圓錐曲線焦點三角形問題解題技巧梳理

#/7圓錐曲線焦點三角形問題解題技巧梳理一．技巧內(nèi)容橢圓雙曲線圖形珥栩圈上前任尋一點）Fi&周長2a+2cpf」?|pF22b22b21+cose1—cos9SAPF1F2S=b2tan0APF1F22s==b2APFF012tan2離心率e=血?+卩)(0<e<1)sina+sinPe=_sin(a+P)_(e>1)|sina-sinP|sin0We<1二．技巧推導(dǎo)過程i.橢圓中的|pF|pf|吒吋=|pFJ2+|pF2|2-2|pF」|pF2|cos0=(|PF|+|PF|)2-2|PF|PF|-2|PF||PF|cos0=(|PF|+|PF|)2-2|PF||PF|(1+cos0)4c2=4a2一2PFPF|(1+cos0)門Ipf門Ipf2|=4b22(1+cos0)2b21+cos0橢圓中焦點三角形的面積公式SAPF橢圓中焦點三角形的面積公式SAPF1F2=2|PF|PFIsin02b2.o12b2?0070sin0=2smcos=b2tan—21+cos021+2cos20-12222橢圓中的離心率FF1o+PF22PF2+PF2i(1)e=-=?a2a_sin0_sin(a+卩橢圓中的離心率FF1o+PF22PF2+PF2i(1)e=-=?a2a_sin0_sin(a+卩)sina+sin卩sina+sin卩-2|PF||PF|cos0⑵|f—F2|2==(lPFJ+lPF2l)2-2|PFJIPF21-21pF\Ipf2|cos0=(|PF|+|PF|)2-2Ip^IPF|(1+cos0)PFI)2—2(J-2」)2(1+cos0)=(|PF|+|PF|)2[1-1(1+cos0)]122=(|PF|+|PF|)2(2-cos0)(當(dāng)且僅當(dāng)|PF|=|PF取=,即P在短軸端點處)>(|PF|+4c2>4a2(—一cos0)艮卩>—一cos0=—一—(1一2sin20)=sin20a222222、.0e>sin24.雙曲線中的P^lPFlFF212|PF|2+|PF|2-2|PF||PF|cos0=(Ipf」-Ipf2I)2+2|pfJ|pfJ-2|PFJ|pf2|cos0=(|PF|-|PF1)2+2|PF||PF|(1-cos0)4c2=4a2+2|PF||PFI(1-cos0)...|PF||PF|=空=竺-122(1-cos0)1-cos05.雙曲線中焦點三角形的面積公式S:1APF1F2-=2珂笙斷0=2?盤2b2?sin0=—2b20?2sin0cos0=21-(1-2sin21)2b22—0tan_

26.雙曲線中的離心率c2ce=aFFl1212a|pFJ-|pF」sin0sina-sin卩||sisin(a+卩)sina-sinP|技巧1焦點三角形的周長【例1】已知點fi,f2分別是橢圓25+罟=1的左、右焦點，點p在此橢圓上，則ApFif2的周長等于()A．20【舉一反三】B．16A．20【舉一反三】B．16C．18D．14x2y2x2y23若橢圓一+二=1(其中a>b>0)的離心率為7,兩焦點分別為F,a2b251F,M為橢圓上一點，且AFFM12的周長為16,則橢圓C的方程為()A．x2y2+=1A．x2y2+=11625B．x2y2+=1259C．x2y2+=1925D．x2y2+=12516x2y2定義：橢圓上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形為橢圓的焦點三角形，已知橢圓C:-+二=1(a>b>0)的a2b2焦距為4頁，焦點三角形的周長為4逅+12，則橢圓C的方程是.技巧2焦點三角形的面積【例2-1】已知橢圓C:乂+啟=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F、行，p為橢圓上一點，且PF丄PF，a2b21212若ApF!F,的面積為9,則b=.【例2-2】已知F1、f2為雙曲線c:寧-y2=1的左、右焦點，點p在c上，ZF]PF2=6°°，則△PF1F2的面積為【舉一反三】1.已知件、f2為雙曲線C：x2-y2=1的左、右焦點，點P在C上，ZF1Pf2=600,則|PF1?PF2\=()TOC\o"1-5"\h\zA．2B．4c．6D．82若橢圓—+住=1上一點P與橢圓的兩個焦點F、耳的連線互相垂直，貝9"琴,的面積為()36161212A.36B.16C.20D.24X22兀設(shè)P為雙曲線—-y2=1(a>0)的上一點，/FPF=,(F、F為左、右焦點)，貝PF,a21231212的面積等于()

