線性代數(shù)知識點全面總結(jié)

矩陣

矩陣是線性代數(shù)的核心，矩陣的概念、運算及理論貫穿線性代數(shù)的始終，對矩陣的理解與掌握要扎實深入。

理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角矩陣、對稱矩陣和反對稱矩陣，以及它們的性質(zhì)。掌握矩陣的線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置，以及它們的運算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式。正確理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)，以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣。掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質(zhì)和矩陣等價的概念，正確理解矩陣的秩的概念，熟練掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。了解分塊矩陣及其運算。必須會解矩陣方程?？倧?fù)習(xí)概念特殊矩陣

m×n個數(shù)aij

(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)

構(gòu)成的數(shù)表單位矩陣:主對角線元素都是1,其余元素都是零的n階方陣E對角矩陣:主對角元素是其余元素都是零的n階方陣Λ對稱矩陣:一、矩陣主要知識網(wǎng)絡(luò)圖AT=A反對稱矩陣:AT=－A矩陣運算A+B=

(aij+bij)kA=(kaij)AB=C其中A與B同型的第i行是A的第i列.|A|=detA,A必須是方陣.伴隨矩陣

n階行列式的|A|所有元素的代數(shù)余子式構(gòu)成的矩陣AT:AT逆矩陣概念求法證法如果AB=BA=E,則A可逆，B是A的逆矩陣.用定義用伴隨矩陣分塊對角矩陣|A|

≠0,A可逆.|A|=0,A不可逆.AB=E,A與B互逆.反證法.二、重要定理1、設(shè)A、B是n階矩陣，則|AB|=|A||B|。2、若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣惟一。3、n階矩陣A可逆?|A|≠0?R(A)=n

?A為滿秩矩陣。4、若AB

=E(或BA

=E

),則B=A-1

。5、若A為對稱矩陣，則AT＝A

。6、若A為反對稱矩陣，則AT＝－A

。三、重要公式、法則。1、矩陣的加法與數(shù)乘

A+B=B+A;(A+B)+

C

=A

+(B+C);

A

+O

=O+A=A;

A

+(－A)=O;

k(lA)=(kl)A

;(k+l)A

=kA+lA

;

k(A+B)=kA

+kB

;1A

=A,OA

=O

。2、矩陣的乘法(AB)C

=A

(BC

);(2)A

(B

+C

)=AB+AC;(A

+B

)C

=AC

+BC;(3)(kA)(lB)=(kl)AB;(4)AO=OA=O.3、矩陣的轉(zhuǎn)置(AT)T=A;(2)(A+B)T=AT+BT;(3)(kA)T=kAT;(4)(AB)T=BTAT.4、矩陣的逆(A-1)-1=A

;(2)(kA)-1=k-1A-1;(3)(AB)-1=B-1A-1;(4)(AT)-1=(A-1)T.5、伴隨矩陣

AA*=A*A

=|A|E;(2)(kA)*=kn-1A*;(3)(A*)-1=(A-1)*=|A|-1A;(4)(AT)*=(A*)T.6、n階方陣的行列式|AT|=|A|;(2)|kA|=kn|A|;(3)|AB|=|A||B|;(4)|A-1|=|A|-1;(5)|A*|=|A|n-1.四、典型例題1、方陣的冪運算2、求逆矩陣3、解矩陣方程4、A*題方陣的行列式

行列式是一個重要的數(shù)學(xué)工具，在代數(shù)學(xué)中有較多的應(yīng)用。

應(yīng)當(dāng)在正確理解n階行列式的概念，掌握行列式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，熟練地計算3階、4階行列式，也要會計算簡單的n階行列式。還要會運用行列式求解n個方程n個未知數(shù)的n元一次線性方程組。

計算行列式的基本方法是用按行（列）展開定理，通過降階來實現(xiàn)，但在展開之前往往先運用行列式的性質(zhì)，對行列式作恒等變形，以期有較多零或公因式，這樣可簡化計算。要熟練運用計算行列式的典型的計算方法和計算技巧。一、行列式主要知識點網(wǎng)絡(luò)圖概念排列行列式逆序，奇排列，偶排列一般項是不同行不同列元素乘積的代數(shù)和.●D=DT●互換行列式的兩行(列)，行列式變號?！衲承杏泄蜃涌梢蕴岬叫辛惺降耐饷妗！袢粜辛惺街心骋恍?列)的所有元素均為兩元素之和，則該行列式可拆成兩個行列式.●某行(列)的k倍加到另一行(列)，行列式不變。行列式知識點性質(zhì)展開計算●行展開●列展開●定義法●遞推法●加邊法●數(shù)學(xué)歸納法●公式法●拆項法●乘積法●齊次線性方程組有非零解的充要條件●克拉默法則應(yīng)用二、主要定理1、行列式的展開定理。=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin(i=1,2,…,n)=

