2023-2024學(xué)年人教A版選擇性必修第一冊 3-2-2　雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 作業(yè)

3．2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)建議用時：45分鐘1.已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5)＝1的右焦點為（3，0），則該雙曲線的離心率等于（）A．eq\f(3\r(14),14) B．eq\f(3\r(2),4)C．eq\f(3,2) D．eq\f(4,3)C[由題意知a2＋5＝9，解得a＝2，故e＝eq\f(3,2).]2.雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率為2，且過點（eq\r(2)，eq\r(3)），則雙曲線的方程為（）A．2x2－y2＝1 B．x2－eq\f(y2,3)＝1C．5x2－3y2＝1 D．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,6)＝1B[因為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1過點（eq\r(2)，eq\r(3)），則有eq\f(2,a2)－eq\f(3,b2)＝1①，又離心率為2，則e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝2②，由①②可得，a2＝1，b2＝3，所以雙曲線的標準方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.故選B.]3.雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）的離心率為2，焦點到漸近線的距離為eq\r(3)，則雙曲線C的焦距等于（）A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)C[由已知得e＝eq\f(c,a)＝2，所以a＝eq\f(1,2)c，故b＝eq\r(c2－a2)＝eq\f(\r(3),2)c，從而雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(3)x，由焦點到漸近線的距離為eq\r(3)，得eq\f(\r(3),2)c＝eq\r(3)，解得c＝2，故2c＝4，故選C.]4.已知雙曲線方程為x2－eq\f(y2,4)＝1，過P（1，0）的直線l與雙曲線只有一個公共點，則共有l(wèi)（）A．4條 B．3條C．2條 D．1條B[因為雙曲線方程為x2－eq\f(y2,4)＝1，所以P（1，0）是雙曲線的右頂點，所以過P（1，0）并且和x軸垂直的直線是雙曲線的一條切線，與雙曲線只有一個公共點，另外還有兩條就是過點P（1，0）分別和兩條漸近線平行的直線，所以符合要求的共有3條．]5.已知雙曲線C：eq\f(x2,3)－y2＝1，O為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|等于（）A．eq\f(3,2) B．3C．2eq\r(3) D．4B[根據(jù)題意，可知其漸近線的斜率為±eq\f(\r(3),3)，且右焦點為F（2，0），從而得到∠FON＝30°，所以直線MN的傾斜角為60°或120°，根據(jù)雙曲線的對稱性，設(shè)其傾斜角為60°，可以得出直線MN的方程為y＝eq\r(3)（x－2），分別與兩條漸近線y＝eq\f(\r(3),3)x和y＝－eq\f(\r(3),3)x聯(lián)立，求得M（3，eq\r(3)），Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(\r(3),2)))，所以|MN|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(3,2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝3.]6.與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1共焦點，離心率之和為eq\f(14,5)的雙曲線標準方程為．解析橢圓的焦點是（0，4），（0，－4），∴c＝4，e＝eq\f(4,5)，∴雙曲線的離心率等于eq\f(14,5)－eq\f(4,5)＝2，∴eq\f(4,a)＝2，∴a＝2.∴b2＝42－22＝12.∴雙曲線的標準方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,12)＝1.答案eq\f(y2,4)－eq\f(x2,12)＝17.過雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的左焦點F1，作傾斜角為eq\f(π,6)的直線與雙曲線交于A，B兩點，則|AB|＝．解析雙曲線的左焦點為（－2，0），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程為y＝eq\f(\r(3),3)（x＋2），即x－eq\r(3)y＋2＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－\r(3)y＋2＝0，,x2－\f(y2,3)＝1))得8y2－12eq\r(3)y＋9＝0，則y1＋y2＝eq\f(3\r(3),2)，y1y2＝eq\f(9,8).∴|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2])＝eq\r(（1＋3）[（\f(3\r(3),2)）2－4×\f(9,8)])＝3.答案38.設(shè)橢圓C1的離心率為eq\f(5,13)，焦點在x軸上且長軸長為26.若曲線C2上的點到橢圓C1的兩個焦點的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標準方程為．解析設(shè)橢圓C1的方程為eq\f(x2,a12)＋eq\f(y2,b12)＝1（a1>b1>0），由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a1＝26，,e＝\f(c1,a1)＝\f(5,13)，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝13，,c1＝5.))