D.A.、]3a2D.技巧3焦點三角形的離心率FF2，P是C上的點，PF2F2，【例3-1】設(shè)橢圓C:FF2，P是C上的點，PF2F2，ZPF1F2=30，則C的離心率為（）A.邑B.1C丄632【例3-2】已知FF2分別是橢圓一+1=1（a〉b〉0）的左、右焦點，若橢圓上存在點P，使12a2b2ZF!PF2=90，則橢圓的離心率e的取值范圍為（）A.(0,B.,1)C.(0,D.,1)A.(0,B.,1)C.(0,D.,1)舉一反三】1?已知點P在以F，f2為左，右焦點的橢圓C:舟+啟=l（b〉0）上，在△肇F中，若上PF’F嚴(yán)，122b2b21212ZPFF2l卩，則ZPFF2l卩，則sin(a+卩)sina+sin卩A.2.記F，F(xiàn)為橢圓C:+y2=1的兩個焦點，若C上存在點M滿足MF1-MF2=0，則實數(shù)m取值范12m12圍是（)A.足〔52,+QB.]2，1]u[2,+QC.卜,2卜(1,2]D.g,1ju(1,2]鞏固練習(xí)x2y21.已知F,F是橢圓=1的兩焦點，過點F的直線交橢圓于A,B兩點.在△AFB中，若有兩邊1216921之和是10,則第三邊的長度為（）

A．6B．5C．4D．32.設(shè)橢圓C：—+啟二1（a〉0,b〉0）的左右焦點分別為Fa2bA．6B．5C．4D．32.設(shè)橢圓C：—+啟二1（a〉0,b〉0）的左右焦點分別為Fa2b21F2，離心率為弓卩是°上一點，且F1P丄F2P■若△PF1F2的面積為4,則a=（）A．1B．2C．4D．83?橢圓—+=l（a>b>°）的左、右焦點分別為F，a2b21F2橢圓上的點M滿足：ZFMF=60°，且12m已知對任意正實數(shù)mn，p，q,有如下結(jié)論成立：若一n-，則有一二-qnqmpm+p-聲成立，現(xiàn)已知橢圓估+備二1上存在一點P，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其焦點，在△?F2中,ZPFF=15。,12zpf2f=75。，則橢圓的離心率為（5?已知橢圓C：49+24=1的左’右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若C上的點A到F2的距離為6，則小空的面積為（）A．48B．25C．24D．12A．48B．25C．24D．12x2y26?已知F，F(xiàn)2分別是橢圓乂+二=1（a>b>0）的左、右焦點，若橢圓上存在點P，使得丐-丐=°，12a2b2則該橢圓的離心率的取值范圍是（）A．,1)B?(0,爭A．,1)B?(0,爭C．1722’2D．7?設(shè)橢圓蘭+學(xué)二1（a>b>0）的兩焦點為F,F，若橢圓上存在點P，使AFPF=120。，則橢圓的a2b21212離心率e的最小值為（）1A.28?已知點F，F(xiàn)分別是橢圓C和雙曲線C的公共焦點，e，e分別是C和C的離心率，點P為C和C的一1212121個公共點，且ZFPF二甲，若e2丿，則e的取值范圍是（1232B．D．（逅2運）B．D．9?設(shè)F],f2是雙曲線x2-24二1的兩個焦點，P是雙曲線上的一點，且3=4\pf2\，則的面積等于（）C．24D.48C．24D.4810?設(shè)10?設(shè)F、f2分別為雙曲線乂-二二1（a>0,b>0）的左、右焦點,雙曲線上存在一點P使得PF+PF4A3=3b，9門?IPFJ二-ab,5BPF+PF4A3=3b，9門?IPFJ二-ab,5B3則該雙曲線的離心率為（C.D.x2y211*已知點卩是雙曲線g-T二1上一點，Jf2分別為雙曲線的左右焦點，若pf2的外接圓半徑為4，且/件PF2為銳角，則|PF1〔?|PF=A.15B.16C.18D.2012?設(shè)F1,F2分別是雙曲線X2專=1的左右焦點?若點P在雙曲線上，且丐-丐=0，則宵+碼等12D.2^10D.2^10A.2\；213?已知雙曲線E:乂-琴二1（a>0，b>0）的左、右焦點分別為F，F(xiàn)，點m在雙曲線E的右a2b212支上，若平MF2e+，牛，則MF-MF的取值范圍是（）12L4312A.[T2b2,2b2b.〔2b2,2（V2+1）b2]C.[（V2-1）b2,b2D.卩2,（血+1）b2]14?已知雙曲線C的焦點為耳,f2，點P為雙曲線上一點，若\PF21=2|PFj,上P.f2二60。，則雙曲線的離心率為（）A.J3B?2C?D?1+'132TOC\o"1-5"\h\zx2y2115?已知F,F是雙曲線E：-一1的左，右焦點，點M在E上,MF與x軸垂直，sinZMFF二；,12a2b21213則E的離心率為（）A.^2B.2C?*3D?216?已知F，J是雙曲線E：乂-啟=1（a>0,b>0）的左、右焦點，點M在E上，MF與x軸垂直，12a2b21sinZMFF=1，則雙曲線E的離心率為（）21