【ch02】量子力學(xué)測量問題

高等量子力學(xué)量子力學(xué)測量問題第二章普通高等教育“十三五”規(guī)劃教材天津工業(yè)大學(xué)學(xué)位與研究生教育改革項(xiàng)目資助01量子測量基本概念數(shù)學(xué)公式與物理可觀測量之間是通過測量聯(lián)系起來的。量子一般測量可由一組算符{Mm}描

述，這些算符作用在被測系統(tǒng)狀態(tài)空間上，其中指標(biāo)m(m=0,1,2…)表示實(shí)驗(yàn)中可能的測量結(jié)果

的標(biāo)號。若在測量前，量子系統(tǒng)的狀態(tài)是,則測量結(jié)果m發(fā)生的可能性由給出，且測量后系統(tǒng)的狀態(tài)為測量算符滿足完備性方程0101量子一般測量式中，I為單位算符。完備性方程表達(dá)了概率之和為1的事實(shí)，即式(2.4)對所有

都成立，等價(jià)于完備性方程。關(guān)于測量的一個(gè)簡單而重要的例子是單量子比特在計(jì)算基

下的測量。設(shè)兩個(gè)測量算符為

,可證假設(shè)被測狀態(tài)是

,則測得“0”的概率由式(2.1)可得于是01量子一般測量類似地，測得“1”的概率為測后的狀態(tài)分別為由于a/|a|和b/|b|的模均為1,所以測量后的狀態(tài)實(shí)際上就是(0)和1,且可知

是算符M?和M,的本征態(tài)；一般來說，如果被測系統(tǒng)初始純態(tài)

不是算符{Mm}的本征態(tài)，測量將變換這個(gè)純態(tài)為一個(gè)混合態(tài)。更一般情況下，如果被測系統(tǒng)初始處在密度矩陣p描述的混合態(tài)，那么通過把p表示為一個(gè)純態(tài)系綜

可以知道，測量將變換每一個(gè)純態(tài)為01量子一般測量01量子一般測量因此，測量對混合態(tài)p的效果是如果對系統(tǒng)進(jìn)行兩次連續(xù)測量，例如測量算符分別為Mm和L,則結(jié)果等價(jià)于單次測量，測量算符定義

。02投影測量對于量子計(jì)算和量子信息的許多應(yīng)用，人們往往關(guān)心的是馮·諾依曼正交投影測量，簡稱投影測量。投影測量由可觀測量M描述，M是被觀測系統(tǒng)態(tài)空間的一個(gè)厄密算符。可觀測量有如下譜分解：式中，Ⅱ;是M的本征空間中具有本征值m,的投影算符(或稱投影子)。測量的可能結(jié)果對應(yīng)于可觀測量的本征值m?。設(shè)在狀態(tài)

上進(jìn)行測量，得到結(jié)果m;的概率為測量后的狀態(tài)為02投影測量由如下的解釋可以看出投影測量是一般測量的特例。假設(shè)一般測量的測量算符除了滿足完備性關(guān)系式(2.3)之外，同時(shí)也滿足Mm是正交投影算符的條件，即Mm是厄密的，并且

,則此時(shí)的一般測量就成為了投影測量。實(shí)際上可以證明(此處略去),投影測量加上幺正操作等價(jià)于一般測量。投影測量有很多優(yōu)異的性質(zhì)。尤其是，投影測量容易計(jì)算可觀測量的平均值。由定義可知，可觀測量的平均值為02投影測量由此得到與可觀測量M相聯(lián)系的標(biāo)準(zhǔn)偏差為標(biāo)準(zhǔn)偏差是測量M觀測值分散程度的一個(gè)度量，由它還可以給出海森伯不確定原理的表述。針對“孤立”量子體系的量子測量都是投影測量。為了更清楚起見，我們來看投影測量的另一種表述。設(shè)

是力學(xué)量算符F的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為fm。對于任意給定的波函數(shù)|y),總可以展開成本征態(tài)

的相于疊加：

。量子力學(xué)原理告訴我們，對處于|v)態(tài)的量子體系測量力學(xué)量F,得到的結(jié)果是不確定的。它可能是F的本征值fm(m=0,1,2…)中的任意一個(gè)，相應(yīng)的概率為

。如果在單一的量子測量中得到結(jié)果fm,則在緊接著的第二次測量中，應(yīng)當(dāng)重復(fù)得到確定結(jié)果fm。這時(shí)，可以斷定體系的波函數(shù)

必將坍縮到它的一個(gè)分支

上，即02投影測量式中，

為投影算符，并且

的密度算符為投影測量后的密度算符成為式中，

。容易驗(yàn)證，

。以上描述的投影測量，實(shí)際上即是初等量子力學(xué)中提到過的測量假設(shè)。應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，馮·諾依曼投影測量是理想測量。所謂理想測量，即是儀器態(tài)相互正交，并與系統(tǒng)態(tài)一一對應(yīng)，因此測量之后由總系統(tǒng)坍縮到終態(tài)后的相應(yīng)儀器態(tài)可以確定地給出被測系統(tǒng)的性質(zhì)。進(jìn)一步，如果量子系統(tǒng)初始狀態(tài)為p,則測量后狀態(tài)成為02投影測量02投影測量其中，

