2024屆一輪復(fù)習(xí)人教A版 第二章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第十二講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值最值 課件（48張）

第十二講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值課標(biāo)要求考情分析1.借助函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值以及給定閉區(qū)間上不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大值、最小值.2.會(huì)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值1.從內(nèi)容上看，函數(shù)的極值、最值常與方程、不等式相結(jié)合命題，應(yīng)強(qiáng)化學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).2.從考查題型上看，題型一般為解答題，而且是必考，難度較大1.函數(shù)的極值

(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值.

(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，

f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值.極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值.

[注意]極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況，刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì).極值點(diǎn)是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是端點(diǎn).2.函數(shù)的最值(1)函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件一般地，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.(2)求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.【名師點(diǎn)睛】(1)若函數(shù)f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得最值.(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則相應(yīng)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的最值點(diǎn).

考點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題 考向1根據(jù)函數(shù)圖象求極值問題

[例1](2022年鄭州市模擬)設(shè)函數(shù)f(x)在

R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1－x)·f′(x)的圖象如圖2-12-1所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()圖2-12-1A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B.函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1)C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2)D.函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2)

解析：由題圖可知，當(dāng)x<－2時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)－2<x<1時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)1<x<2時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)>0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極大值，在x＝2處取得極小值.答案：D

【題后反思】由圖象判斷函數(shù)y＝f(x)的極值時(shí)，要抓住兩點(diǎn)：(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)y＝f(x)的可能極值點(diǎn)；(2)由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性.兩者結(jié)合可得極值點(diǎn).考向2求已知函數(shù)的極值[例2]已知函數(shù)f(x)＝(x－2)(ex－ax)，當(dāng)a＞0時(shí)，討論f(x)的極值情況.解：∵f′(x)＝(ex－ax)＋(x－2)(ex－a)＝(x－1)(ex－2a)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝ln2a(a＞0).故f(x)無極值.x(－∞，ln2a)ln2a(ln2a，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值況如下表：故f(x)有極大值f(ln2a)＝－a(ln2a－2)2，極小值f(1)＝a－e.x(－∞，1)1(1，ln2a)ln2a(ln2a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值下表：故f(x)有極大值f(1)＝a－e，極小值f(ln2a)＝－a(ln2a－2)2.【題后反思】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題的一般流程考向3已知函數(shù)極值求參數(shù)的值或范圍極大值，則a的取值范圍是________________.答案：(－9，0)∪(0，1)【題后反思】

(1)已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，要注意根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.(2)某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗(yàn).

【考法全練】

1.(考向1)已知定義域?yàn)?0，＋∞)的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)g(x)＝(log3x－1)f′(x)的部分圖象如圖2-12-2所示，則下列說法中正確的是()A.f(x)有極小值f(6)，極大值f(1)B.f(x)有極小值f(6)，極大值f(10)C.f(x)有極小值f(1)，極大值f(3)和f(10)D.f(x)有極小值f(1)，極大值f(10)圖2-12-2解析：觀察題圖可知，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g(x)＞0，log3x－1＜0，則f′(x)＜0；當(dāng)1＜x＜3時(shí)，g(x)＜0，log3x－1＜0，則f′(x)＞0；當(dāng)3＜x＜10時(shí)，g(x)≥0，log3x－1＞0，則f′(x)≥0；當(dāng)x＞10時(shí)，g(x)＜0，log3x－1＞0，則f′(x)＜0.

綜上所述，函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，10)上單調(diào)遞增，在(10，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)有極小值f(1)，極大值f(10).故選D.答案：D答案：B(1)若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線平行于x軸，求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值.所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，因此f(x)無極大值與極小值；當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)>0，則x>lna，所以f(x)在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增，令f′(x)<0，則x<lna，所以f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，故f(x)在x＝lna處取得極小值，且極小值f(lna)＝lna，但是無極大值.綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)無極大值與極小值；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)有極小值lna，但是無極大值.考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值

[例4]已知函數(shù)f(x)＝2x3－ax2＋b. (1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)是否存在a，b，使得f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值為－1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，請(qǐng)說明理由.(2)滿足題設(shè)條件的a，b存在.

①當(dāng)a≤0時(shí)，由(1)知，f(x)在[0，1]上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間[0，1]上的最小值為f(0)＝b＝－1，最大值為f(1)＝2－a＋b＝1，解得a＝0.

②當(dāng)a≥3時(shí)，由(1)知，f(x)在[0，1]上單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間[0，1]的最大值為f(0)＝b＝1，最小值為f(1)＝2－a＋b＝－1，解得a＝4.

與0＜a＜3矛盾.

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)a＝0，b＝－1或a＝4，b＝1時(shí)，f(x)在[0，1]上的最小值為－1，最大值為1.【規(guī)律方法】

(1)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值.

(2)若所給的閉區(qū)間[a，b]含參數(shù)，則需對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，通過對(duì)參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值.【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax－2(a≠0).(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)有最大值M，且M>a－4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，由f(x)＝lnx－ax－2(a≠0)，當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.因此有－lna－3>a－4，得lna＋a－1<0，設(shè)g(a)＝lna＋a－1，所以g(a)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又g(1)＝0，所以g(a)<g(1)，得0<a<1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，1).⊙利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題，主要是建立數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)求最值.

[例5](2021年南通市模擬)如圖

2-12-3所示，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為10cm的正三角形紙片ABC，在三角形的三個(gè)角沿圖中虛線剪去三個(gè)全等的四邊形ADA1F1，BD1B1E，CE1C1F(剪去的四邊形均有一組對(duì)角為直角)，然后把三個(gè)矩形A1B1D1D，B1C1E1E，A1C1FF1折起，構(gòu)成一個(gè)以三角形A1B1C1

為底面的無蓋正三棱柱. (1)若所折成的正三棱柱的底面邊長(zhǎng)與高之比為3，求該三棱柱的高；(2)求所折成的正三棱柱的體積的最大值.圖2-12-3【反思感悟】(1)利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟：①設(shè)自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)，并確定其定義域；②求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0；③比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和