七年級數(shù)學(xué)上冊專題3.17 實際問題與一元一次方程（一）（知識講解）-2022-2023學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項講練（人教版）

/專題3.17實際問題與一元一次方程（一）（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】熟練掌握分析解決實際問題的一般方法及步驟；熟悉行程，工程，配套及和差倍分問題的解題思路．【要點梳理】【類型】一、用一元一次方程解決實際問題的一般步驟列方程解應(yīng)用題的基本思路為：問題方程解答．由此可得解決此類題的一般步驟為：審、設(shè)、列、解、檢驗、答．特別說明：“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系；“設(shè)”就是設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x，但有時也可以間接設(shè)未知數(shù)；“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個量，列出方程，同時注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一；“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值；“檢驗”就是指檢驗方程的解是否符合實際意義，當(dāng)有不符合的解時，及時指出，舍去即可；“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．【類型】二、常見列方程解應(yīng)用題的幾種類型【類型1】和、差、倍、分問題此問題中常用“多、少、大、小、幾分之幾”或“增加、減少、縮小”等等詞語體現(xiàn)等量關(guān)系。審題時要抓住關(guān)鍵詞,確定標(biāo)準(zhǔn)量與比校量,并注意每個詞的細(xì)微差別?！绢愋?】等積變形問題。此類問題的關(guān)鍵在“等積”上,是等量關(guān)系的所在,必須掌握常見幾何圖形的面積、體積公式?！暗确e變形”是以形狀改變而體積不變?yōu)榍疤帷３Ｓ玫攘筷P(guān)系為:①形狀面積變了,周長沒變;②原料體積=成品體積?！绢愋?】調(diào)配問題,從調(diào)配后的數(shù)量關(guān)系中找等量關(guān)系,常見是“和、差、倍、分”關(guān)系,要注意調(diào)配對象流動的方向和數(shù)量。這類問題要搞清人數(shù)的變化,常見題型有:①既有調(diào)入又有調(diào)出:②只有調(diào)入沒有調(diào)出,調(diào)入部分變化,其余不變;③只有調(diào)出沒有調(diào)入,調(diào)出部分變化,其余不變。【類型4】行程問題要掌握行程中的基本關(guān)系:路程=速度×?xí)r間。相遇問題:相向而行：等量關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及問題同向而行：等量關(guān)系：甲走的路程-乙走的路程=原來甲、乙相距的路程【類型5】工程問題基本數(shù)量關(guān)系:工作總量=工作效率×工作時間;合做的效率=各單獨做的效率的和。當(dāng)工作總量未給出具體數(shù)量時,常設(shè)總工作量為“1”,分析時可采用列表或畫圖來幫助理解題意?！绢愋?】利潤問題標(biāo)價＝成本(或進(jìn)價)×(1＋利潤率)實際售價＝標(biāo)價×打折率利潤＝售價－成本(或進(jìn)價)＝成本×利潤率注意：“商品利潤＝售價－成本”中的右邊為正時，是盈利；當(dāng)右邊為負(fù)時，就是虧損.打幾折就是按標(biāo)價的十分之幾或百分之幾十銷售．