是獲得標(biāo)記為m的測量結(jié)果的概率。這種類型的投影測量稱作選擇性投影測量。與選擇性投影測量相對應(yīng)的是非選擇性投影測量，即式中求和針對所有可能的測量結(jié)果。最后我們指出，幺正變換、非選擇性投影測量及取跡等操作，可以統(tǒng)一寫為其中，E?稱為Kraus算符，不必須是厄密的。03局域測量POVM大系統(tǒng)相互正交的本征態(tài)在子系統(tǒng)所屬子空間中的對應(yīng)態(tài)未必仍然相互正交。因此在子系統(tǒng)中，量子測量將投影出一組非正交態(tài)，而不是一組正交態(tài)。從大系統(tǒng)的角度來看，子系統(tǒng)是個(gè)開放系統(tǒng)。對于開放量子系統(tǒng)來說，態(tài)可能是混的；演化可能是非幺正的、不可逆的。這種情況下量子測量造成的投影分解是非正交的分解，稱作正算符取值測量(PositiveOperater-ValuedMeasure,POVM)。假設(shè)由算符Mm,描述的測量在系統(tǒng)狀態(tài)

上完成。測量結(jié)果標(biāo)記為m的概率為03局域測量POVM若定義一個(gè)有限的厄密算符{Em},E,是正算符(即對于任意態(tài)

,有

,并且滿足完備性關(guān)系

,對每個(gè)Em對應(yīng)的厄密算符

滿足

,則

。這里Em稱為測量的POVM元，完備集{Em}稱為一個(gè)POVM。實(shí)際上投影測量也是POVM的一個(gè)特例。這是因?yàn)椋绻?/p>

表示投影測量算符，則有

,并且

。這種情況下，POVM元和測量算符相同，即

。為了具體了解POVM,下面來看POVM的一個(gè)應(yīng)用示例。考慮在基矢

上的一個(gè)簡單例子。設(shè)有3個(gè)POVM算符03局域測量POVM其中，

。容易證明上述算符滿足完備性條件。也容易證明三個(gè)算符是正的(一般情況必須滿足u≤2/3),因此，我們定義了3個(gè)測量算符(在二元基上)有效的POVM集。下面看POVM怎樣應(yīng)用。設(shè)

被制備為

。測量之前我們只知道系統(tǒng)在這兩個(gè)態(tài)，但不知道具體在哪一個(gè)態(tài)。兩個(gè)態(tài)

和POVM測量概率如表2.1所示。03局域測量POVM首先，表2.1指出，此測量在下列兩種情況中未能傳遞任何信息：(1)當(dāng)輸入為

態(tài)時(shí)用E?測量；(2)當(dāng)輸入為

態(tài)時(shí)用E?測量。這是因?yàn)?，每種情況測量算符分別投影輸入態(tài)到其正交態(tài)，即

,導(dǎo)致測量概率為0,表明這些測量沒有可能的結(jié)果。其次，表2.1中在下列情況下有有限的概率u/2:(1)當(dāng)輸入為

態(tài)時(shí)用E?測量；(2)當(dāng)輸入為

態(tài)時(shí)用E?測量。事實(shí)上，如果我們碰巧測量B,則系統(tǒng)不可能處在

態(tài)，因?yàn)镋?是

上的投影子。這

樣我們可以確定系統(tǒng)一定處在

態(tài)。同樣，如果我們碰巧測量E?,則系統(tǒng)不可能處在

態(tài)，因

為E?是

|-)上的投影子。這種情況下，我們給出肯定的結(jié)論，系統(tǒng)一定處于

態(tài)。然而我們得到

這個(gè)肯定信息僅為u/2的概率，這就意味著有有限的概率1-u/2,兩個(gè)測量都沒有給出任何信息。

如果我們使用E?測量，表2.1中顯示測量在所有情況下(

)都起作用，但是概率均為1-u/2,由定義可知，

E3

既不是

態(tài)也不是

態(tài)投影子。因此，E?測量肯定的結(jié)果只告訴我們

系統(tǒng)態(tài)既不是

|1)也不是

|-),但這是我們已知知道的，因此這個(gè)測量沒有給出任何信息，用E?測

量系統(tǒng)態(tài)什么也得不到。03局域測量POVM03局域測量POVMPOVM是針對封閉系統(tǒng)的馮·諾依曼正交投影理論向開放系統(tǒng)的推廣，是完全測量向非完全測量的推廣。簡單地說，大系統(tǒng)進(jìn)行正交測量時(shí)，在子系統(tǒng)上實(shí)現(xiàn)的測量稱為廣義測量，又稱局域測量，實(shí)現(xiàn)的投影是一組POVM。從大系統(tǒng)的角度來看，子系統(tǒng)是個(gè)開放系統(tǒng)，對其進(jìn)行的觀測是片面的、局部的。另外，從研究的觀點(diǎn)來看，人們對系統(tǒng)測量后的狀態(tài)本身往往不太關(guān)注，而更關(guān)注的是系統(tǒng)得到不同觀測結(jié)果的概率，POVM正是適合這一需要的測量。04理想量子測量04理想的完全量子測量過程包含三個(gè)階段：糾纏分解、波包坍縮、初態(tài)制備。具體如下：第一，(向測量儀器輸入的)被測態(tài)

