七年級數(shù)學上冊專題12 圖形類規(guī)律探索（原卷版）

/專題12圖形類規(guī)律探索1．用長方形和三角形按圖示排列規(guī)律組成一連串平面圖形．(1)當某個圖形中長方形個數(shù)為5時，三角形個數(shù)為；(2)設某個圖形中長方形個數(shù)為x，三角形個數(shù)為y．請你寫出用x表示y的關系式．2．如圖，是一幅平面鑲嵌圖案，它由相同的黑色正方形和白色等邊三角形排列而成，觀察圖案，當正方形只有一個時，等邊三角形有個（如圖）；當正方形有個時，等邊三角形有個（如圖）；以此類推(1)若圖案中每增加個正方形，則等邊三角形增加______個；(2)若圖案中有個正方形，則等邊三角形有______個．(3)現(xiàn)有個等邊三角形，如按此規(guī)律鑲嵌圖案，要求等邊三角形剩余最少，則需要正方形多少個？3．如圖，用若干個點擺成一組等邊三角形點列，其中第個三角形的每一邊上都有n個點，該圖形中點的總數(shù)記為，我們把稱為“三角形數(shù)”，并規(guī)定當時，“三角形數(shù)”．(1)“三角形數(shù)”______________，______________；(2)①某數(shù)學興趣小組發(fā)現(xiàn)相鄰兩個“三角形數(shù)”的和有一定的規(guī)律：如．請猜想：______________；②請用所學的知識說明①中猜想的正確性．4．觀察如圖圖形，把一個三角形分別連接其三邊中點，構成4個小三角形，挖去中間的一個小三角形（如圖1），對剩下的三個小三角形再分別重復以上做法…，據(jù)此解答下面的問題．(1)填寫下表：圖形挖去三角形的個數(shù)圖形11圖形21＋3圖形31＋3＋9圖形4___________________(2)根據(jù)這個規(guī)律，求圖n中挖去三角形的個數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）；(3)若圖中挖去三角形的個數(shù)為，求．5．【觀察思考】畫一個大的正五邊形，接著畫出內嵌的5個黑色小的正五邊形，（圖1中有1個白色正五邊形，有5個黑色正五邊形，總共6個正五邊形）；接下來每個黑色小五邊形內再內嵌的5個更小的正五邊形，（圖2中有5個白色正五邊形，有25個黑色正五邊形，總共30個正五邊形）繼續(xù)下去，不斷重復此過程……，據(jù)此解答下面的問題．(1)【規(guī)律總結】圖3中黑色五邊形個數(shù)；白色五邊形的個數(shù)；(2)根據(jù)這個規(guī)律，求圖n中黑色五邊形個數(shù)；白色五邊形的個數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）(3)【問題解決】當黑色和白色五邊形共3750個時，求圖n?6．用正方形的白色水泥磚和灰色水泥磚按如圖所示的方式鋪人行道(1)第①個圖中有灰色水泥磚塊，第②個圖中有灰色水泥磚塊，第③個圖中有灰色水泥磚塊；(2)依次鋪下去，第n個圖中有灰色水泥磚塊．7．一種特殊的三角形幻方，是由4個較小的三角形和3個較大的三角形構成，且滿足每個三角形三個頂點處的數(shù)之和相等．如圖1，是這種特殊三角形幻方，陰影部分的三角形三個頂點處的數(shù)之和為7+3+5＝15，該圖中每個三角形三個頂點處的數(shù)字之和都為15．(1)根據(jù)圖1，計算圖中9個數(shù)的和與每個三角形三個頂點處數(shù)的和之間的倍數(shù)關系，并寫出你的結論；(2)圖2是這種特殊的三角形幻方，請把數(shù)字﹣4，﹣2，0，2，3這5個數(shù)字填在圖2的各個圈內；(3)圖3是這種特殊的三角形幻方，請求x的值．8．下面是用棋子擺成的“小屋子”．擺第10個這樣的“小屋子”需要多少枚棋子？擺第n個這樣的“小屋子”呢？你是如何得到的？9．【問題呈現(xiàn)】用一些長短相同的小木棍按圖所示的方式，連續(xù)擺正方形或六邊形，要求相鄰的圖形只有一條公共邊.已知擺放的正方形比六邊形多4個，并且一共用了110根小木棍，問連續(xù)擺放的正方形和六邊形各多少個.【自主思考】慧慧用表格的形式對本問題的一些信息進行了梳理，請把表格內容補充完整.連續(xù)擺放的個數(shù)/個使用小木棍的根數(shù)/根正方形六邊形關系【建模解答】（請完整解答本題）10．如圖是由一些火柴棒搭成的圖案．