【類型7】存貸款問題（1）利息=本金×利率×期數(shù)（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期數(shù)＝本金×(1＋利率×期數(shù))（3）實得利息=利息-利息稅（4）利息稅=利息×利息稅率（5）年利率＝月利率×12（6）月利率＝年利率×【類型8】數(shù)字問題已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a【類型9】方案問題選擇設(shè)計方案的一般步驟：（1）運用一元一次方程解應(yīng)用題的方法求解兩種方案值相等的情況．（2）用特殊值試探法選擇方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比較兩種方案的優(yōu)劣性后下結(jié)論．【典型例題】【類型一】和、差、倍、分問題 1．粵港澳大灣區(qū)自動駕駛產(chǎn)業(yè)聯(lián)盟積極推進(jìn)自動駕駛出租車應(yīng)用落地工作，無人化是自動駕駛的終極目標(biāo)．某公交集團擬在今明兩年共投資9000萬元改裝260輛無人駕駛出租車投放市場．今年每輛無人駕駛出租車的改裝費用是50萬元，預(yù)計明年每輛無人駕駛出租車的改裝費用可下降．（1）求明年每輛無人駕駛出租車的預(yù)計改裝費用是多少萬元；（2）求明年改裝的無人駕駛出租車是多少輛．【答案】（1）明年每輛無人駕駛出租車的預(yù)計改裝費用是25萬元；（2）明年改裝的無人駕駛出租車是160輛．【分析】（1）根據(jù)今年每輛無人駕駛出租車的改裝費用是50萬元，預(yù)計明年每輛無人駕駛出租車的改裝費用可下降，列出式子即可求出答案；（2）根據(jù)“某公交集團擬在今明兩年共投資9000萬元改裝260輛無人駕駛出租車投放市場”列出方程，求解即可．解：（1）依題意得：（萬元）（2）設(shè)明年改裝的無人駕駛出租車是x輛，則今年改裝的無人駕駛出租車是（260-x）輛,依題意得：解得：答：（1）明年每輛無人駕駛出租車的預(yù)計改裝費用是25萬元；（2）明年改裝的無人駕駛出租車是160輛．【點撥】本題考查了一元一次方程的實際應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是找到數(shù)量關(guān)系，列出方程．舉一反三：【變式1】在五一期間，小明、小亮等同學(xué)隨家長一同到某公園游玩，下面是購買門票時，小明與他爸爸的對話(如圖)，試根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：(1)小明他們一共去了幾個成人，幾個學(xué)生？(2)請你幫助小明算一算，用哪種方式購票更省錢？并說明理由．【答案】（1）小明他們一共去了8個成人，4個學(xué)生；（2）購團體票更省錢．【分析】（1）設(shè)去了x個成人，則去了（12?x）個學(xué)生，根據(jù)爸爸說的話，可確定相等關(guān)系為：成人的票價＋學(xué)生的票價＝350元，據(jù)此列方程求解；（2）計算團體票所需費用，和350元比較即可求解．解：(1)設(shè)成人人數(shù)為x人，則學(xué)生人數(shù)為(12－x)人．根據(jù)題意，得35x＋(12－x)＝350．解得x＝8．則12－x＝12－8＝4．答：小明他們一共去了8個成人，4個學(xué)生．(2)如果買團體票，按16人計算，共需費用為35×0.6×16＝336(元)．因為336＜350，所以購團體票更省錢．答：購團體票更省錢．【點撥】考查利用方程模型解決實際問題，關(guān)鍵在于設(shè)求知數(shù)，列方程．此類題目貼近生活，有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活中實際問題的能力．【變式2】有一個老太太提著一個籃子去賣雞蛋，第一個人買走了她的雞蛋的一半又半個；第二個人買走了剩下的一半又半個；第三人買走了前兩個人剩下的一半又半個，正好賣完全部雞蛋，問老太太一共賣了多少個雞蛋．【答案】老太太一共賣了7個雞蛋.解：設(shè)老太太一共賣了x個雞蛋，那么第一個人買走了x+=（x+1）個；第二個人買走了[x-（x+1）]+=（x+1）個；第三個人買走了[x-（x+1）-（x+1）]+=（x+1）個；由三個人將雞蛋買光而得方程（x+1）+（x+1）+（x+1）=x,解這個方程即可求出老太太一共賣了多少個雞蛋．