ch04連續(xù)系統(tǒng)頻域分析

第4章連續(xù)系統(tǒng)頻域分析信號與系統(tǒng)（第4版）工業(yè)和信息化部“十四五”規(guī)劃教材01引

言PARTONE引言線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的頻域分析，是依據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性和齊次性，運用傅里葉級數(shù)或傅里葉變換，將信號分解成一系列離散的或連續(xù)的復(fù)指數(shù)信號之和，即:引言在求解任意信號（能量有限或平均功率有限）作用于線性系統(tǒng)的響應(yīng)時，利用傅里葉級數(shù)或傅里葉變換先將激勵信號分解為復(fù)指數(shù)信號的疊加，然后將這些基本復(fù)指數(shù)信號作用于系統(tǒng)，并把所得的響應(yīng)取和，即可給出系統(tǒng)對于信號f(t)的完整響應(yīng)。因此，頻域分析法是應(yīng)用傅里葉變換把系統(tǒng)的激勵和響應(yīng)關(guān)系從時域變換到頻域來研究，從處理時間變量t轉(zhuǎn)換成處理頻率變量ω，從求解系統(tǒng)的微分方程轉(zhuǎn)化為解代數(shù)方程，通過響應(yīng)的頻譜函數(shù)來研究響應(yīng)信號的頻譜結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)的頻率響應(yīng)及其功能。02系統(tǒng)對非正弦周期信號的響應(yīng)PARTTWO

正弦信號通過線性系統(tǒng)所以，線性系統(tǒng)對正弦信號激勵的響應(yīng)為與激勵同頻率的正弦量，其振幅為激勵的振幅與系統(tǒng)函數(shù)H(jΩ)模值之乘積，其相位為激勵的初相位與系統(tǒng)函數(shù)H(jΩ)相位之和，此結(jié)果與正弦穩(wěn)態(tài)中用相量法分析的結(jié)論完全一致。1.正弦函數(shù)正弦信號通過線性系統(tǒng)因此，當(dāng)周期信號f(t)作用于線性系統(tǒng)時，其零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)仍為周期信號，其周期和f(t)的周期相同，只是相應(yīng)于指數(shù)型傅里葉級數(shù)擴(kuò)大了H(jnΩ)倍，從而可得到y(tǒng)f(t)的三角形傅里葉級數(shù)。2.非正弦周期信號通過線性系統(tǒng)正弦信號通過線性系統(tǒng)可見，響應(yīng)的頻譜和激勵信號的頻譜一樣，也由無窮項沖激序列δ(ω-nΩ)組成，是離散頻譜，只是響應(yīng)頻譜的沖激強(qiáng)度被系統(tǒng)函數(shù)加權(quán)。2.非正弦周期信號通過線性系統(tǒng)03系統(tǒng)對非周期信號的響應(yīng)PARTTHREE系統(tǒng)對非周期信號的響應(yīng)非周期信號通過線性系統(tǒng)的響應(yīng)與周期信號有所不同。由于非周期信號對系統(tǒng)的激勵是有確定時間的，所以對于零狀態(tài)系統(tǒng)，其響應(yīng)只含零狀態(tài)響應(yīng)，并且既有穩(wěn)態(tài)分量，也有隨時間衰減的暫態(tài)分量。若系統(tǒng)初始狀態(tài)不為零，則其響應(yīng)還應(yīng)包含零輸入響應(yīng)分量。本節(jié)重點討論零狀態(tài)系統(tǒng)對非周期信號的響應(yīng)。04頻域系統(tǒng)函數(shù)PARTFOUR定義系統(tǒng)函數(shù)H（jω）可由式（4-12）定義為即H(jω)等于零狀態(tài)響應(yīng)的頻譜函數(shù)Y(jω)與激勵的頻譜函數(shù)F(jω)之比，也就是電路分析中的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)或傳輸函數(shù)。