應用基本不等式求最值解題模板

應用基本不等式求最值的解題模板【考點綜述】基本不等式是《不等式》一章重要內(nèi)容之一，是求函數(shù)最值的一個重要工具，也是高考?？嫉囊粋€重要知識點?應用基本不等式求最值時，要把握基本不等式成立的三個條件“一正二定三相等”，主要方法有配湊法、分離法、單調(diào)性法等，在解題中注意體會蘊含的函數(shù)與方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想?在高考各種題型均有出現(xiàn)如選擇題、填空題和解答題,其試題難度屬中檔題.【解題方法思維導圖預覽】一解題方法模板一分離法應用基本不等式求最值?解題方法模板三單調(diào)性法解題方法棋板

配湊法.第二步:使用基木不等式對具進行求解即可解題方法棋板

配湊法.第二步:使用基木不等式對具進行求解即可&笫三步：得出結(jié)論第一步:首先觀察已知曲數(shù)的農(nóng)達式的特征，如分了（或分母）是二次形式11分母（或分了）見一次形式:把分母或分子的一次形式當成一個■整體，并將分了或分耳的二次形式配燥成-枕.第：步:將其化簡即可得到帛本不等式的形式1.第：步:將其化簡即可得到帛本不等式的形式?第三步:并運川基木不等式對其進行求解即可得出所求的結(jié)果■第?步:運用凌項或換元法將所給的函數(shù)化簡為滿足荃本不等式的形式-第二步：運用基本不等式并檢驗其等號成立的務■件，等號取不到，結(jié)合函數(shù)兀叭=x+l的單調(diào)■性』?運用其圖像與性質(zhì)求;II其函數(shù)的最值即可Q第三步:得出結(jié)論【解題方法】解題方法模板一：配湊法使用情景：某一類函數(shù)的最值問題解題模板:第一步根據(jù)觀察已知函數(shù)的表達式，通常不符合基本不等式成立的三個條件“一正二定三相等”，將其配湊（湊項、湊系數(shù)等）成符合其條件：第二步使用基本不等式對其進行求解即可；第三步得出結(jié)論.解題模板應用：

例】已知€，求函數(shù)H+召的最大值.【解析】解題模板選擇：本題中可配湊基本不等式成立的三個條件，故選取解題方法模板一配湊法進行解答.解題模板應用：第一步配湊（湊項.湊系數(shù)等）成符合條件的不等式；=-（5-4x）+=-（5-4x）+15-4jc+3,第二步使用基本不等式對其進行求解;v=（4x-2）+4x-5（5-4%）+^—+3<-2+3=1,v=（4x-2）+4x-55-4x當且僅當x=l時取等號第三步得出結(jié)論：函數(shù)y=4x_2+1.的最大值為14x-5練習1.已知實數(shù)X』滿足x2-xy+y2=1,則x+y的最大值為TOC\o"1-5"\h\zA.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】原式可化為：（x+y），=1+3可<1+3（于）2,解得-2S+y<2,當且僅當x=y=1時成立.所以選B.2.若正數(shù)a,b滿足丄+2=1，則上7+1的最小值為（）abci-1b-1A.16B.25C.36D.49【答案】A【解析】由丄+；=1得:b=—（o>l,b>l）,代入二+￡得到：aba-l<7-1b-l41641644f=1=16（a—1）>2J16（a—1）=16a-1b-la-1ci]a-\Na-la-1