試題解析：設(shè)老太太一共賣了x個雞蛋，那么得方程：（x+1）+（x+1）+（x+1）=x,解得：x=7.答：老太太一共賣了7個雞蛋.【點撥】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．【類型二】等積變形問題2．兩個圓柱體容器如圖所示，它們的直徑分別為和，高分別為和．我們先在第二個容器中倒?jié)M水，然后將其倒入第一個容器中．問：倒完以后，第一個容器中的水面離容器口有多少厘米？小剛是這樣做的：設(shè)倒完以后，第一個容器中的水面離容器口有．列方程．解得．你能對他的結(jié)果作出合理的解釋嗎？【答案】“”表示第一個容器中的水溢出，如果第一個容器的高度增加，恰好能盛下．【分析】利用圓柱體積計算公式表示水的體積，根據(jù)水的體積不變即可得到一元一次方程，由此求解即可．解：第二個容器中水的體積為；第一個容器中水的體積為，水的體積不變，，解得：，“”表示第一個容器中的水溢出，如果第一個容器的高度增加，恰好能盛下．【點撥】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為，然后用含的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程．舉一反三：【變式1】墻上釘著用一根彩繩圍成的梯形形狀的飾物，如圖實線所示（單位：）．小穎將梯形下底的釘子去掉，并將這條彩繩釘成一個長方形，如圖虛線所示．小穎所釘長方形的長、寬各為多少厘米？【答案】長為，寬為．【分析】設(shè)長方形的長為，由梯形與長方形的周長相等列方程可得，再解方程可得答案.解：設(shè)長方形的長為，根據(jù)題意，得．解得：所以長方形的長為，寬為．【點撥】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，圖形的周長問題，理解題意，確定兩個圖形的周長相等列方程是解題的關(guān)鍵.【變式2】有一個盛水的圓柱體玻璃容器，它的底面直徑為12cm（容器厚度忽略不計），容器內(nèi)水的高度為10cm．（1）如圖1，容器內(nèi)水的體積為______（結(jié)果保留）．（2）如圖2，把一根底面直徑為6cm，高為12cm的實心玻璃棒插入水中（玻璃棒完全淹沒于水中），求水面上升的高度是多少？（3）如圖3，若把一根底面直徑為6cm，足夠長的實心玻璃棒插入水中，求水面上升的高度是多少？【答案】（1）；（2）3cm；（3）cm【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)圓柱體體積公式計算，即可得到答案；（2）根據(jù)題意，玻璃棒完全淹沒于水中，即水面上升部分的體積就等于玻璃棒的體積；設(shè)水面上升的高度為xcm，通過列方程并求解，即可得到答案；（3）根據(jù)題意，水面上升部分的體積等于玻璃棒淹沒部分的體積，設(shè)水面上升高度為xcm，通過列方程并求解，即可得到答案．解：（1）容器內(nèi)水的體積為故答案為：；（2）設(shè)水面上升的高度為xcm根據(jù)題意得：解得：∴水面上升高度為3cm；（3）設(shè)水面上升高度為xcm，水面上升部分的體積為，玻璃棒淹沒部分的體積為，得：，解得：∴水面上升高度為cm．【點撥】本題考查了有理數(shù)運算、一元一次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握含乘方的有理數(shù)混合運算、一元一次方程的性質(zhì)，從而完成求解．【類型三】調(diào)配問題3、我市是蔬菜水果生產(chǎn)大縣．去年秋季，我市某果樹基地安排26名工人將采摘的水果包裝成果籃，每個工人每小時可包裝200個蘋果或者300個梨，每個果籃中放3個蘋果和2個梨，為了使包裝的水果剛好完整配成果籃，應(yīng)該安排多少名工人包裝蘋果，多少名工人包裝梨？(1)若設(shè)安排名工人包裝蘋果，名工人包裝梨，請求出，的值；(2)若每個果籃可賣25元，每名工人每天工作8個小時，問該果樹基地一天可以賣得多少錢？