用(如所測力學(xué)量F)本征函數(shù)系展開，并和測量儀器的可區(qū)分態(tài)因相互作用而糾纏；第二，波包坍縮，即

以展開式系數(shù)模方為概率向(F的)本征態(tài)之一隨機(jī)坍縮；第三，坍縮后的態(tài)作為初態(tài)在新環(huán)境的哈密頓量下開始新一輪演化，所以又說測量制備了初態(tài)。作為一個(gè)例子，我們可以參照前面介紹的投影測量(見2.1.2節(jié)),假設(shè)厄密算符F具有分立性的本征值譜{fn},系統(tǒng)初始處于狀態(tài)p。設(shè)投影算符為

則測量本征值為fn

的概率為測量后系統(tǒng)所處狀態(tài)為特別地，如果初始系統(tǒng)的狀態(tài)為純態(tài)

,則投影測量后的系統(tǒng)狀態(tài)為其中，

。可以看到，測量后的狀態(tài)仍為純態(tài)。在實(shí)際測量中，由于測量儀器分辨率有限等原因，理想測量的條件很難被滿足，因此測量結(jié)果往往是近似的。在這種情況下，以操作(operation)和響應(yīng)(effect)概念為基礎(chǔ)的一般化測量理論將起重要作用考慮某種測量方案，在此方案下可以獲得可能的結(jié)果m∈M。將M看作經(jīng)典樣品空間，并且m是它的基本事件。基于下列概念的量子測量理論，可以被看作馮·諾依曼投影假設(shè)的一個(gè)自然的一般化。(1)測量結(jié)果m代表一個(gè)經(jīng)典隨機(jī)數(shù)，且有概率分布其中，F(xiàn)m是正算符，稱作響應(yīng)，并滿足歸一化條件：05操作和響應(yīng)其中，M是m的集合，為簡單起見我們假設(shè)集合m是分立的，于是p(m)滿足歸一化條件：(2)對于選擇性測量(selectivemeasurement),測量結(jié)果為m的那些系統(tǒng)的子系統(tǒng)的密度矩陣其中，

為正的超算符，稱作操作。該算符映射正算符為正算符，且由式(2.21)與式(2.17)一起，可得密度矩陣

的歸一化，即(3)對于非選擇性測量(non-selectivemeasurement)可得密度矩陣05操作和響應(yīng)由式(2.21)和式(2.18)歸一化得顯然，理想量子測量的馮·諾依曼測量方案是上述一般情況的特例。作為這個(gè)例子的一個(gè)自然的一般化考慮，可選操作為并且對應(yīng)的響應(yīng)為其中，

為希爾伯特空間滿足如下歸一化條件的線性算符：(4)下面看所謂量子操作的表示定理。操作φm的解析表示在實(shí)際應(yīng)用中很有用處，這個(gè)表示由Kraus定理給出。05操作和響應(yīng)操作的表示定理：存在可數(shù)的算符Ωmk的集合，以致而響應(yīng)滿足式中，I為單位算符。這是操作和響應(yīng)的最一般形式，證明從略。(5)用上述理論可以描述近似測量，即測量儀器對某些可觀測量的測量分辨率是有限的。假設(shè)可觀測量R有分立的、非簡并的本征值譜，即如果本征值m在空間上不是太接近，用分辨率足夠高的儀器即可充分區(qū)別不同的本征值。但是，如果儀器的分辨率不夠高，則無法區(qū)分鄰近的本征值。在這種情況下，我們引入條件概率分布

。它表示，已知在

態(tài)(具有本征值

)測量得到結(jié)果為m的概率，條件概率分布可以用于描述儀器的有限分辨率、環(huán)境的擾動(dòng)和測量前儀器精確狀態(tài)的可能的不確定性。05操作和響應(yīng)假設(shè)儀器總能得到確定的結(jié)果，則有測量結(jié)果為Rm的概率分布為上式歸一化為響應(yīng)算符定義為這時(shí)概率分布重新寫為正如前面已經(jīng)證明的，式(2.34)是正定算符，并且滿足歸一化條件式(2.18)。05操作和響應(yīng)為了得到合適的操作，由式(2.25)、式(2.21)和式(2.26)得到其中，Um是幺正算符(未確定),并且有因此，我們有操作表示由初態(tài)p到結(jié)果為Rm為條件的子系統(tǒng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換，形式上可以分為兩步：上述第二步代表密度矩陣的幺正變換，這個(gè)過程中熵保持常數(shù)，沒有信息在量子系統(tǒng)中被獲得，算符Um的精確形式由測量儀器的詳細(xì)情況決定。以上分析表明，人們不可能由測量結(jié)果的概率分布決定操作的精確形式。由上可見，Um描述了量子系統(tǒng)被測量儀器的擾動(dòng)。05操作和響應(yīng)式(2.39)第一步描述了在測量中獲得信息的過程：一般地，它分離初始系綜成為各種子系統(tǒng)。Fm唯一地由R的譜族和條件概率分布