43當且僅當：荷沁7)即r時取等號?故選：A【點睛】本題考查了均值不等式在求最值問題中的應用，考查了學生轉(zhuǎn)化與劃歸,數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.1(1(1A1(3已知正實數(shù)^滿足屮"則萬％的最小值是(當且僅當一=—、一，解得兀=8,x,=|,A.H2【答案】B.5C.2+2>/2D.3+^2【解析】1、b2+1b2A.H2【答案】B.5C.2+2>/2D.3+^2【解析】1、b2+1b2+(a+b)2abab2b2+亍+2ab(V^)_+，+2ab〉(2匝+2問=?邁ab1abab當且僅當a=?時取等號，即a=2-忑,/?=>/2-1時等號成立,故選：C.【點睛】本題考查基本不等式的應用，屬于中檔題.4.已知o+2b=l(d>0,b>0),則—+1的最小值等于.ab【答案】2y[2+2【解析】由題意得越+丄=生+W生斗222」生￡+2=2邁+2,當且ababab\ab僅當a=^2b=0-1時等號成立，所以y+|的最小值為2邁+2?【點睛】本題考查了基本不等式的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.415?己知0vxv4,則一+——的最小值為?x4-x【答案】74【解析】41_+x4-xTOC\o"1-5"\h\zx4-x?3Q又因為0VXV4,所以％=亍時等號成立.41Q因此，上+亠的最小值為?.x4-x49故答案為：7-4【點睛】本題考查基本不等式求代數(shù)式的最值，考查了“1”的代換的應用，考查計算能力，屬于基礎題.解題方法模板二：分離法使用情景：二次關(guān)系的分式函數(shù)的最值問題解題模板：第一步首先觀察已知函數(shù)的表達式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；把分母或分子的一次形式當成一個整體，并將分子或分母的二次形式配湊成一次形式的二次函數(shù)形式；第二步將其化簡即可得到基本不等式的形式，第三步并運用基本不等式對其進行求解即可得出所求的結(jié)果.解題模板應用：x~+71■+10例2求）,=——:—（X>-1）的最小值.X+1【答案】9【解析】解題模板選擇：本題中分子是二次形式且分母是一次形式，故選取解題方法模板二分離法進行解答.解題模板應用：第一步，把分母子的一次形式當成一個整體，并將分子的二次形式配湊成一次形式的二次函數(shù)形式；X2+7x4-10_（工+1）2+5（x+l）+4TOC\o"1-5"\h\z無+1無+1第二步，將其化簡即可得到基本不等式形式，V：=（X+1）'HF5°x+1