【答案】(1)(2)元【分析】（1）設(shè)安排名工人包裝蘋果，名工人包裝梨，然后根據(jù)果樹基地安排26名工人將采摘的水果包裝成果籃，每個工人每小時可包裝200個蘋果或者300個梨，每個果籃中放3個蘋果和2個梨，為了使包裝的水果剛好完整配成果籃列出方程組求解即可；（2）根據(jù)（1）所求進(jìn)行求解即可．（1）解：設(shè)安排名工人包裝蘋果，名工人包裝梨，可列方程組為解得，答：的值分別為：18，8．（2）解：（元）．答：該果樹基地一天可以賣得元．【點撥】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，有理數(shù)乘除法的實際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】某車間每天能制作甲種零件400只，或者制作乙種零件200只，1只甲種零件需要和3只乙種零件配成一套．現(xiàn)要在49天內(nèi)制作最多的成套產(chǎn)品，則甲乙兩種零件各應(yīng)制作多少天．【答案】甲種零件應(yīng)制作7天，乙種零件應(yīng)制作42天．【分析】可設(shè)甲種零件應(yīng)制作x天，則乙種零件應(yīng)制作（49﹣x）天，本題的等量關(guān)系為：3×甲種零件數(shù)=乙零件數(shù)．由此可得出方程求解．解：甲種零件應(yīng)制作天，則乙種零件制作天．解這個方程，得．答：甲種零件應(yīng)制作7天，乙種零件應(yīng)制作42天．【點撥】考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是弄清題意，找出合適的等量關(guān)系列出方程．【變式2】七年級1班共有學(xué)生45人，其中男生人數(shù)比女生人數(shù)少3人．某節(jié)課上，老師組織同學(xué)們做圓柱形筆筒，每名學(xué)生每節(jié)課能做筒身30個或筒底90個．(1)七年級1班有男生、女生各多少人？(2)原計劃女生負(fù)責(zé)做筒身，男生做筒底，要求每個筒身匹配2個筒底，那么每節(jié)課做出的筒身和筒底配套嗎？如果不配套，男生要支援女生幾人，才能使筒身和筒底配套？【答案】(1)男生21人，女生24人(2)不配套；男生要支援女生3人【分析】（1）根據(jù)男生人數(shù)+女生人數(shù)＝總?cè)藬?shù)，可以列出相應(yīng)的方程，然后求解即可；（2）根據(jù)題意，可以計算出原計劃制作的筒身和筒底數(shù)，然后看一下數(shù)量是否是二倍的關(guān)系即可判斷原計劃生產(chǎn)的是否配套；然后根據(jù)判斷設(shè)男生要支援女生a人，再列方程，解答即可．(1)解：設(shè)女生有x人，則男生有（x﹣3）人，由題意可得：x+（x﹣3）＝45，解得x＝24，∴x﹣3＝21，答：七年級1班有男生21人，女生24人．(2)解：女生可以做筒身：24×30＝720（個），男生可以做筒底：21×90＝1890（個），∵720×2＜1890，∴原計劃每節(jié)課做出的筒身和筒底不配套；設(shè)男生要支援女生a人，才能使筒身和筒底配套，根據(jù)題意得：（24+a）×30×2＝（21﹣a）×90，解得a＝3，答：男生要支援女生3人，才能使筒身和筒底配套．【點撥】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵．【類型四】行程問題4、A，B兩地相距300千米，甲車從A地駛向B地，行駛80千米后，乙車從B地出發(fā)駛向A地，乙車行駛5小時到達(dá)A地，并原地休息．甲、乙兩車勻速行駛，甲車速度是乙車速度的倍．(1)甲車的行駛速度是________千米/時，乙車的行駛速度是________千米/時；(2)求乙車出發(fā)后幾小時兩車相遇；（列方程解答此問）(3)若甲車到達(dá)B地休息一段時間后按原路原速返回，且比乙車晚2小時到達(dá)A地．甲車從A地出發(fā)到返回A地過程中，甲車出發(fā)________小時，兩車相距40千米；甲車在B地休息________小時．【答案】(1)80，60；(2)小時；(3)；0.5．