第七章正則方程

第七章正則方程第一頁，共18頁。一.勒讓德變換

在方程中,把一組獨(dú)立自變量變?yōu)榱硪唤M獨(dú)立自變量的變換,叫勒襄特變換.設(shè)函數(shù),令:第一頁第二頁，共18頁。------------這是新變量與新函數(shù)應(yīng)滿足的方程。以上所述把稱為勒讓德變換,這種變換不僅應(yīng)用在力學(xué)中，還用在熱力學(xué)系統(tǒng)中，從一個特征函數(shù)變換得到熱力學(xué)系統(tǒng)的其他特征函數(shù)。二.正則方程第二頁第三頁，共18頁。第三頁第四頁，共18頁。對于哈密頓量：——-哈密頓正則方程,它是一階微分方程,且形式對稱.由于相互獨(dú)立的,所以第四頁第五頁，共18頁。說明如果L不顯含時間,H也不顯含時間.思考:正則方程是否適用任何系統(tǒng)?正則方程適用于主動力均為有勢力的理想完整系.結(jié)合初始條件,得到描述力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的運(yùn)動方程:第五頁第六頁，共18頁。[例]

一質(zhì)量為m的自由質(zhì)點(diǎn),受力為位矢,k為大于零的常數(shù).運(yùn)用正則方程,寫出在直角坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程。解:取x，y，z為廣義坐標(biāo)。動能為第六頁第七頁，共18頁。代入哈密頓函數(shù)的定義式中,得第七頁第八頁，共18頁。將H代入正則方程中,得到質(zhì)點(diǎn)的動力學(xué)方程:得到質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程第八頁第九頁，共18頁。應(yīng)用正則方程建立系統(tǒng)運(yùn)動方程的步驟小結(jié):檢驗(yàn)系統(tǒng)是否是完整的有勢系,然后確定自由度,選擇適當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo).2)寫出系統(tǒng)相對慣性系的動能和勢能,得到并求出廣義動量,由此反解出3)通過,并利用得到4)將H代入正則方程中,得出系統(tǒng)的運(yùn)動方程.第九頁第十頁，共18頁。哈密頓動力學(xué)與拉格朗日動力學(xué)比較：在拉格朗日動力學(xué)中,從拉格朗日函數(shù)可以直接寫出動力學(xué)方程即拉格朗日方程.而在哈密頓動力學(xué)中,必須從拉格朗日函數(shù)轉(zhuǎn)到哈密頓函數(shù),才可寫出動力學(xué)方程即哈密頓正則方程,所以哈密頓動力學(xué)不如拉格朗日動力學(xué)簡便。哈密頓動力學(xué)的優(yōu)點(diǎn)：1）是便于量子化.如在量子力學(xué)中，哈密頓函數(shù)作為算符可確定微觀粒子的運(yùn)動規(guī)律；2）在變量的變換中比較自由：拉格朗日動力學(xué)采用的變量廣義坐標(biāo)和廣義速度并不對等,只能對廣義坐標(biāo)進(jìn)行變換,而廣義速度也隨之而變.哈密頓動力學(xué)采用的變量坐標(biāo)和動量是完全對等的,不僅可以對廣義坐標(biāo)進(jìn)行變換,而且可以坐標(biāo)和動量一起變換,這個在正則變換時可知其優(yōu)點(diǎn).第十頁第十一頁，共18頁。三.哈密頓函數(shù)的意義哈密頓函數(shù)是系統(tǒng)的特征函數(shù),因它隱含著系統(tǒng)的約束關(guān)系、系統(tǒng)的受力情況以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)情況等信息。哈密頓函數(shù)不僅應(yīng)用于經(jīng)典力學(xué)范疇，還應(yīng)用于其它物理學(xué)領(lǐng)域，如量子力學(xué)中，熱力學(xué)等。四.正則變量、相空間、正則方程的意義2s個廣義坐標(biāo)和廣義動量，統(tǒng)稱為正則變量。第十一頁第十二頁，共18頁。由2s個組成的2s維空間稱為相空間。相空間中的一個點(diǎn)（相點(diǎn)）代表系統(tǒng)在某時刻的運(yùn)動狀態(tài).在相空間中,利用正則方程可對力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行定性的幾何研究,尤其是對非線性系統(tǒng)在解析求解困難時.正則方程的意義:它結(jié)構(gòu)簡單對稱,為后續(xù)的力學(xué)發(fā)展(如泊松括號、正則變換、哈密頓-雅可比方程等理論)奠定基礎(chǔ)；在數(shù)學(xué)上，正則方程是一階微分方程，有利用計算機(jī)數(shù)學(xué)軟件對非線性系統(tǒng)的運(yùn)動作數(shù)值計算。第十二頁第十三頁，共18頁。五.廣義能量積分和廣義動量積分1.廣義能量積分將正則方程代入上式得:第十三頁第十四頁，共18頁。2.廣義動量積分第十四頁第十五頁，共18頁。例:試由哈密頓原理導(dǎo)出正則方程.解:由哈密頓原理,得因?yàn)镠是p,q,t的函數(shù),并且

t=0,所以又第十五頁第十六頁，