冪函數(shù)省賽一等獎

冪函數(shù)我們先來看看幾個具體的問題:1如果張紅買了每千克1元的蔬菜千克,那么她需要支付__________2如果正方形的邊長為,那么正方形的面積_____3如果立方體的邊長為,那么立方體的體積___________4如果一個正方形場地的面積為，那么這個正方形的邊長一引入5如果某人s內(nèi)騎車行進(jìn)1m,那么他騎車的平均速度以上問題中的函數(shù)有什么共同特征？（1）都是函數(shù)；（2）均是以自變量為底的冪；（3）指數(shù)為常數(shù)；（4）自變量前的系數(shù)為1;

上述問題中涉及的函數(shù)，都是形如y=a的函數(shù)。

y=x

y=x2

y=x3

y=x1/2

y=x-11冪函數(shù)的定義：形如y=a的函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中a是常數(shù)且a∈R。2冪函數(shù)的定義域：是使a有意義的實數(shù)的集合。隨a的不同而不同。

理論

式子

名稱

a(常數(shù)）X(自變量)Y(函數(shù)值)

冪函數(shù):y=xa

指數(shù)底數(shù)冪值冪函數(shù)判斷一個函數(shù)是冪函數(shù)切入點看看未知數(shù)是不是底數(shù)冪函數(shù)（不是冪函數(shù)）（冪函數(shù)）（不是冪函數(shù)）（冪函數(shù)）快速反應(yīng)（不是冪函數(shù)）（冪函數(shù)）判斷下列函數(shù)是否為冪函數(shù).(1)y=x4(3)y=-x2(5)y=2x2(6)y=x3+2

×∨∨∨××

練習(xí)例題1講解：這種方法叫待定系數(shù)法練習(xí)：五個常用冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)

(1)(2)

(3)(4)(5)定義域：值域：奇偶性：單調(diào)性：函數(shù)y=的圖像和性質(zhì)定義域：值域：奇偶性：單調(diào)性：函數(shù)y=2的圖像和性質(zhì)定義域：值域：奇偶性：單調(diào)性：函數(shù)y=-1的圖像和性質(zhì)x…-2-101234…y=x3……y=x1/2……-8-101827010y1234-1-2-32468-2-4-6-8y=3//64y=x2定義域：值域：奇偶性：單調(diào)性：函數(shù)y=3的圖像和性質(zhì)定義域：值域：奇偶性：單調(diào)性：名稱圖象定義域

值域奇偶性單調(diào)性

Oxy11-1-1Oxy11-1-1Oxy11-1-1Oxy11-1-1RRR[0，∞）奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)在-∞,0上是減函數(shù)，在0,∞上是增函數(shù)在R上是增函數(shù)在R上是增函數(shù)在[0,∞上是增函數(shù)在-∞,0，0,∞上是減函數(shù)Oxy11-1-1-∞,0∪0,∞R[0，∞）[0，∞）-∞,0∪0,∞R2、在第一象限內(nèi)，α>0,在0,∞上為增函數(shù);α<0,在0,∞上為減函數(shù)1、所有冪函數(shù)在0，∞上都有定義，并且圖象都通過點1,13、α為奇數(shù)時,冪函數(shù)為奇函數(shù),α為偶數(shù)時,冪函數(shù)為偶函數(shù)α>10<α<1a=1１所有冪函數(shù)的圖象都通過點1,1;冪函數(shù)的定義域、值域、奇偶性和單調(diào)性，隨常數(shù)α取值的不同而不同如果α<0,則冪函數(shù)在0,∞上為減函數(shù)。α<03如果α>0,則冪函數(shù)在0,∞上為增函數(shù);2當(dāng)α為奇數(shù)時,冪函數(shù)為奇函數(shù),當(dāng)α為偶數(shù)時,冪函數(shù)為偶函數(shù)冪函數(shù)性質(zhì)：a<0a>10<a<10xy11歸納：冪函數(shù)y=a在第一象限的圖象特征a=1理論指數(shù)大于1,在第一象限為拋物線型（凹）；指數(shù)等于1,在第一象限為上升的射線；指數(shù)大于0小于1,在第一象限為拋物線型（凸）；指數(shù)等于0,在第一象限為水平的射線；指數(shù)小于0,在第一象限為雙曲線型；判斷下列各值的大小。（1）5208與5308（2）0203與0303325-2/5與27-2/5解:1y=08在0,∞內(nèi)是增函數(shù),∵52<53∴5208<53082y=03在0,∞內(nèi)是增函數(shù)∵02<03∴0203<03033y=-2/5在0,∞內(nèi)是減函數(shù)∵25<27∴25-2/5>27-2/5例題2講解：證明冪函數(shù)在［0，∞）上是增函數(shù)復(fù)習(xí)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的步驟:1設(shè)1,2是某個區(qū)間上任意二值，且1＜2;2作差f1－f2，變形;3判斷f1－f2的符號；4下結(jié)論證明:任取所以冪函數(shù)在［0，∞）上是增函數(shù)例題3講解：證法二:任取1,2∈［0，∞）,且1<2；證明冪函數(shù)在［0，∞）上是增函數(shù)1作差法:若給出的函數(shù)是有根號的式子,往往采用有理化的方式。2作商法:證明時要注意分子和分母均為正數(shù),否則不一定能推出ｆ1<ｆ2。即所以冪函數(shù)定義五個特殊冪函數(shù)圖象基本性質(zhì)本節(jié)知識結(jié)構(gòu):