13.3.1等腰三角形的性質(zhì)

等腰三角形13.3.1動(dòng)手做一做ACB從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去思考，你觀察到了什么圖形？魁星閣

金字塔侗寨吊腳樓

等腰三角形一.根本概念1.定義:兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

如圖AB=AC,△

,就是等腰三角形

2.等腰三角形的根本要素:相等的兩邊叫做腰另一邊叫做底邊

兩腰的夾角叫做頂角

腰和底邊的夾角叫做底角

ABC腰腰底邊頂角底角底角CABAC=BCBCAAB=CB腰：底邊：頂角：底角：腰：底邊：頂角：底角：AC，BCABA，BAB，CBACBA，CC做一做1：

〔1〕把你們準(zhǔn)備的頂角分別為銳角、直角和鈍角的等腰三角形拿出來；〔2〕把三角形的頂角頂點(diǎn)記為A，底角頂點(diǎn)記為B，C?！?〕把三角形對(duì)折，讓兩腰AB，AC重疊在一起，折痕為AD。觀察后你發(fā)現(xiàn)了什么現(xiàn)象？二.等腰三角形性質(zhì)的探索BACDABCD重合的線段重合的角

ACBDAB＝ACBD＝CD

AD＝AD∠B＝

∠C.∠BAD＝∠CAD∠ADB＝

∠ADC=90°

等腰三角形除了兩腰相等以外,

你還能發(fā)現(xiàn)它的其他性質(zhì)嗎?結(jié)論：1、等腰三角形是軸對(duì)稱圖形2、∠B=∠C3、BD=CD，AD為底邊上的中線4、∠ADB=∠ADC=90°，AD為底邊上的高5、∠BAD=∠CAD，AD為頂角平分線問題1、結(jié)論〔2〕用文字如何表述？等腰三角形的兩個(gè)底角相等〔簡(jiǎn)寫“等邊對(duì)等角〞〕CABD(2)要注意是哪三線?等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合，簡(jiǎn)稱“三線合一〞(1)“等腰三角形〞是三線合一的大前提CABD問題2、結(jié)論〔3〕、〔4〕、〔5〕用一句話可以歸納為什么？做一做2：畫出手中等腰三角形的某一底角平分線、對(duì)邊(腰)上的中線和高，看是否重合？

CBA

如圖：BF為AC邊上的高，BE為ABC的平分線，BG為AC邊上的中線EFGCABD如何證明：等腰三角形的兩個(gè)底角相等〔簡(jiǎn)寫“等邊對(duì)等角〞〕：如圖△ABC中AB=AC求證：∠B=∠C證明：過A作AD⊥BC于D∟在Rt△ABD和Rt△ACD中AB=AC〔〕AD=AD〔公共邊〕∴Rt△ABD≌Rt△ACD〔HL〕∴∠B=∠C〔全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等〕思考1：還有其他的證明方法嗎？思考2：你有方法證明等腰三角形的“三線合一〞嗎？等腰三角形的性質(zhì)1、等腰三角形的兩個(gè)底角相等〔簡(jiǎn)稱“等邊對(duì)等角〞〕2、等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高和底邊上的中線互相重合〔簡(jiǎn)稱“三線合一〞〕一般的三角形有這種性質(zhì)嗎？要注意是指頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線這三線重合。CDBA①在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C〔〕等腰三角形的性質(zhì)等邊對(duì)等角〔1〕∵AD⊥BC，∴∠____=∠____，___=___〔2〕∵AD是中線，∴___⊥___，∠____=∠____〔3〕∵AD是角平分線，∴___⊥___，___=___BADCADBDCDADBCADBCBADCADBDCD②在△ABC中，AB=AC時(shí)，

等腰三角形底邊上的中線和高線、頂角的平分線互相重合。例1、如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù)。ABCD解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD〔等邊對(duì)等角)設(shè)∠A=x,那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，∴∠A=36°∠ABC=∠C=72°x⌒2x⌒2x⌒⌒2x例2、：在△ABC中，AB=AC，∠B=80°，求∠C和∠A的度數(shù)。ABC解：∵AB=AC∴∠B=∠C=80°又∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=180°-80°-80°=20°例3、如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，∠B=30°，求∠1和∠ADC的度數(shù)。ABC12D解：∵等腰三角形的“三線合一〞所以AD是△ABC的頂角平分線、底邊上的高，∠ADC=∠ADB=90°∵∠1=180°-∠ADB

-∠B

=60°

∴∠1

=60°∴學(xué)一學(xué)

練習(xí)1。在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB那么圖中有哪些角和線段相等？ACBD∵

AC=BC,∠ACB=90°∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°解：∠A=∠B=45

°∴∵CD⊥AB∴∠ACD=∠A=∠B=∠BCD

=45°練習(xí)∠ACD=180°

-∠ADC-∠A=45

∠BCD=180-∠BDC-∠B=45

°∴∴AD=BD=DC〔“等邊對(duì)等角〞〕∴相等的線段有，AC=BC,

AD=BD=DC相等角∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°∠BCD=∠ACD=

∠A=∠B=45

1.等腰三角形一個(gè)角為70°,它的另外兩個(gè)角為

___________________2.等腰三角形一個(gè)角為110°,它的另外兩個(gè)角為

________

70°,40°或55°,55°35°,35°隨堂練習(xí):3.等腰三角形有兩邊長(zhǎng)為4和8，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為________一、填空20二、判斷以下命題是否正確。〔1〕等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合〔〕〔2〕有一個(gè)角是60°的等腰三角形，其它兩個(gè)內(nèi)角也為60°?！病场?〕等腰三角形的底角都是銳角〔〕〔4〕鈍角三角形不可能是等腰三角形〔