(1)擺第4個圖案用根火柴棒．(2)按照這種方式擺下去，擺第n個圖案用根火柴棒．(3)計算一下擺481根火柴棒時，是第幾個圖案？11．實驗探究：如圖，在四邊形ABCD內部，有n個點Pi（i1，2，3，…，n），連接這個點構造不重疊的小三角形，請把在不同點數(shù)情況下最多可構造的三角形個數(shù)填入表中．四邊形內部的點數(shù)1234...n構造的小三角形個數(shù)46...(1)將上表中數(shù)據(jù)補充完整；(2)當四邊形中有2022個小三角形時，求點數(shù)n的值．12．如圖，學校準備新建一個長度為L的讀書長廊，并準備用若干塊帶有花紋和沒有花紋的兩種規(guī)格大小相同的正方形地面磚搭配在一起，按圖中所示的規(guī)律拼成圖案鋪滿長廊，已知每個小正方形地面磚的邊長均為0.3m．(1)按圖示規(guī)律，第一圖案的長度______；第二個圖案的長度______；(2)請用代數(shù)式表示帶有花紋的地面磚塊數(shù)n與走廊的長度（m）之間的關系；(3)當走廊的長度L為60.3m時，請計算出所需帶有花紋圖案的瓷磚的塊數(shù)．13．如圖圖案是用長度相同的火柴棒按一定規(guī)律拼搭而成，圖案需8根火柴棒，圖案②需15根火柴棒，圖案②需15根火柴棒，…(1)按此規(guī)律，圖案⑦需____________根火柴棒；(2)用含n的代數(shù)式表示第n個圖案需根火柴棒根數(shù)．14．2022年北京冬奧會開幕式主火炬臺由96塊小雪花形態(tài)和6塊橄欖枝構成的巨型“雪花”形態(tài)，在數(shù)學上，我們可以通過“分形”近似地得到雪花的形狀．操作：將一個邊長為1的等邊三角形（如圖①）的每一邊三等分，以居中那條線段為底邊向外作等邊三角形，并去掉所作的等邊三角形的一條邊，得到一個六角星（如圖②，稱為第一次分形．接著對每個等邊三角形凸出的部分繼續(xù)上述過程，即在每條邊三等分后的中段向外畫等邊三角形，得到一個新的圖形（如圖③），稱為第二次分形．不斷重復這樣的過程，就得到了“科赫雪花曲線”．(1)【規(guī)律總結】每一次分形后，得到的“雪花曲線”的邊數(shù)是前一個“雪花曲線”邊數(shù)的倍；每一次分形后，三角形的邊長都變?yōu)樵瓉淼谋叮?2)【問題解決】試猜想第n次分形后所得圖形的邊數(shù)是；周長為（用含n的代數(shù)式表示）15．用棋子擺出下一組圖形：(1)擺第1個圖形用______枚棋子，擺第2個圖形用______枚棋子，擺第3個圖形用______枚棋子．(2)按照這種方式擺下去，擺第n個圖形用多少枚棋子？(3)計算一下擺第100個圖形用多少枚棋子？(4)小魚同學手上剛好有50枚棋子，是否可以擺出符合這種規(guī)律的圖形，50枚棋子一枚不剩？如果可以，求出是第幾個圖形；如果不可以，請說明理由．16．把黑色三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有1個黑色三角形，第②個圖案中有3個黑色三角形，第③個圖案中有6個黑色三角形…按此規(guī)律排列下去，解答下列問題：(1)第④個圖案中有______個黑色三角形．(2)求第?個圖案中有多少個黑色三角形？（用含n的代數(shù)式表示）(3)求第100個圖案中黑色三角形的個數(shù)．17．（1）如圖1，圖中共有三角形個；如圖2，若增加一條線，則圖中共有三角形個；（2）如圖3，若增加到10條線，請你求出圖中的三角形的個數(shù)．18．[提出問題]一個邊形，內部有個點，用這些點以及邊形的個頂點，可把原三角形分割成多少個互不重疊的小三角形？[探究問題]為了解決上面的問題，我們先從簡單和具體的情形入手：探究一：以的三個頂點和它內部的1個點，共4個點為頂點，可把分割成3個互不重疊的小三角形．（如圖①）探究二：以的三個頂點和它內部的2個點，共5個點為頂點，可把分割成5個互不重疊的小三角形．探究三：以的三個頂點和它內部的3個點，共6個點為頂點，可把分割成7個互不重疊的小三角形．[解決問題]以的三個頂點和它內部的個點，共個點為頂點，可把分割成______個互不重疊的小三角形．[拓展探究]一個正方形內部有若干個點，用這些點以及正方形的四個頂點、、、，可把原正方形分割成多少個互不重疊的小三角形？完成下列表格．（1）填寫下表：正方形內點的個數(shù)1234…分割成三角形的個數(shù)4_______