隨著激勵信號與待求響應(yīng)的關(guān)系不同，在電路分析中H(jω)將有不同的含義。它可以是阻抗函數(shù)、導(dǎo)納函數(shù)、電壓比或電流比。H(jω)的物理意義H(jω)的的求法頻域系統(tǒng)函數(shù)H(jω)的求解方法主要有：（1）當(dāng)給定激勵與零狀態(tài)響應(yīng)時，根據(jù)定義求解，即（2）當(dāng)已知系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)和h(t)時，由式（4-6）求解，（3）當(dāng)給定系統(tǒng)的電路模型時，用相量法求解。（4）當(dāng)給定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（微分方程）時，用傅里葉變換法求解。系統(tǒng)頻率特性由于H(jω)是沖激響應(yīng)h(t)的頻譜函數(shù)，而從h(t)取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)，它描述了系統(tǒng)的時域固有性質(zhì)，因此H(jω)同樣僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)。系統(tǒng)一旦給定，系統(tǒng)函數(shù)H(jω)也隨之確定，它反映了系統(tǒng)的頻域特性，所以H(jω)是表征系統(tǒng)特征的重要物理量。已知式中，丨H(jω)|稱為系統(tǒng)的幅頻特性，φ(ω)稱為系統(tǒng)的相頻特性;因此，通過研究H(jω)就可了解系統(tǒng)的整個頻率特性，從而了解系統(tǒng)的功能。05信號傳輸失真及無失真?zhèn)鬏敆l件PARTFIVE信號傳輸失真對一個頻率響應(yīng)為H(jω)的系統(tǒng)，式（4-12）給出了當(dāng)系統(tǒng)輸入的傅里葉變換為F(jω)時系統(tǒng)響應(yīng)的傅里葉變換：系統(tǒng)的相移改變了輸入信號中各頻率分量之間的相對相位關(guān)系，因此，即使系統(tǒng)的增益對所有頻率都相同的情況下，也可能使系統(tǒng)的輸出和輸入信號之間有很大的變化。系統(tǒng)對輸入信號的這種改變有時是有益的，如濾波器可以濾除不需要的干擾信號;有時系統(tǒng)對信號的模和相位的改變是所不希望的，此時系統(tǒng)會產(chǎn)生失真，這種失真稱為線性失真，包括幅度失真和相位失真。信號無失真?zhèn)鬏敿捌錀l件對于一個線性系統(tǒng)，一般要求能夠無失真地傳輸信號。信號的無失真?zhèn)鬏攺臅r域來說就是要求系統(tǒng)輸出響應(yīng)的波形應(yīng)當(dāng)與系統(tǒng)輸入激勵信號的波形完全相同，而幅度大小可以不同，時間前后可以有所差異，即式中，k為與t無關(guān)的實常數(shù)，稱為波形幅度衰減的比例系數(shù);t0為延退時間。這樣，雖然輸出響應(yīng)y(t)的幅度有k為倍的變化，而且有t0而時間的滯后，但整個波形的形狀不變，如圖4-9所示。信號無失真?zhèn)鬏敿捌錀l件若要保持系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏斝盘?，從頻域分析來看，可對式（4-18）兩邊取傅里葉變換，并利用其時移性，有因此，無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)在頻域應(yīng)滿足兩個條件：(1)系統(tǒng)的幅頻特性在整個頻率范圍內(nèi)應(yīng)為常數(shù)如即系統(tǒng)的通頻帶為無窮大，系統(tǒng)對輸入信號中每一頻率分量都乘以常數(shù)k，如圖4-10(a)所示；(2)系統(tǒng)的相移在整個頻率范圍內(nèi)應(yīng)與ω成正比，即以φ(ω)=-ωt0，意味著系統(tǒng)對所有頻率分量都延遲t0，如如圖4-10(b)所示。