向量的數(shù)量積高一數(shù)學(xué)系列

人教A版2019高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第6章平面向量及其應(yīng)用6.2.3

向量的數(shù)量積Fs

┓

在物理課中，我們學(xué)過(guò)功的概念，即如果一個(gè)物體在力的作用下產(chǎn)生位移，那么力所做的功

平面向量數(shù)量積的物理背景1

其中

是物體在位移方向上分量的數(shù)量，也就是力F在物體位移方向上正投影的數(shù)量.

【1】功W是一個(gè)數(shù)量，既涉及長(zhǎng)度又涉及角度，且只與這兩個(gè)量有關(guān)；【2】當(dāng)0≤θ＜90°時(shí)，W＞0；當(dāng)θ=90°時(shí)，力的方向和位移的方向互相

垂直，W=0，力F不做功；當(dāng)90°＜θ≤180°時(shí)，W＜0，既力F做負(fù)功.平面向量數(shù)量積的物理背景1

平面向量的夾角：叫做向量a與b的夾角。

已知兩個(gè)非零向量a和b，在平面上取一點(diǎn)O，作OA=a,OB=b,則AOBθ平面向量數(shù)量積的定義:已知兩個(gè)非零向量

和

，它們的夾角為

,我們把數(shù)量叫做

與

的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作.規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0．注意：

(1)

兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量．

(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成

．

向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它何時(shí)為正，何時(shí)為負(fù)，何時(shí)為零？向量數(shù)量積的性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)兩向量共線時(shí)等號(hào)成立(B1)┐B1┐B1如圖，作出││cosθ，并說(shuō)出它的幾何意義；││cosθ的幾何意義有是什么？OBBABAOOAθθ┓θ(1)(2)（3）平面向量數(shù)量積幾何意義當(dāng)

為銳角時(shí)投影為正值;

當(dāng)

為鈍角時(shí)投影為負(fù)值;當(dāng)

為直角時(shí)投影為0;││cosθ叫做向量在向量方向上的投影，││cosθ叫做向量在向量方向上的投影.B1OABba

A1OABba

叫做向量在方向上(向量在方向上)的投影.

向量在方向上的投影是數(shù)量,不是向量,什么時(shí)候?yàn)檎?，什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？探究：OABabOABabBOAabOABbaOABba平面向量數(shù)量積的幾何意義:(1)交換律：(2)數(shù)乘結(jié)合律：(3)分配律：向量數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積不