第三步，運用基本不等式得出結(jié)論:八2』乂+1)呂+5“當且僅當X=1時取等號所以最小值為9練習6.實數(shù)X、兒%>-1,且滿足與+y=—x+3,則x+y的最小值是()A.1B.V2C.A.1B.V2C.2D.3【答案】C一1，X+lX+lX+1【解析】因為小+y=-x+3,所以〉，=3-x_4_(x+l)一1，X+lX+lX+1因為x>-l,所以x+l>0,所以心十占一1七+1)+缶亠2阿韋一2=2,當且僅當X=1時，等號成立，因此，x+y的最小值是2?故選：C.【點睛】本題主要考查由基本不等式求最值，屬于常考題型.7.己知x>o，y>-i,+3v"7.己知x>o，y>-i,且x+y=l,則+亠丐最小值為.xy+l【答案】2+婦結(jié)合“円可知原式W+擊且芥X1(且芥X1(31>-Lx+(y\z\+1)_1y+l(xy+l)22xy+l4和煒當且僅當x=3-血』=-2+石時等號成立.2q2即「2+一最小值為2+婦.xy+l【點睛】在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正：二定——積或和為定值：三相等一等號能否取得"，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤.&己知正實數(shù)兀y滿足蘭&己知正實數(shù)兀y滿足蘭y則“+的最小值為【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題中條件，得到(X+-Iy)=址+上，再由基本不等式，即可得出結(jié)果.yxx【詳解】???一【分析】根據(jù)題中條件，得到(X+-Iy)=址+上，再由基本不等式，即可得出結(jié)果.yxx【詳解】???一1X-—y\XX+—<yj24x>yy12x獷+=一一yk)‘=1,4xy當且僅當一=二，即y=2x時取等號,yx."+丄＞2,即x+-的最小值為2.yy故答案為：2.【點睛】本題主要考查由基本不等式求最值，屬于常考題型.9.己知f(x)=asnix+bcosx的最大值為ab,則￡二+斗二的最小值為【答案】17【解析】【分析】先將f(x)=asinx+bcosx9轉(zhuǎn)化為/(x)=sin(x+0)，再根據(jù)最大值為"，建立等式際市=肋,整理得右+右T，然后將普+年工轉(zhuǎn)化為(宀心存右,再利用基本不等式中的“1"的代換求解.【詳解】/V)=asinx+/?cosx=+甘sin(x+0)3?=夕)，最大值為&?+嚴，所以+b：=ah9整理得4+^=i,CTb「貝lj^_tl+9h=(/+9/>：)+_^++=(亍+9夕)(-!7++)+1=些+務+11》2不+11=17,0b?/b?Qh'it/r當且僅當竺揉且2+^=1,即"20=也時，取等號0acrb?3所以做+響的最小值為］7Xb'故答案為：17【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式的應用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.2210.已知x+y=2,x>—2,y>-3,則上一+丄-的最小值為,此時x+2y+3TOC\o"1-5"\h\z兀一y.【解析】令加=x+2,〃=y+3,則ni>0yn>0jn+n=7,再化簡%2V249.+—=—+——3,x+2y+3mn「491491314〃9m131225又一+—=+")(—+-)=可+石(一+—)>—+—=—^iftn7rnn77mn7774/79//71421當且僅當—=—時取得最小值，又加+〃=7,得加==,〃=<,inn33即當x=4,y=7時，—+丄7有最小值￡—3諾，此時X—嚴一；33x+2y+377542故答案為：—:——.【點睛】本題考查了基本不等式求最值，結(jié)合考查了換元法的應用，屬于中檔題.解題方法模板三：單調(diào)性法使用情景：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況解題模板：第一步運用湊項或換元法將所給的函數(shù)化簡為滿足基本不等式的形式；第二步運用基本不等式并檢驗其等號成立的條件，等號取不到，結(jié)合函數(shù)f(x)=x+-X的單調(diào)性，并運用其圖像與性質(zhì)求出其函數(shù)的最值即可；第三步得出結(jié)論解題模板應用：%2+5例3求函數(shù)y=-==的值域.収+4【解析】解題模板選擇：本題中等號取不到，故選取解題方法模板三單調(diào)性法進行解答.解題模板應用：第一步，運用湊項或換元法將所給的函數(shù)化簡為滿足基本不等式的形式；令7774=r(r>2)?則嚴4^=血+4+-^^十扣2),(對+4丁廠+4t第二步，等號取不到，結(jié)合函數(shù)f(x)=x+-的單調(diào)性，并運用其圖像與性質(zhì)求出其函數(shù)的最值；因為y=t+^在區(qū)間［1,+8)單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間［2,+s)為單調(diào)遞增函數(shù)，第三步，得出結(jié)果.5「5、故所以函數(shù)的值域為2丿練習11.己知數(shù)列｛%｝的前〃項和為以,S”=2陽-2,若存在兩項f，使得12TOC\o"1-5"\h\z4%=64,則上+匕的最小值為()innA.丄+渥B.1C.3+2忑D.|235【答案】B【解析】Sn=2an-2,可得ai=Si=2ai-2,即創(chuàng)=2,“N2時，Sn-i=2an-i-2,又Sn=2an-2,相減可得a?=Sn-SH.i=2a?-2a?-1,即an=2a?-i,{&}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列.所以a”=2".。”皿”=64,即2”'?2"=64,得〃?十〃=6,(3十2?),所以—+—=—(m+n)(—+—)=丄(3+巴-+出)mn6nin(3十2?),當且僅當-=—時取等號，即為加=6>/1-6,〃=12-6血.inni?i因為加、〃取整數(shù)，所以均值不等式等號條件取不到，則一+->-(3十2血)，inn61?驗證可得,當加=2,/?=4,或〃7=3,〃=3,,—+-取得最小值為1?mn故選：B.【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的定義、通項公式，考查基本不等式的運用，注意檢驗等號成立的條件，考查化簡運算能力，屬于中檔題.已知x>0,y>0,且2x+2y+丄+丄=9,則x+y的最大值為.x)'【答案】4【解析】Tx>0,y>0,2x+2y+丄+丄=9=2(x+y)+^^n2(x+y)+'+[=2(x+y)+^—xyxy(x+yyx+yt4當且僅當x=y時等號成立，2(x+y)2-9(x+y)+4<0,[2(x+y)_l](x+y_4)WO,^<x+y<4,所以x+y的最大值為4,此時x=y=2.【點睛】本題考查用基本不等式求最值，此時解題時是利用基本不等式得出不等關(guān)系然后解不等式得岀結(jié)論.當然要注意等號成立的條件.TOC\o"1-5"\h\z]2*4~丫已知■)'是正數(shù)，一+—=1,則一^的最小值為?XVXV+1

Q【答案】I]22v+V【解析】由—+—=1可得—=1,即2x+）匸廠,xyxy2x+y_xy_1所以巧+1xy+1]|1,xv由1=丄+->2xy得當且僅當2x=y=4時取等號，所以有珂,19丄〉§所以有珂,lvl+—氣，11