信號無失真?zhèn)鬏敿捌錀l件若對式(4-19)取傅里葉反變換，則可知系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)式(4-20)表明:一個無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)仍為一個沖激函數(shù)，不過在強(qiáng)度上不一定為單位1，沖激的位置也不一定位于t=0處。因此，式(4-20)從時域給岀了無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的條件。無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的幅頻特性應(yīng)在無限寬的頻率范圍內(nèi)保持常量，這是不可能實現(xiàn)的。實際上，由于所有信號其能量總是隨頻率的增高而減少的，因此，系統(tǒng)只要有足夠大的頻寬，以保證包含絕大多數(shù)能量的頻率分量能夠通過，就可以獲得較滿意的傳輸質(zhì)量。群時延無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的一個要求是系統(tǒng)應(yīng)具有線性相位。這個相位不僅應(yīng)是頻率的線性函數(shù)，而且還應(yīng)通過坐標(biāo)原點。實際上，很多系統(tǒng)僅具有近似線性相位特性。判定系統(tǒng)相位線性度的一種常用方法，就是求系統(tǒng)頻率響應(yīng)H(jω)的相位函數(shù)<H(jω)的斜率。對一個理想的線性相位系統(tǒng)來說，這個斜率是一個常數(shù)，而在一般情況下，該斜率是頻率ω的函數(shù)。倘若這個斜率不是常數(shù)，則時延將隨頻率而變化，也即信號的不同頻率分量具有不同時延(常稱為色散)，其結(jié)果是系統(tǒng)的輸岀波形不同于輸入波形。在通信系統(tǒng)中，通常傳輸信號的頻譜在載頻ω0附近的很小的范圍內(nèi)，并且頻帶寬度Bw。與載頻氣之比遠(yuǎn)小于1，這種系統(tǒng)稱為窄帶帶通系統(tǒng)。對帶通系統(tǒng)，無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件可以稍微放寬一點。如前所述，低通系統(tǒng)的無失真?zhèn)鬏?，要求其相位不僅是線性的，而且還要通過坐標(biāo)原點。對帶通系統(tǒng)，相位特性在所關(guān)心的頻帶內(nèi)必須是線性的，但不必通過坐標(biāo)原點。此時，系統(tǒng)的相位特性可表示為群時延信號失真的類型1.非線性失真如果一個系統(tǒng)輸岀響應(yīng)中出現(xiàn)有輸入激勵信號中所沒有的新的頻率分量，則稱之為非線性失真。在線性系統(tǒng)中，不會出現(xiàn)非線性失真。2.線性失真在線性系統(tǒng)中出現(xiàn)的信號失真稱為線性失真。在線性失真中，響應(yīng)信號中不會出現(xiàn)激勵信號中所沒有的新的頻率成分。線性失真是由于系統(tǒng)函數(shù)H(jω)不滿足式(4-19)而引起的。當(dāng)|H(jω)|不等于常數(shù)人時所引起的失真稱為振幅失真。振幅失真的原因在于系統(tǒng)對激勵信號所有頻率分量的幅度衰減不是均等的，一部分頻率分量嚴(yán)重衰減，而另一部分頻率分量可能暢通無阻，從而使輸出波形不同于激勵波形。當(dāng)

時所產(chǎn)生的失真稱為相位失真。不難想象，盡管信號所有頻率分量的幅度衰減相等，但A如果各頻率分量的相移沒有一定規(guī)律，致使各次諧波間相對位置發(fā)生變化，也將引起信號的失真。06理想低通濾波器及其響應(yīng)PARTSIX理想低通濾波器及其頻率特性具有圖4-12所示幅頻特性和相頻特性的網(wǎng)絡(luò)稱為理想低通濾波器，即式中，ωc稱為截止頻率。因此，從理想低通濾波器的頻率特性可以看出，對于低于ωc的所有信號，系統(tǒng)能無失真地傳輸，而將高于ωc的信號完全阻塞，無法傳送。所以，丨ω丨<ωc的頻率范圍稱為通帶；丨ωc丨>ω的頻率范圍稱為阻帶。只有在通帶內(nèi)，理想低通濾波器才滿足無失真?zhèn)鬏敆l件。