決定。由于R與F有相同的譜族，因此有對易式[R,Fm]=0,像我們后面將看到的，第一步是量子非破壞性測量的充分條件。在無限分辨率情況下，有

,因此，響應(yīng)約化為R的理想測量，即Fm=|wm>(vm|。相應(yīng)地，操作取馮·諾依曼投影假設(shè)給定的形式，即一般來說投影伴隨著一個(gè)幺正變換。05操作和響應(yīng)02間接量子測量從實(shí)際操作角度，量子測量可分為直接測量和間接測量。我們把被測對象直接與經(jīng)典測量儀器作用的測量稱作直接測量。直接測量的一個(gè)典型例子是：通過照相乳膠或威爾遜云室中的路徑來測量微觀粒子的位置。一般這種測量誤差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于不確定關(guān)系所要求的結(jié)果。而要想獲得“好”的測量結(jié)果，則可以使用間接測量。這種重要的測量方法可以在一般化量子測量理論的框架下得到。它可以看成由三個(gè)部分組成。第一部分是被測的量子系統(tǒng)，即信息被摘取的系統(tǒng)，因此這個(gè)系統(tǒng)叫作量子客體(quantunobject),處于希爾伯特空間H。中；第二部分是處于希爾伯特空間Hp的量子探測體(quatumprobe),它是與量子客體相互作用的某種量子系統(tǒng)，假設(shè)探測體在相互作用之前被制備在狀態(tài)Pp,隨后的相互作用使被測系統(tǒng)與探測體的關(guān)聯(lián)建立起來；第三部分是經(jīng)典儀器，通過它完成在探測體上的測量，這個(gè)測量在被測系統(tǒng)與探測體相互作用結(jié)束之后進(jìn)行。這個(gè)方法的目的是利用對探測體的測量獲得被測體狀態(tài)信息，此信息可以由被測系統(tǒng)與探測體相互作用建立起來的關(guān)聯(lián)的約化獲得。因此，我們可以提出理想測量的如下三個(gè)基本要求。010203間接量子測量(1)當(dāng)t=0,即探測體和被測系統(tǒng)相互作用之前，探測體制備在量子態(tài)Pp,同時(shí)量子客體制備在po態(tài)。(2)使用儀器測量之前，量子客體和探測體在t=0時(shí)開始相互作用，在t=t>0時(shí)結(jié)束作用。(3)此方法的第三步是，一個(gè)經(jīng)典儀器及在探測體上的測量可以用馮·諾依曼投影假設(shè)的理想測量描述。下面我們在這種理想測量方案下推導(dǎo)響應(yīng)和操作的解析表達(dá)式。假設(shè)初始時(shí)刻(t=0),整個(gè)系統(tǒng)在總希爾伯特空間由密度矩陣

描述，整個(gè)系統(tǒng)的哈密頓量為其中，H?和Hp分別表示客體和探測體的自由演化，

表示它們的相互作用。假設(shè)相互作用在時(shí)間間隔[0,

]之外消失，在相互作用間隔內(nèi)，系統(tǒng)按照薛定諤方程規(guī)律演化，相互作用幺正演化算符為(

),則其中，T定義了時(shí)間次序。設(shè)初始系統(tǒng)狀態(tài)為

時(shí)，t=x時(shí)刻之后系統(tǒng)狀態(tài)成為間接量子測量下面假設(shè)在r時(shí)間，用經(jīng)典儀器測量探測體的一個(gè)非簡并、分立譜的可觀測量為這里注意到R是作用在希爾伯特空間Hp的量子探測體的厄密算符，測量結(jié)果為

的測量概率p(m)為其中，求跡是針對總希爾伯特空間H進(jìn)行的，對于空間Ho和Hp的部分跡分別被定義為Tr?和Trp。因此，p(m)的表達(dá)式可以重新寫為其中，響應(yīng)由下式給出：容易證明，F(xiàn)m是作用于量子客體的希爾伯特空間H。的一個(gè)正算符，并且滿足歸一化條件，即有間接量子測量測量后量子客體的狀態(tài)為引入探測體密度矩陣的譜分解由于作用在量子客體上的操作可以表示為其中因此利用這些操作可以把響應(yīng)表示為可以看到，以上操作和響應(yīng)的形式完全與式(2.28)和式(2.29)一致。如果探測體初始處于純態(tài)