a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj2、行列式展開定理的推論。ai1

Aj1+ai2Aj2+…+ainAjn=0(i≠j)a1jA1k+a2jA2k+…+anjAnk=0(j≠k)3、非齊次線性方程組克拉默法則。其中Dj(j=1,2,…,n)是把系數(shù)行列式D中的第j列的元素用方程組的常數(shù)項替換后得到的n階行列式。的系數(shù)行列式D≠0，原方程組有惟一解4、齊次線性方程組的克拉默法則。

若齊次線性方程組有非零解，則它的系數(shù)行列式必為零。三、重要公式四、典型例題1、3～4階的行列式2、簡單的n階行列式3、用公式可逆矩陣與初等變換

矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運算，他在解線性方程組、求逆矩陣及矩陣理論的探討中都起到了十分重要的作用。

熟練掌握矩陣的初等變換，了解初等矩陣的性質(zhì)和等價矩陣的概念，理解矩陣秩的概念，熟練掌握用初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法。理解齊次線性方程組有非零解充分必要條件及非齊次線性方程組有解的充分必要條件。深刻理解線性方程組通解的概念，掌握用初等變換求解線性方程組的方法。一、主要知識網(wǎng)絡(luò)圖

矩陣的初等變換與線性方程組

矩陣的初等變換初等方陣矩陣的秩線性方程組

矩陣的初等變換概念1.對換矩陣的i,j兩行（列）.2.用k≠0乘矩陣的第i行（列）.3.把某i行（列）的k倍加到另一行（列）的對應(yīng)元素上去.性質(zhì)1.初等變換不改變矩陣的秩.2.對A經(jīng)過有限次初等變換得到B，則A等價B.用途求逆，

求矩陣A的秩、最簡型、標準形.求線性方程組的解.

初等方陣性質(zhì)初等方陣都是可逆矩陣，其逆仍然是同種的初等矩陣.對Am×n矩陣實施一次行初等變換，相當(dāng)于對A左乘一個相應(yīng)的m階初等方陣；對A實施一次列初等變換，相當(dāng)于對A右乘一個相應(yīng)的n階初等方陣.任何可逆矩陣都可以表為若干個初等方陣的乘積.概念對單位矩陣實施一次初等變換而得到的矩陣稱為初等方陣.三種初等變換對應(yīng)三種初等方陣.矩陣的秩

概念k階子式.秩：矩陣非零子式的最高階數(shù).

性質(zhì)零矩陣的秩為零.R(A)=R(AT)若B可逆，則R(AB)=R(A).R(A+B)≤R(A)+R(B)R(AB)≤min{R(A),R(B)}R(AB)≥R(A)+R(B)－n若AB=0,則R(A)+R(B)≤n線性方程組

有非零解R(A)<n.求解1.化系數(shù)矩陣為最簡形.2.找等價的方程組.3.寫通解.

有解R(A)=R(B).求解1.把增廣矩陣B化為最簡形.2.找等價的方程組.3.寫通解.二、重要定理1、若A

與B等價，則R(A)=R(B).2、初等矩陣左（右）乘矩陣A，其結(jié)果就相當(dāng)于對A作相應(yīng)的初等行（列）變換。3、初等方陣均可逆，且其逆仍是同種的初等方陣。4、若A

與B等價，則存在可逆矩陣P和Q,使PAQ

=B.5、若A可逆，則存在有限個初等方陣P1,P2,…,Pl,使

A

＝P1P2…Pl。6、n元齊次線性方程組Am×nx=0有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A)<n。7、n元非齊次線性方程組Am×nx=b有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩R(A)等于增廣矩陣R(A，b)的秩。三、重要公式1、矩陣的秩

R(A)=R(AT);

R(A+B)≤R(A)+R(B)

R(AB)≤min{R(A)R(B)}

若P、

Q可逆，則R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)

R(A),k≠0,(5)R(kA)=0,k=0;

A0(6)R=R(A)+R(B)。

0B2、用初等變換求逆3、用初等行變換求A-1B四、典型例題1、用初等變換求逆和求秩。2、用初等變換求解線性方程組。3、用初等變換求A-1B。向量組的線性相關(guān)性

