導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算

第三篇導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算1導(dǎo)數(shù)的概念1f在=0處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)y=f在=0處的瞬時(shí)變化率是稱其為函數(shù)y=f在=0處的導(dǎo)數(shù),記作f′0或y′|=0,即f′0=基礎(chǔ)知識(shí)梳理：2導(dǎo)函數(shù)當(dāng)變化時(shí),f′稱為f的導(dǎo)函數(shù),則f′=y′=注意:導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在x=x0處及其附近函數(shù)值的改變量Δy與自變量的改變量Δx之比的極限,它是一個(gè)局部性的概念.

則函數(shù)y=f(x)在x=x0處就有導(dǎo)數(shù),否則就沒(méi)有導(dǎo)數(shù).2導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f在=0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線y=f在點(diǎn)P0,y0處的切線的斜率,過(guò)點(diǎn)P的切線方程為:y-y0=f′0-0注意：求曲線過(guò)某點(diǎn)的切線方程，必須先判斷點(diǎn)是否在曲線上。若不在，則先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)再求。3幾種常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1c′=0c為常數(shù);2n′=nn-1n∈N;3sin′=cos;4cos′=-sin;5e′=e;6a′=alna;4導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則1′=f′±g′;2′=f′gfg′;注意:關(guān)于導(dǎo)數(shù)的加減法則,可推廣到有限多個(gè)情況,如′=f′g′h′等1在平均變化率的定義中,自變量的增量Δ滿足>0 <0≠0 =0解析:當(dāng)Δ>0時(shí),是從右端趨近,Δ<0時(shí),是從左端趨近,這就是“附近”的意義答案:C考點(diǎn)訓(xùn)練：=3t2,則在時(shí)間段[2,內(nèi)相應(yīng)的平均速度為 A041 B3C4 D41答案:D可導(dǎo),則等于 Af′1 ′1Cf′1 Df′3答案:A在=1處的導(dǎo)數(shù)為3,則f的解析式可能為 Af=-133-1Bf=2-1Cf=2-12Df=-1解析:先求f的導(dǎo)函數(shù),=-133-1時(shí),f′=3-123且f′1=31-123=3答案:A52010·新課標(biāo)全國(guó)曲線y=3-21在點(diǎn)1,0處的切線方程為Ay=-1By=-1Cy=2-2Dy=-22解析:由題可知,點(diǎn)1,0在曲線y=3-21上,求導(dǎo)可得y′=32-2,所以在點(diǎn)1,0處的切線的斜率=1,切線過(guò)點(diǎn)1,0,根據(jù)直線的點(diǎn)斜式可得切線方程為y=-1,故選A答案:A題型一 利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)解題準(zhǔn)備:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是求導(dǎo)數(shù)的基本方法,應(yīng)熟練掌握,關(guān)鍵是變形,找出分子與分母的對(duì)應(yīng)關(guān)系典例研習(xí)：利用定義法求導(dǎo)數(shù),要先求出Δy,然后分離出與Δ無(wú)關(guān)的量,再求解題型二 利用求導(dǎo)公式求導(dǎo)數(shù)解題準(zhǔn)備:1運(yùn)用可導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)公式,求函數(shù)y=f在開(kāi)區(qū)間a,b內(nèi)的導(dǎo)數(shù)的基本步驟:1分析函數(shù)y=f的結(jié)構(gòu)和特征;2選擇恰當(dāng)?shù)那髮?dǎo)法則和導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo);3整理得結(jié)果2對(duì)較復(fù)雜的函數(shù)求導(dǎo)時(shí),應(yīng)先化簡(jiǎn)再求導(dǎo),特別是對(duì)數(shù)函數(shù)真數(shù)是根式或分式時(shí),可用對(duì)數(shù)的性質(zhì)把真數(shù)轉(zhuǎn)化為有理式或整式求解更為方便1y′=2′sin2sin′=2sin2cos;2y′=3e′-2′e′=3′e3e′-2′=3ln3?e3e-2ln2;=ln31?3e-2ln2;類型三 導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用解題準(zhǔn)備:求曲線切線方程的步驟是:①求導(dǎo)數(shù)f′;②求斜率=f′0;③寫(xiě)出切線方程y-y0=f′0-0但是要注意,當(dāng)函數(shù)f在=0處不可導(dǎo)時(shí),曲線在該點(diǎn)處并不一定沒(méi)有切線,同時(shí)還必須明確P0,y0為切點(diǎn)求曲線的切線方程的方法是通過(guò)切點(diǎn)坐標(biāo),求出切線的斜率,再通過(guò)點(diǎn)斜式得切線方程利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問(wèn)題,一定要熟練掌握以下條件:1函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值也就是切線的斜率即已知切點(diǎn)坐標(biāo)可求切線斜率,已知斜率可求切點(diǎn)的坐標(biāo)2切點(diǎn)既在曲線上,又在切線上切線有可能和曲線還有其他的公共點(diǎn)錯(cuò)源一 因忽視解題順序而致錯(cuò)易錯(cuò)掃描：f在點(diǎn)0處的導(dǎo)數(shù)f′0,實(shí)際上是導(dǎo)函數(shù)f′在=0處的函數(shù)值,即f′0=f′|=在0處的導(dǎo)數(shù)f′0,應(yīng)先求f的導(dǎo)函數(shù)f′,再將=0代入f′求值,順序不能顛倒技法一 活用導(dǎo)數(shù)定義【典例1】設(shè)f=-1-2?…?-2006,則f′0=________技能指導(dǎo)：1×2×3×…×2006技法二 先化簡(jiǎn)再求導(dǎo),優(yōu)化解題過(guò)程【典例2】求函數(shù)y=cot的導(dǎo)數(shù)對(duì)此題,由于課本沒(méi)有給出y=cot的直接求導(dǎo)公式,一些同學(xué)不知怎么辦了其實(shí),將原式化為用sin與cos來(lái)表示的式子,然后再按照商的求導(dǎo)法則來(lái)求導(dǎo)即可求解一些常用求導(dǎo)的策略:1多項(xiàng)式相乘型的函數(shù)求導(dǎo),往往把多項(xiàng)式展開(kāi)后再利用