,則有間接量子測量它正比于探測體從狀態(tài)到被測的可觀測量R的本征態(tài)的轉(zhuǎn)化的振幅。注意，Q是量子客體所在希爾伯特空間的算符，描述由在探測體上測量結(jié)果為rm誘導(dǎo)的客體狀態(tài)的改變?，F(xiàn)在我們將上面的結(jié)果推廣到可觀測量R為連續(xù)譜的情況?？紤]一個(gè)具體實(shí)例，假設(shè)取R為動(dòng)量算符p在一個(gè)特定方向上的算符，即設(shè)經(jīng)典測量儀器測量探測粒子動(dòng)量的某個(gè)分量。我們打算利用間接測量方法測量量子客體的非簡并、分立的可觀測量為此，我們將動(dòng)量

的共軛量，也就是坐標(biāo)算符

(滿足

)與A耦合，即考慮相互作用哈密頓量其中，假設(shè)g(t)在[0,

]之外消失。為簡單起見，進(jìn)一步假設(shè)相互作用時(shí)間

很小，且由H?+Hp產(chǎn)生的自由演化在此時(shí)間內(nèi)可以忽略，那么，么正時(shí)間演化算符可以簡單地取為其中間接量子測量式(2.57)定義了耦合強(qiáng)度。假設(shè)量子探測器初始態(tài)為

,則對于測量結(jié)果p,算符Ωp,為上式矩陣元等于

,其中

是探測體在動(dòng)量表象的初始波函數(shù)。因此有由此可見動(dòng)量測量的概率密度f(p)可表示為上述兩個(gè)方程可以用來描述近似測量可觀測量

。為了看清這點(diǎn)，我們必須回答下列問題：通過測量

可以獲得量子客體可觀測量

的什么信息?假設(shè)某時(shí)刻

是下列平均值附近的尖銳的波包間接量子測量由式(2.59)可以看到，對

的測量將量子客體的態(tài)投影到了

的本征態(tài)

上，且對應(yīng)的本征值

,滿足p+Ga,≈p

。精確的數(shù)值由探測器波函數(shù)在動(dòng)量表象中的寬度決定。因此，我們定義一個(gè)a值由測量結(jié)果p通過總公式p+Ga=p得到，即那么，a的概率密度為其中我們看到，對探測粒子動(dòng)量

的直接測量，將獲得對量子客體可觀測量

的一個(gè)近似測量結(jié)果，式(2.63)表示

的這個(gè)近似測量的條件概率密度。顯然，

是歸一化的，即間接量子測量且滿足其中，Var(p)定義了探測粒子在初始態(tài)

的p的方差。按照式(2.65),a的期望值與

的平均值相等，即另外，方程式(2.66)可導(dǎo)致如下關(guān)系：式(2.68)表明，探測粒子的動(dòng)量不確定性越小并且量子客體和探測粒子的耦合越強(qiáng)，可觀測量的測量結(jié)果就越精確。獲得a值相應(yīng)的操作由如下算符給出間接量子測量測量結(jié)果的密度矩陣為在理想情況下，探測粒子初始動(dòng)量取確定值po,則有

,因此式(2.71)表明，a只取分立值，相應(yīng)的概率為且測量的密度矩陣為表明了對

的理想量子測量結(jié)果。間接量子測量03量子非破壞性測量01標(biāo)準(zhǔn)量子極限下面我們具體分析一個(gè)自由粒子的測量過程?？紤]在時(shí)間t內(nèi)測量一個(gè)質(zhì)量為m的自由粒子

的位置。假設(shè)初始t=0時(shí)刻，測得粒子位置的誤差為(Axc)1,由海森伯不確定關(guān)系可知?jiǎng)恿渴艿?/p>

的擾動(dòng)為經(jīng)過時(shí)間

后，動(dòng)量擾動(dòng)將使粒子位置附加一個(gè)不確定性此式將疊加于第二個(gè)測量誤差(Axc)?之上。從兩個(gè)位置的測量結(jié)果，實(shí)驗(yàn)者可獲得粒子的動(dòng)量為因此，位置測量的三個(gè)誤差給出動(dòng)量的均方差為量子非破壞性測量要想得到動(dòng)量的最大精度，