∴焦距為2c1＝10.又∵8<10，∴曲線C2是雙曲線．設(shè)其方程為eq\f(x2,a22)－eq\f(y2,b22)＝1（a2>0，b2>0），則a2＝4，c2＝5，∴b22＝52－42＝32，∴曲線C2的方程為eq\f(x2,42)－eq\f(y2,32)＝1.答案eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝19.求適合下列條件的雙曲線的標準方程：（1）虛軸長為12，離心率為eq\f(5,4)；（2）焦點在x軸上，離心率為eq\r(2)，且過點（－5，3）；（3）頂點間距離為6，漸近線方程為y＝±eq\f(3,2)x.解（1）設(shè)雙曲線的標準方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1或eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1（a＞0，b＞0）.由題意知2b＝12，eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，∴雙曲線的標準方程為eq\f(x2,64)－eq\f(y2,36)＝1或eq\f(y2,64)－eq\f(x2,36)＝1.（2）∵e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)，∴c＝eq\r(2)a，b2＝c2－a2＝a2.又∵焦點在x軸上，∴設(shè)雙曲線的標準方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2)＝1（a＞0）.把點（－5，3）代入方程，解得a2＝16.∴雙曲線的標準方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,16)＝1.（3）設(shè)以y＝±eq\f(3,2)x為漸近線的雙曲線方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,9)＝λ（λ≠0），當λ＞0時，a2＝4λ，∴2a＝2eq\r(4λ)＝6?λ＝eq\f(9,4).當λ＜0時，a2＝－9λ，∴2a＝2eq\r(－9λ)＝6?λ＝－1.∴雙曲線的標準方程為eq\f(x2,9)－eq\f(4y2,81)＝1或eq\f(y2,9)－eq\f(x2,4)＝1.10.已知雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1，求過點A（3，－1）且被點A平分的弦MN所在直線的方程．解方法一：由題意知直線的斜率存在，故可設(shè)直線方程為y＋1＝k（x－3），即y＝kx－3k－1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－3k－1，,\f(x2,4)－y2＝1，))消去y，整理得（1－4k2）x2＋8k（3k＋1）x－36k2－24k－8＝0.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1＋x2＝eq\f(8k（3k＋1）,4k2－1).∵A（3，－1）為MN的中點，∴eq\f(x1＋x2,2)＝3，即eq\f(8k（3k＋1）,2（4k2－1）)＝3，解得k＝－eq\f(3,4).當k＝－eq\f(3,4)時，滿足Δ>0，符合題意，∴所求直線MN的方程為y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(5,4)，即3x＋4y－5＝0.方法二：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），∵M，N均在雙曲線上，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x12,4)－y12＝1，,\f(x22,4)－y22＝1，))兩式相減，得eq\f(x22－x12,4)＝y(tǒng)22－y12，∴eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(x2＋x1,4（y2＋y1）).∵點A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.∴kMN＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(x2＋x1,4（y2＋y1）)＝－eq\f(3,4).經(jīng)驗證，該直線MN存在．∴所求直線MN的方程為y＋1＝－eq\f(3,4)（x－3），即3x＋4y－5＝0.11.雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線右焦點F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點F1.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，如圖②，其方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>0，b>0))，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點，若從右焦點F2發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點A和點B反射后，滿足∠BAD＝90°，tan∠ABC＝－eq\f(3,4)，則該雙曲線的離心率為（）A．eq\f(\r(5),2) B．eq\r(5)C．eq\f(\r(10),2) D．