向量組的線性相關(guān)性是代數(shù)學(xué)中一個十分重要的概念，對討論線性方程組解的存在性和解的結(jié)構(gòu)起到了至關(guān)重要的作用。

本章要求理解向量的線性組合和線性表示的概念，深刻理解向量組的線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義，會用向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法。了解向量組的極大無關(guān)組和向量組的秩的概念，會求向量組的極大無關(guān)組和秩。了解向量組等價的概念，以及向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系。了解n維向量空間、子空間、基、維數(shù)、坐標等概念。掌握線性方程組解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，正確理解非齊次線性方程組和它所對應(yīng)的齊次線性方程組的解之間的關(guān)系，深刻理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解、解空間的概念，熟練求解線性方程組的通解。一、向量組的線性相關(guān)性主要知識網(wǎng)絡(luò)圖向量組的線性相關(guān)性n維向量運算線性表示概念判定線性相關(guān)概念判定線性無關(guān)概念判定充要條件充分條件充要條件充分條件極大無關(guān)組概念求法向量空間概念向量空間的基線性方程組Ax=0初等行變換階梯形有解判定總有解R(A)≠R(B)無解R(A)=R(B)有解R(A)=n僅有零解R(A)<n有非零解解的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)解系A(chǔ)x=b二、重要定理1、線性無關(guān)

（1）一個向量線性無關(guān)的充分必要條件是它不是零向量。

（2）兩個向量線性無關(guān)的充分必要條件是它們對應(yīng)的分量不成比例。

（3）n個n維向量線性無關(guān)的充分必要條件是它們所構(gòu)成n階行列式不為零。

（4）若整組向量線性無關(guān)，則它的任何部分組都線性無關(guān)。

（5）若r維的向量組線性無關(guān)，則在每個向量的后邊都添上一個分量而得的向量組仍線性無關(guān)。2、線性相關(guān)

（1）一個向量線性相關(guān)的充分必要條件是它是零向量。

（2）兩個向量線性相關(guān)的充分必要條件是它們對應(yīng)的分量成比例。

（3）n個n維向量線性相關(guān)的充分必要條件是它們構(gòu)成的行列式等于零。

（4）向量組α1，α2，…，αm線性相關(guān)的充分必要條件是該向量組中至少有一個向量能由其余的m－1個向量線性表示。

（5）若向量組α1，α2，…，αr線性相關(guān)，則向量組α1，α2，…，αr，αr+1，…，αm

仍線性相關(guān)。3、線性相關(guān)性與線性表示

（1）向量組α1，α2，…，αm線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣A

=(α1，α2，…，αm)的秩小于向量的個數(shù)m,向量組線性無關(guān)的充分必要條件是R(A)=m。

（2）若向量組α1，α2，…，αm線性無關(guān)，而向量組β，α1，α2，…，αm線性相關(guān)，則β能由α1，α2，…，αm線性表示，且表示法是惟一的。

（3）向量β能由向量組α1，α2，…，αm線性表示的充分必要條件是矩陣A

=(α1，α2，…，αm)的秩等于矩陣B=(α1，α2，…，αm,β)的秩。4、向量組的秩

（1）矩陣的秩等于它的列向量組的秩（列秩），也等于它的行向量組的秩（行秩）。

（2）若向量組B能由向量組A線性表示，則向量組B的秩不大于向量組A的秩。

（3）等價的向量組的秩相同。5、解空間

（1）n元齊次線性方程組Am×nx=0的全體解所構(gòu)成的集合S是一個向量空間，當(dāng)系數(shù)矩陣的秩R(Am×n)=r時，解空間S的維數(shù)為n－r。三、重要公式1、向量組線性相關(guān)性證明（1）公式

λ1α1+λ2α2+…+λmαm=0,（2）方法

①

定義法；②反證法；③用等價說法。2、求向量組的秩及其極大無關(guān)組

（1）若求向量組的秩和向量組的極大無關(guān)組，將其向量組寫成矩陣的形式，行向量組作初等列變換；列向量組作初等行變換，使之變成階梯形矩陣，非零的列（行）的數(shù)即是向量組的秩，而非零的列（行）的非零首元所在的行（列）向量組即是該向量組的一個極大無關(guān)組。3、方程組的通解（1）齊次線性方程組Ax=O的通解：x=k1α1+k2α2+…+kn-rαn-r