不可任意小，因?yàn)橛墒?2.75)可以看出，這將使

任意大。利用式(2.77),由

取極值可以得到，最佳選擇是

。因此，動(dòng)量的最佳精度為用相同的方法容易得到測量粒子位置乎均值x=(x1+x2)/2的最小誤差為其中，

叫作標(biāo)準(zhǔn)量子極限(StandardQuantumLimit,SQL)。標(biāo)準(zhǔn)量子極限可以逾越嗎?答案是肯定的。在得到這個(gè)極限時(shí)用了不確定關(guān)系，但是二者是不相同的。標(biāo)準(zhǔn)量子極限的具體數(shù)值依賴于量子態(tài)，與如何測量有關(guān)，而不確定關(guān)系是底線。那么，在遵守不確定性原理的前提下如何使測量精度超越標(biāo)準(zhǔn)量子極限呢?目前有兩種思路；一種是以犧牲共軛量一方為代價(jià)，去求得另一方的超精度測量，這即是壓縮態(tài)的思想；另一種就是量子非破壞性測量(QuantumNon-DemolitionMeasurement,QND測量)。量子非破壞性測量可觀測量A的QND實(shí)驗(yàn)是對A的多次精確而又不改變被測狀態(tài)的測量。例如，本征值的測量即為QND測量。廣義上說，原則上對一個(gè)量子系統(tǒng)進(jìn)行給定的量子測量，總會對應(yīng)存在一些動(dòng)力學(xué)變量，它們不受此給定測量的擾動(dòng)，在此測量中保持不變。這些動(dòng)力學(xué)變量便是這種測量的QND變量。但在做此測量時(shí)，不能同時(shí)又從被測態(tài)取出與QND變量不對易的其他力學(xué)量的數(shù)值，否則必定因此而干擾被測量的態(tài)。例如，自由物體的速度測量是QND測量(或稱此時(shí)速度是QND變量),而位置測量則不是。假設(shè)對可觀測量A在量子態(tài)p完成一個(gè)理想的、非選擇性測量，眾所周知，如果A與p對易，那么經(jīng)過測量，系統(tǒng)的狀態(tài)不變。事實(shí)上，如果02QND測量表示A的譜分解，

為A的本征值，

為對應(yīng)于

的投影算符，則測量后的非選擇性密度矩陣p'為QND測量其中計(jì)算用到了完備性關(guān)系及p對易于投影算符π,這一事實(shí)。下面考慮一般性測量方法，我們將用到操作

和算符Ωm。對可觀測量A,如果測量過程中其概率分布不變，即A的本征值的分布在初始和最終是相同的，這個(gè)方法將定義一個(gè)量子非破壞性測量(QND)。這里假設(shè)一般性測量是非選擇性的。QND測量儀器對高精度量子測量的設(shè)計(jì)是很重要的。利用式(2.25),可以將上面的定義表達(dá)為下述的數(shù)學(xué)形式：對于上式的一個(gè)例子是關(guān)于A的理想測量，Ωm由投影算符

給出，式(2.80)明顯滿足。利用歸一化條件式(2.27),式(2.80)化為因?yàn)樯鲜奖患僭O(shè)對所有p成立，所以我們得出結(jié)論：QND測量的充分條件為因此，對于可觀測量A,如果由測量導(dǎo)致的描述量子系統(tǒng)變化的算符Qm與A對易，則這個(gè)測量就是QND測量。QND測量對于理想測量，式(2.82)總能被滿足，即A的理想測量總是QND測量。我們也可以立即從式(2.69)中看到，前面間接測量的例子滿足QND條件。這是由于，事實(shí)上相互作用哈密頓量HI(1)與被測量對易，使得

在A表象是對角的，因此，A在測量過程中是運(yùn)動(dòng)常數(shù)。下面來分析一般情況下的間接測量。設(shè)探測粒子處于純態(tài)φ,將式(2.53)代入式(2.82),則有式(2.83)對所有m成立。因?yàn)?/p>

是探測體在希爾伯特空間Hp的一個(gè)基矢，因此有式(2.84)可以通過制備合適的探測體的態(tài)

而達(dá)到。實(shí)際上這并不容易做到，它需要對易子消失，從而導(dǎo)致下列QND充分條件：按照方程式(2.85),海森伯繪景下的算符在t=r之后回到了初始值，即

做到這一點(diǎn)最容易的方法是使A對易于總哈密頓量QND測量即如果A在量子客體的自由演化下是運(yùn)動(dòng)常數(shù)，一般QND測量的充分條件是這個(gè)條件也稱為反作用逃逸條件，因?yàn)樗ＷC了量子客體和探測系統(tǒng)的相互作用不干擾被測量。最后需要說明，經(jīng)過一些推理可以表明，前面討論的近似測量是QND的充分條件由

給出。這意味著用這種方法，被近似測量的可觀測量必須對易于幺正算符Um(見(式2.39))。因此，一般來說，這些幺正變換擾動(dòng)的是被測量的概率分布。自由粒子的QND變量為動(dòng)量和能量；諧振子為平方和振幅、能量和相位(測量能量的最好辦法是放棄對相角的測量，它不是運(yùn)動(dòng)積分)。再比如，Kerr效應(yīng)就是存在QND變量的另一個(gè)例子。Kerr效應(yīng)可以允許我們?nèi)y量信號光場的光子數(shù)而不擾動(dòng)這個(gè)數(shù)。值得注意，QND遠(yuǎn)不是對任何態(tài)的任何物理量測量都能做得到的。這里有一個(gè)針對合適的系統(tǒng)、選擇合適的力學(xué)量及選擇合適的測量方案的問題。通常選擇A為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)積分，并放棄與之不對易的力學(xué)量的取值，以免影響被測狀態(tài)，污染測量。這就是為什么說QND是一種精確測量，測量儀器不會對被測結(jié)果(原有的先驗(yàn)不確定性之外)添加擾動(dòng)或變化的原因。此外，QND測量技術(shù)允許多次重復(fù)并且有大大高于SQL的精度。QND測量04非選擇性連續(xù)測量01量子Zeno效應(yīng)量子Zeno效應(yīng)是純量子測量效應(yīng)。理論和實(shí)驗(yàn)都已經(jīng)表明，頻繁的測量能阻止不穩(wěn)定量子

