→…運動），當(dāng)點P運動到點C時，點P、Q都停止運動，設(shè)點P運動的時間為t秒．(1)當(dāng)t＝1時，PQ＝cm；(2)當(dāng)t為何值時，點C為線段PQ的中點？(3)若點M是線段CQ的中點，在整個運動過程中，是否存在某個時間段，使PM的長度保持不變？如果存在，求出PM的長度；如果不存在，請說明理由．【思路點撥】（1）根據(jù)題意可求出AC的長，AP和CQ的長，再由PQ=AC+CQ?AP即可求出PQ的長；（2）由題意可得出t的取值范圍，再根據(jù)點C在線段CB上做來回往返運動，可分類討論①當(dāng)Q由C往B第一次運動時，即0≤t≤2時，分別用t表示出CP和CQ的長度，再根據(jù)中點的性質(zhì)，列出等式，求出t的值即可；②當(dāng)Q由B往C點第一次返回時，即2<t≤4時，同理求出t的值即可；③當(dāng)Q由C往B第二次運動時，即4<t≤6時，同理求出t的值即可．最后舍去不合題意的t的值即可．（3）同理（2）可分類討論①當(dāng)Q由C往B第一次運動時，即0≤t≤2時，分別用t表示出CP和CM的長度，再根據(jù)PM=CP+CM，求出PM即可；②當(dāng)Q由B往C點第一次返回時，即2<t≤4時，同理求出PM即可；③當(dāng)Q由C往B第二次運動時，即4<t≤6時，同理求出PM即可．最后根據(jù)判斷所求PM的代數(shù)式中是否含t即可判斷．【解題過程】解：（1）當(dāng)t=1時，AP=0.5×1=0.5cm，∵AB=5cm，∴AC=3∴PQ=AC+CQ?AP=3+1?0.5=2.5cm故答案為：2.5．（2）∵點P運動到點C時，點P、Q都停止運動，∴0≤t≤3∵AB=5cm，∴BC=2①當(dāng)Q由C往B第一次運動時，即0≤t≤2此時AP=0.5tcm，CQ=t∴CP=AC?AP=(3?0.5t)cm∵點C為線段PQ的中點，∴CP=CQ，即3?0.5t=t，解得：t=2；②當(dāng)Q由B往C點第一次返回時，即2<t≤4此時CP=(3?0.5t)cm，CQ=(4?t)∴3?0.5t=4?t，解得：t=2，不符合題意舍；③當(dāng)Q由C往B第二次運動時，即4<t≤6時，此時CP=(3?0.5t)cm，CQ=(t?4)∴3?0.5t=t?4，解得：t=14綜上可知，t為2或143時，點C為線段PQ（3）根據(jù)（2）可知0≤t≤6．∵點M是線段CQ的中點，∴CM=QM．①當(dāng)Q由C往B第一次運動時，即0≤t≤2時，此時CP=(3?0.5t)cm，CM=∵PM=CP+CM，∴PM=3?0.5t+1∴此時PM為定值，長度為3cm，符合題意．②當(dāng)Q由B往C點第一次返回時，即2<t≤4時，此時CP=(3?0.5t)cm，CM=∴PM=3?0.5t+2?1∴此時PM的長度，隨時間的變化而變化，不符合題意；③當(dāng)Q由C往B第二次運動時，即4<t≤6時，此時CP=(3?0.5t)cm，CM=∴PM=3?0.5t+1∴此時PM為定值，長度為1cm，符合題意．綜上可知PM的長度為3cm或1cm．19．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）點C在線段AB上，BC＝2AC．(1)如圖1，P，Q兩點同時從C，B出發(fā)，分別以1cm/s，2cm/s的速度沿直線AB①在P還未到達(dá)A點時，APCQ的值為②當(dāng)Q在P右側(cè)時(點Q與C不重合)，取PQ中點M，CQ的中點是N，求MNQB(2)若D是直線AB上一點，且AD?BD=12CD．則【思路點撥】（1）由線段的和差關(guān)系，以及QB=2PC，BC=2AC，即可求解；（2）設(shè)AC=x，則BC=2x，∴AB=3x，D點分四種位置進(jìn)行討論，①當(dāng)D在A點左側(cè)時，②當(dāng)D在AC之間時，③當(dāng)D在BC之間時，