【分析】（1）根據(jù)速度等于路程除以時間即可求出乙車的行駛速度，從而得到甲車的行駛速度；（2）設(shè)乙車出發(fā)后x小時兩車相遇，根據(jù)題意列出方程求解即可；（3）設(shè)甲車出發(fā)y小時后，甲乙兩車相距40千米，分兩車在相遇前相距40千米和兩車在相遇后相距40千米討論列方程求解即可得甲車出發(fā)后相距乙車40千米的時間，再求出甲車所用在途時間，即可求得甲車在B地休息的時間．（1）解：乙車的行駛速度：（千米/小時）甲車的行駛速度：（千米/小時），故答案為：80，60；（2）解：設(shè)乙車出發(fā)后x小時兩車相遇，解得答：乙車出發(fā)后小時兩車相遇；（3）解：設(shè)甲車出發(fā)y小時后，甲乙兩車相距40千米，當(dāng)兩車在相遇前相距40千米時：80y+60(y-1)=300-40，解得y=，當(dāng)兩車在相遇后相距40千米∶80y+60(y-1)=300+40，解得y=，∵乙車出發(fā)后，甲車所用在途時間：（小時），甲車所用時間為5小時，甲車比乙車晚2小時到達(dá)A地．∴甲車在B地休息時間為：5+2-6.5=0.5（小時）故答案為：；0.5．【點撥】本題考查了一元一次方程解行程問題，掌握解一元一次方程的方法以及路程、速度與時間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】星期六小王去球館打球，去時發(fā)現(xiàn)家中的鐘沒電了，于是換上電池，把鐘暫時調(diào)整到8時整．到球館時球館的鐘剛好是8時整．打球到11時整時他以原速度回家發(fā)現(xiàn)家中的鐘剛好是12時整．小王根據(jù)這些時間關(guān)系再次調(diào)整了時間．如果小王在路上的速度是60米/分鐘，請問從家到球館的路程是多少？小王到家的準(zhǔn)確時間是幾點？【答案】從家到球館的路程是1800米；小王到家的準(zhǔn)確時間11時30分．【分析】根據(jù)家中的時間可以得知總時間為4小時，它等于球館的鐘表時間，即打球的時間加上路上總共用時．解：設(shè)家到球館的路程為x米．小王在路上的速度是60米/分鐘即為3600米/時解得：．（時）小王到家的準(zhǔn)確時間：11時+0.5時=11時30分【點撥】本題考查了時間、路程速度與時間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于找到等量關(guān)系．【變式2】莊河市出租車的收費標(biāo)準(zhǔn)是：起步價10元，即行駛距離不超過3公里都需支付10元；超過3公里，每增加1公里收費為2元．(1)行駛5公里需支付多少元？(2)某同學(xué)從家乘出租車到學(xué)校共花費18元，則該同學(xué)的家到學(xué)校的距離是多少？【答案】(1)行駛5公里需要14元(2)該同學(xué)的家到學(xué)校的距離為7公里【分析】（1）起步價加里程費即可解答；（2）根據(jù)題意列出方程18=10+2（x-3），解此方程即可．（1）解：（元）答：行駛5公里需14元.（2）解：設(shè)該同學(xué)的家到學(xué)校的距離為x公里，由題意得：18=10+2（x-3）解得x=7答：該同學(xué)的家到學(xué)校的距離為7公里.【點撥】本題考查一元一次方程的實際應(yīng)用，是基礎(chǔ)考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【類型五】工程問題5、某廠接到一所中學(xué)的冬季校服定做任務(wù)，計劃用、兩臺大型設(shè)備進(jìn)行加工，如果單獨用型設(shè)備，需要45天做完；如果單獨用型設(shè)備，需要30天做完；為了同學(xué)們能及時領(lǐng)到冬季校服，工廠決定由兩臺設(shè)備同時趕制．(1)填空：型設(shè)備的工作效率是_________，型設(shè)備的工作效率是_________；(2)若兩臺設(shè)備同時加工10天后，型設(shè)備出了故障，暫時不能工作，如果由型設(shè)備單獨完成剩下的任務(wù)，則還需要多少天？【答案】(1)，(2)20天【分析】（1）利用工作效率工作總量工作時間，可得出，兩臺設(shè)備的工作效率；（2）先設(shè)還需要天完成，利用型設(shè)備完成的工作量型設(shè)備完成的工作