系統(tǒng)的衰變或躍遷。極端而言，連續(xù)進(jìn)行的量子測量將使不穩(wěn)定的量子系統(tǒng)穩(wěn)定地保持在其初態(tài)

上，這種不穩(wěn)定初態(tài)的存活概率在連續(xù)測量下將成為百分之百，這就是量子Zeno效應(yīng)。這種在

古代哲學(xué)中提到的“飛矢不動(dòng)”的佯謬，在量子系統(tǒng)中真的可以實(shí)現(xiàn)。在對量子系統(tǒng)進(jìn)行連續(xù)測量時(shí)，測量設(shè)備一般以兩種不同的方式反作用于量子系統(tǒng)。其一，

它可以影響被測量的可觀測值的期望值的演化。這被稱為“動(dòng)力學(xué)反作用”,這種影響是可以預(yù)

測的。其二，測量設(shè)備以隨機(jī)的方式擾動(dòng)這個(gè)可觀測量，增加它們的不確定性，從而造成對期

望值的隨機(jī)偏離。第一種情況可以通過構(gòu)造合適的測量設(shè)備來加以避免；而第二種作用是基本

的、無法去除的。一般情況下的量子Zeno效應(yīng)分析比較復(fù)雜，我們下面先就封閉系統(tǒng)，利用投影測量給出此

效應(yīng)的理論推導(dǎo)?？紤]可觀測量A,假設(shè)它的本征值譜是分立和非簡并的，即有01量子Zeno效應(yīng)01量子Zeno效應(yīng)對A做一系列瞬時(shí)的、投影測量，并且每兩次測量的時(shí)間間隔均為0。當(dāng)θ→0時(shí)，就說對

可觀測量A的測量是連續(xù)的。兩次測量期間態(tài)矢量的演化遵循薛定諤方程(h=1):其中，H為系統(tǒng)的哈密頓量，它使系統(tǒng)以確定的概率在不同本征態(tài)之間自由演化，某一時(shí)刻的測量將使系統(tǒng)有可能以一定的概率處于任意某個(gè)本征態(tài)上。然而下面我們將看到，連續(xù)測量改變了人們這個(gè)長期的看法?，F(xiàn)在假設(shè)系統(tǒng)初始處于A的本征值an對應(yīng)的本征態(tài)

上，即對于足夠小的t,由薛定諤方程有01量子Zeno效應(yīng)01量子Zeno效應(yīng)在時(shí)刻t=0時(shí)對A做理想的投影測量，在這個(gè)測量中獲得本征值an

的概率為其中式(2.95)為處于狀態(tài)

上的能量不確定性。

為時(shí)刻

之后系統(tǒng)仍然處于初始態(tài)

上的概率。因此，在時(shí)間

，即k次測量之后這個(gè)概率為當(dāng)

固定并且k很大時(shí)，即0=

/k→0時(shí)，由式(2.96)可以推得上述結(jié)果表明，如果在這個(gè)系統(tǒng)上對可觀測量A做連續(xù)和理想測量，則系統(tǒng)保持在初始狀態(tài)

上的概率為1,即連續(xù)測量阻止系統(tǒng)離開初態(tài)，使系統(tǒng)停留在初始狀態(tài)，也即在連續(xù)測量下系統(tǒng)不衰變。或者說，在量子測量所造成的量子態(tài)坍縮中，時(shí)間也坍縮了、停滯了。這個(gè)結(jié)果雖然看起來有些奇異，但是近些年來的實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證實(shí)了它的存在。這是一個(gè)純量子力學(xué)效應(yīng)，因?yàn)轭l繁測量從不可能阻止經(jīng)典系統(tǒng)離開相空間區(qū)域。前面給出的Zeno效應(yīng)是在理想、連續(xù)測量的情況下得出的。為了研究非理想測量情況下是否存在Zeno效應(yīng)，我們考察下列模型在間接、連續(xù)監(jiān)視下的情況。與前面做法相似，將時(shí)間分成間隔為θ相等的時(shí)間段，量子客體在間隔內(nèi)遵循薛定諤方程演化。每個(gè)時(shí)間間隔開始，我們對A進(jìn)行間接測量。假設(shè)所有測量量子粒子是獨(dú)立的，并且處于相同的初始態(tài)

。由式(2.58)可知，量子操作為02非理想測量下的Zeno效應(yīng)式(2.98)包括了由H產(chǎn)生的相干演化，其中，

是積分耦合強(qiáng)度。因此在時(shí)間間隔θ內(nèi)，客體密度矩陣的演化可以給出將式(2.98)的展開式代入式(2.99),并忽略②以上的高階項(xiàng)，得到02非理想測量下的Zeno效應(yīng)其中定義我們可以合理地假設(shè)

。這意味著漂移貢獻(xiàn)