eq\r(10)C[易知F1，A，D共線，F(xiàn)1，B，C共線，如圖，設(shè)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF1))＝m，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF2))＝n，則m－n＝2a，由tan∠ABC＝－eq\f(3,4)，得tan∠ABF1＝eq\f(3,4)，又∠F1AB＝∠F2AD＝90°，所以tan∠ABF1＝eq\f(m,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB)))＝eq\f(3,4)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝eq\f(4,3)m，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF2))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF2))＝eq\f(4,3)m－n，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF1))＝2a＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF2))＝2a＋eq\f(4,3)m－n＝4a＋eq\f(1,3)m，由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF1))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF1))eq\s\up12(2)得m2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)m))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a＋\f(1,3)m))eq\s\up12(2)，因為m>0，故解得m＝3a，則n＝3a－2a＝a，在△AF1F2中，m2＋n2＝（2c）2，即9a2＋a2＝4c2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),2).故選C.]12.（多選題）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過F1作傾斜角為eq\f(π,6)的直線分別交y軸與雙曲線右支于點M，P，|PM|＝|MF1|，下列判斷正確的是（）A．∠PF2F1＝eq\f(π,3)B．|MF2|＝eq\f(1,2)|PF1|C．E的離心率等于eq\r(3)D．E的漸近線方程為y＝±eq\r(2)xBCD[如右圖，由|PM|＝|MF1|，可得M為PF1的中點，又O為F1F2的中點，可得OM∥PF2，∠PF2F1＝90°，∠PF1F2＝30°，|MF2|＝eq\f(1,2)|PF1|，故A錯誤，B正確；設(shè)|F1F2|＝2c，則|PF1|＝eq\f(2c,cos30°)＝eq\f(4\r(3),3)c，|PF2|＝2ctan30°＝eq\f(2\r(3),3)c，則2a＝|PF1|－|PF2|＝eq\f(2\r(3),3)c，可得e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，eq\f(b,a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(2)，則雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x即為y＝±eq\r(2)x.故C，D正確．]13.直線y＝eq\r(3)x與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）左右兩支分別交于M，N兩點，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點，O是坐標原點，若|eq\o(FO,\s\up12(→))|＝|eq\o(MO,\s\up12(→))|，則雙曲線的離心率等于Ｗ．解析由題知|eq\o(MO,\s\up12(→))|＝|eq\o(NO,\s\up12(→))|＝|eq\o(FO,\s\up12(→))|，∴△MFN為直角三角形，且∠MFN＝90°，取左焦點為F0，連結(jié)NF0，MF0，由雙曲線的對稱性知，四邊形NFMF0為平行四邊形．又∵∠MFN＝90°，∴四邊形NFMF0為矩形，∴|MN|＝|F0F|＝2c，又∵直線MN的傾斜角為60°，即∠NOF＝60°，∴∠NMF＝30°，∴|NF|＝|MF0|＝c，|MF|＝eq\r(3)c，由雙曲線定義知|MF|－|MF0|＝eq\r(3)c－c＝2a，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)＋1.答案eq\r(3)＋114.已知橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1與雙曲線eq\f(x2,3)－y2＝1的公共焦點為左焦點F1，右焦點F2，點P是兩條曲線在第一象限內(nèi)的一個公共點，則|PF1|＝，cos∠F1PF2的值為Ｗ．解析因為F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，點P在第一象限，由橢圓與雙曲線的定義可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝2\r(6)，,|PF1|－|PF2|＝2\r(3)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝\r(6)＋\r(3)，,|PF2|＝\r(6)－\r(3)，))又|F1F2|＝4，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(1,3).答案eq\r(6)＋eq\r(3)eq\f(1,3)15.已知雙曲線C1的焦點在x軸上，焦距為4，且C1的漸近線方程為x±eq\r(3)y＝0.（1）求雙曲線C1的方程；（2）若直線l：y＝kx＋eq\r(3)與橢圓C2：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1及雙曲線C1都有兩個不同的交點，且l與C1的兩個交點A和B滿足eq\o(OA,\s\up12(→))·eq\o(OB,\s\up12(→))＜6（其中O為原點），求k2的取值范圍．解（1）根據(jù)題意，C1的漸近線方程為x±eq\r(3)y＝0，則設(shè)雙曲線C1的方程為eq\f(x2,3)－y2＝λ（λ＞0），則a2＝3λ，b2＝λ，又雙曲線的焦距為4，則2c＝4，即c＝2，于是由