由H(jω)的物理意義可知，對理想低通濾波器的頻率特性直接求傅里葉反變換可得到理想低通濾波器的沖激響應(yīng)，即理想低通濾波器的沖激響應(yīng)由此可見，沖激響應(yīng)冗h(yuǎn)(t)的波形是抽樣函數(shù)。若取k=1，則其波形如圖4-13所示。峰值與截止頻率ωc/π成正比，波形的主瓣持續(xù)時間為2π/ωc，即與ωc成反比。由圖4-13可知，對于理想低通濾波器，其沖激響應(yīng)和h(t)的波形不同于激勵信號δ(t)的波形，它產(chǎn)生了嚴(yán)重失真。這是因為理想低通濾波器是通頻帶有限系統(tǒng)，而沖激信號δ(t)的頻帶是無限寬的，經(jīng)過理想低通濾波器的加工，它必然對信號波形產(chǎn)生影響。凡是高于ωc的頻率分量都衰減為零。理想低通濾波器的沖激響應(yīng)另外，由圖4-13可以看到，沖激響應(yīng)和h(t)在t<0時已存在，即系統(tǒng)響應(yīng)在時間上超前于激勵，顯然，這是違背因果律的。因此，理想低通濾波器屬于非因果系統(tǒng)，現(xiàn)實中在物理上是無法實現(xiàn)的。然而，只要可實現(xiàn)的濾波器能夠做到相當(dāng)接近于理想濾波特性，則有關(guān)理想濾波器的研究就不會因無法實現(xiàn)而失去價值。圖4-14(a)所示為一個二階低通濾波器。若則其沖激響應(yīng)h(t)和頻率特性如圖4-14(b)和(c)所示?？梢钥吹?，其特性接近于理想低通濾波器。理想低通濾波器的階躍響應(yīng)理想低通濾波器的階躍響應(yīng)理想低通濾波器的矩形脈沖響應(yīng)系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性及佩利——維納準(zhǔn)則1.時域準(zhǔn)則一個物理可實現(xiàn)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)冗和h(t)在t<0時必須為零。或者說，h(t)波形的出現(xiàn)必須是有起因的，不能在沖激作用之前就產(chǎn)生響應(yīng)，即h(t))應(yīng)該是因果信號，可寫為2.頻域準(zhǔn)則H(jω)物理可實現(xiàn)的必要條件是系統(tǒng)的物理可實現(xiàn)性及佩利——維納準(zhǔn)則07抽樣信號與抽樣定理PARTSEVEN限帶信號了f(t)是指其頻譜寬度有限的信號，即頻譜函數(shù)F(jω)滿足限帶信號和抽樣信號式中，ωm稱為信號f(t)的最高頻率。對于圖4-18(a)所示信號f(t)，若其頻譜函數(shù)如圖4-18(b)所示，則稱f(t)為限帶信號。實際工程中，對于脈沖信號，若忽略其占有頻帶之外的頻率分量，則該脈沖信號也可視為限帶信號。本節(jié)僅討論限帶信號的抽樣問題。抽樣信號是指利用抽樣序列s(t)從連續(xù)信號f(t))中“抽取”一系列離散樣值而得的離散信號，或稱為取樣信號，用fs(t)表示。連續(xù)信號抽取的過程可用圖4-19所示的數(shù)學(xué)模型表示，即抽樣信號限帶信號和抽樣信號抽樣信號fs(t)的頻譜抽樣信號fs(t)的頻譜抽樣信號fs(t)的頻譜抽樣信號fs(t)的頻譜時域抽樣定理時域抽樣定理頻域抽樣定理08調(diào)制與解調(diào)PARTEIGHT調(diào)制調(diào)制若F(jω)和S(jω)如圖4-26(a)和(b)所示，則調(diào)幅信號y(t)的頻譜Y(jω)如圖4-26(c)所示。由圖4-26可知，經(jīng)調(diào)制后，原信號的頻譜被重新復(fù)制并搬移至±ω0處，即所需要的高頻范圍內(nèi)。這種經(jīng)過調(diào)制的高頻信號很容易以電磁波形式進(jìn)行輻射和傳播。除幅度調(diào)制外，還有頻率調(diào)制(FM)和相位調(diào)制(PM)，它們比幅度調(diào)制具有更好的抑制噪聲和抗干擾的能力。解調(diào)由已調(diào)制高頻信號y(t)恢復(fù)原調(diào)制信號發(fā)f(t)的過程稱為解調(diào)。圖4-27(a)所示為