。消失，因此測量儀器不導(dǎo)致系統(tǒng)反作用在量子客體的動(dòng)力學(xué)上。進(jìn)一步假設(shè)存在，并且有限。因此，在連續(xù)極限(θ→0)下，由測量儀器導(dǎo)致的隨機(jī)反作用保持有限。因此，在連續(xù)極限下，得到如下量子系統(tǒng)狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)方程：上述方程右側(cè)明顯具有量子動(dòng)力學(xué)半群生成元形式。這個(gè)主方程的右邊第二項(xiàng)(所謂耗散子)描述了由測量儀器誘導(dǎo)的量子系統(tǒng)上的反作用。我們看到，這個(gè)反作用的強(qiáng)度與A的測量精度有關(guān)，即假設(shè)

,利用不確定關(guān)系，有02非理想測量下的Zeno效應(yīng)取極限θ→0,得到式中定義了σA代表對A測量不確定性的量度，式(2.105)告訴我們由測量誘導(dǎo)的反作用越強(qiáng)，對A的測量就越精確。因此，方程式(2.105)提供了一種對被測系統(tǒng)監(jiān)測精度和測量結(jié)果漲落反作用的不確定關(guān)系。如果取A是無量綱的，則

有反比于時(shí)間的量綱，有式(2.107)稱作Zeno時(shí)間。事實(shí)上，

正比于A測量精度。當(dāng)

→0時(shí)，即對任意精確的A的測量，則回到了前面描述的量子Zeno效應(yīng)。上面的理論可以用兩能級系統(tǒng)給出具體說明。設(shè)自由量子客體哈密頓量為

,其中Ω描述所謂相干Rabi振蕩。并設(shè)被測量取為A=σ?,也就是將測量儀器設(shè)計(jì)為監(jiān)測系統(tǒng)是否處于激發(fā)態(tài)

的形式。因此，相應(yīng)的密度矩陣方程為02非理想測量下的Zeno效應(yīng)由式(2.108),容易得到下列分量方程：下面設(shè)系統(tǒng)初始處于激發(fā)態(tài)能級，則密度算符為p(0)=|e)(e|,由此可知(σz(0)>=(σ,(0)>=0和(σ?(0)>=1。所以，上述微分方程的解為其中特征頻率為利用上述這些關(guān)系式，得到上能級的布居(占有率)為02非理想測量下的Zeno效應(yīng)分析上述結(jié)果可以看出，由于

的實(shí)部總為正，對于長時(shí)間限，上能級的布居

接近1/2。這意味著，測量儀器的反作用驅(qū)動(dòng)量子客體成為上、下能級具有相等占有率的定態(tài)。而對于阻尼情況

,特征頻率較為復(fù)雜，此時(shí)特征頻率表示為

,其中因此，我們有由式(2.116)可以看出

隨頻率v以指數(shù)的阻尼振蕩。對于

,即Zeno時(shí)間遠(yuǎn)大于拉比頻率的倒數(shù)，客體系統(tǒng)以接近非擾動(dòng)頻率v≈2振動(dòng)多次。如果Zcno時(shí)間減小，則頻率v變小；當(dāng)

時(shí)，相干振蕩消失。對于過阻尼情況

,系統(tǒng)將以單調(diào)的方式達(dá)到定態(tài)。因此，足夠小的Zeno時(shí)間，非擾動(dòng)運(yùn)動(dòng)的相干振蕩完全被壓抑，對于

的情況，可以得到近似解02非理想測量下的Zeno效應(yīng)02非理想測量下的Zeno效應(yīng)其中時(shí)間常數(shù)

為因此，上能級的衰減時(shí)間反比于Zeno時(shí)間

。這個(gè)極限對應(yīng)于σ?的無限精確測量及量子Zeno效應(yīng)的發(fā)生，也就是上能級的壽命成為無限，即量子系統(tǒng)保持凍結(jié)在初態(tài)上。05量子測量中的糾纏和熵量子力學(xué)中的測量過程是通過測量儀器和被測量系統(tǒng)的糾纏實(shí)現(xiàn)的。當(dāng)我們用儀器去測量一個(gè)量子力學(xué)系統(tǒng)的力學(xué)量A時(shí)，一個(gè)明顯的事實(shí)是，必須使用測量儀器和被測系統(tǒng)發(fā)生某種相互作用，共同構(gòu)成一個(gè)大的復(fù)合系統(tǒng)。這個(gè)復(fù)合系統(tǒng)經(jīng)過一段時(shí)間演化，在儀器的可區(qū)分狀態(tài)和被測系統(tǒng)A的本征態(tài)之間建立糾纏，從而當(dāng)我們從儀器上讀出某一儀器態(tài)時(shí)，也在被測系統(tǒng)中制備出A的一個(gè)本征態(tài)，這個(gè)態(tài)的本征值就是測量值。由于測量過程中使被測系統(tǒng)和測量儀器糾纏，這種糾纏破壞了被測系統(tǒng)作為A的本征態(tài)的相干疊加態(tài)，使被測系統(tǒng)由A本征態(tài)