湖南大學(xué) 線性代數(shù) PPT

行列式的性質(zhì)性質(zhì)1:行列式與其轉(zhuǎn)置行列式的值相等.復(fù)習(xí)性質(zhì)2:互換行列式的兩行(列),行列式變號.性質(zhì)3:推論:如果行列式有兩行(列)完全相同,則此行列式為零.行列式任一行的公因子可提到行列式之外.或用常數(shù)乘行列式任意一行的諸元素,等于用乘這個行列式.性質(zhì)4:行列式中如果有兩行(列)元素成比例,則此行列式等于零.性質(zhì)5:注:性質(zhì)3,性質(zhì)5又稱為線性性質(zhì)性質(zhì)6:在行列式中,把某行各元素分別乘非零常數(shù)再加到另一行的對應(yīng)元素上去,行列式的值不變.重要公式行列式計算(利用性質(zhì))方法:(1)化上(下)三角形法(2)降階法(3)遞歸法例題例1.計算解:法1(化上三角形法)計算方法:化上(下)三角形法;降階法.法2(降階法)可直接用對角線法則計算三階行列式例2計算先觀察再計算解:或矩陣1.運(yùn)算:+,-,數(shù)乘,乘法等.注意能運(yùn)算的條件.矩陣乘法定義:規(guī)定:與的乘積是一個陣記作:

2.注意:(1)矩陣乘法不滿足交換律.但不是說對任意兩個矩陣一定有例(2)兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣.(有別于數(shù)的乘法)例而若稱是的左零因子.稱是的右零因子.(3)一個非零矩陣如有左(右)零因子,其左(右)零因子不唯一.結(jié)論:矩陣乘法不適合消去律.不能推出滿足運(yùn)算律(乘法有意義的前提下)結(jié)合律:數(shù)乘結(jié)合律:左分配律:右分配律:又例3.特殊矩陣:單位矩陣,數(shù)量矩陣,對角矩陣,上(下)三角矩陣4.重要矩陣及運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣可逆矩陣正交矩陣滿足運(yùn)算規(guī)律:矩陣的轉(zhuǎn)置對稱矩陣:反對稱矩陣:可逆矩陣的逆矩陣定義,唯一性,充要條件及推論,可逆矩陣的性質(zhì)定義:奇異矩陣非奇異矩陣?yán)?例例正交矩陣及其性質(zhì)定義:定理:定理:5.矩陣的初等變換及性質(zhì)掌握初等變換法求可逆矩陣的逆矩陣一般結(jié)論:初等矩陣是可逆的結(jié)論:可逆矩陣可以表示為若干個初等矩陣的乘積.例3向量概念:線性組合,線性相關(guān),線性無關(guān),極大無關(guān)組,秩,向量組的等價,內(nèi)積等有關(guān)線性相關(guān),無關(guān),秩的重要定理,結(jié)論.結(jié)論:1.m個n維向量必線性相關(guān).(m>n)特別:m=n+12.n個n維向量線性無關(guān)它們所構(gòu)成方陣的行列式不為零.3.n維向量空間任一線性無關(guān)組最多只能包含n個向量.4n維向量空間n個向量線性無關(guān),則任一向量可由這n個線性無關(guān)向量表示,且表法唯一.定理(1)若向量組A:線性相關(guān),則向量組B:也線性相關(guān).反之,若向量組B線性無關(guān),向量組A也線性無關(guān).若部分相關(guān)，則整體相關(guān)；若整體無關(guān)，則部分無關(guān)(2)設(shè)若向量組A:線性無關(guān),則向量組B:也線性無關(guān).反之,若向量組B線性相關(guān),向量組A也線性相關(guān).若r維向量線性無關(guān)，則在每個向量上添加m個分量所得到的新向量也線性無關(guān).等價的說法：m個分量所得到的新向量也線性相關(guān).若r維向量線性相關(guān)，則在每個向量上去掉定義:注意:只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組.規(guī)定:它的秩為零.極大線性無關(guān)組問題:極大無關(guān)組是否唯一?定理:向量組與它的任意一個極大無關(guān)組等價.結(jié)論:推論1:等價的無關(guān)向量組包含相同個數(shù)的向量.定理:向量組的任意兩個極大無關(guān)組相互等價,從而所含向量個數(shù)相同.向量組的秩的求法介紹的簡便而有效的方法:(1)以向量組中各向量作為列向量,構(gòu)成矩陣A;(2)對A施行初等行變換化為階梯形矩陣B,B的非零行數(shù)即矩陣A的秩,亦即原向量組的秩;(3)求出B的列向量組的極大無關(guān)組;(4)A中與B的列向量組的極大無關(guān)組相對應(yīng)的部分列向量組,即為向量組的極大無關(guān)組秩的性質(zhì)1.(推論3.4.4)等價矩陣有相同的秩.2.(推論3.4.5)對任意矩陣A,3..(推論3.4.6)任何矩陣與可逆矩陣相乘,其秩不變.B可逆,r(B)=3又r(AB)=2,r(A)=2,即矩陣的秩與行列式的關(guān)系例向量組線性無關(guān),證明:用定義.設(shè)只有零解.所以,線性方程組齊次系數(shù)矩陣基礎(chǔ)解系解的性質(zhì)解的結(jié)構(gòu)非齊次增廣矩陣解的性質(zhì)解的結(jié)構(gòu)二.齊次線性方程組解的理論和解的結(jié)構(gòu)對(1)我們關(guān)心何時有非零解.必有非零解.定理1給出結(jié)論.解的理論特別:解向量:解的性質(zhì):解的結(jié)構(gòu)解空間:定義:基礎(chǔ)解系對(2)我們關(guān)心何時有解,及何時有唯一解,無窮多解.解的理論解的結(jié)構(gòu)例解考慮1.有無解2.有解(唯一解還是無窮多解)討論:特解:令A(yù)x=0的基礎(chǔ)解系通解方法2由本題的特點:方程組中方程的個數(shù)與未知量個數(shù)一樣,可想到先求系數(shù)行列式,利用克萊姆法則矩陣的特征值與特征向量及二次型概念:特征值,特征向量特征值的性質(zhì):方陣的特征值與特征向量(一)特征值與特征向量的定義和計算定義1:注:特征方程:求特征值求特征向量即求齊次線性方程組的非零解.小結(jié):(二)特征值和特征向量的性質(zhì)定理1:定理2:性質(zhì)1(關(guān)于特征值的)性質(zhì)3性質(zhì)2一個特征向量不能屬于不同的特征值(即不同的特征值所對應(yīng)的特征向量不同)(對于同一個矩陣)例2相似矩陣及性質(zhì)定義:相似是等價關(guān)系:1.自反性2.對稱性3.傳遞性性質(zhì)1.相似矩陣有1.相同的行列式.2.相同的特征多項式和相同特征值.3.有相同的跡.4.有相同的秩.(二)矩陣可對角化的條件定理1.實對稱矩陣A的任一個特征值都是實數(shù).二.實對稱矩陣的特征值和特征向量P146定理5.4.1推論:實對稱矩陣A的特征向量均