新高考數(shù)學(xué)通用版總復(fù)習(xí)一輪課件第八章第3講點(diǎn)直線(xiàn)平面之間的位置關(guān)系

第3講點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系

1.空間中點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間位置關(guān)系的基本性質(zhì)(即四條公理的“圖形語(yǔ)言”“文字語(yǔ)言”“符號(hào)語(yǔ)言”列表)及推論(續(xù)表)2.空間線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系3.異面直線(xiàn)所成的角銳角或直角(0°，90°]

過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作異面直線(xiàn)a與b的平行線(xiàn)a′與b′.那么直線(xiàn)a′與b′所成的_______________，叫做異面直線(xiàn)a與b所成的角(或夾角)，其范圍是______________.題組一走出誤區(qū)1.(多選題)設(shè)α是給定的平面，A，B是不在α內(nèi)的任意兩點(diǎn)，則(

)A.在α內(nèi)存在直線(xiàn)與直線(xiàn)AB異面B.在α內(nèi)存在直線(xiàn)與直線(xiàn)AB相交C.在α內(nèi)存在直線(xiàn)與直線(xiàn)AB平行D.存在過(guò)直線(xiàn)AB的平面與α垂直解析：A，B是不在α內(nèi)的任意兩點(diǎn)，則直線(xiàn)AB與平面α相交或平行.如果直線(xiàn)AB與平面α相交，則α內(nèi)不過(guò)交點(diǎn)的直線(xiàn)與直線(xiàn)AB異面，但沒(méi)有直線(xiàn)與直線(xiàn)AB平行，

如果直線(xiàn)AB與平面α平行，則在α內(nèi)存在直線(xiàn)b與直線(xiàn)AB平行，而在α內(nèi)與b相交的直線(xiàn)與直線(xiàn)AB異面，但α內(nèi)不存在直線(xiàn)與直線(xiàn)AB相交，由上知A正確，BC均錯(cuò)誤；

不論直線(xiàn)AB與平面α是平行還是相交，過(guò)A作平面α的垂線(xiàn)，則這條垂線(xiàn)與直線(xiàn)AB所在平面與α垂直，(如果垂線(xiàn)與AB重合，則過(guò)AB的任意平面都與α垂直)，D正確.故選AD.答案：AD題組二走進(jìn)教材

2.(必修2P52B組第2題改編)如圖8-3-1所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)B1C與EF所成角的大小為(

)圖8-3-1A.30°B.45°C.60°D.90°

解析：連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C即為所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C為等邊三角形，∴∠D1B1C＝60°.故選C.答案：C3.(必修2P59例3改編)(2020年江西一模)用一個(gè)平面去截正方體，截面的形狀不可能是( A.正三角形 C.正五邊形

)B.正方形D.正六邊形解析：答案：C由面面平行的性質(zhì)定理可知選C.題組三真題展現(xiàn)

4.(2016年山東)已知直線(xiàn)a，b分別在兩個(gè)不同的平面α，β內(nèi)，則“直線(xiàn)a和直線(xiàn)b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

解析：直線(xiàn)a與直線(xiàn)b相交，則α，β一定相交，若α，β相交，則a，b可能相交，也可能平行或異面.故選A.

答案：A

5.(2019年上海)已知平面α，β，γ兩兩垂直，直線(xiàn)a，b，c滿(mǎn)足：a?α，b?β，c?γ，則直線(xiàn)a，b，c不可能滿(mǎn)足以下哪種關(guān)系()A.兩兩垂直C.兩兩相交B.兩兩平行D.兩兩異面解析：如圖D64(1)，可得a，b，c可能兩兩垂直；如圖D64(2)，可得a，b，c可能兩兩相交；如圖D64(3)，可得a，b，c可能兩兩異面；故選B.(1)(2)(3)

圖D64答案：B考點(diǎn)1平面的基本性質(zhì)自主練習(xí)1.設(shè)a，b，c是空間中的三條直線(xiàn)，下面給出四個(gè)命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；④若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線(xiàn).上述命題中錯(cuò)誤的是________(寫(xiě)出所有錯(cuò)誤命題的序號(hào)).

解析：由公理4知①正確；當(dāng)a⊥b，b⊥c時(shí)，a與c可以相交、平行或異面，故②錯(cuò)誤；當(dāng)a與b相交，b與c相交時(shí)，a與c可以相交、平行或異面，故③錯(cuò)誤；a?平面α，b?平面β，并不能說(shuō)明a與b“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”，故④錯(cuò)誤.故填②③④.答案：②③④2.(2018年福建廈門(mén)模擬)下列四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)為()

①如果兩個(gè)平面有三個(gè)不在一條直線(xiàn)上的公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合； ②兩條直線(xiàn)可以確定一個(gè)平面； ③空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線(xiàn)在同一平面內(nèi)； ④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，則M∈l.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解析：過(guò)不共線(xiàn)的三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面，因此①正確；若兩直線(xiàn)異面則不能確定一個(gè)平面，因此②不正確；正方體中一個(gè)頂點(diǎn)引出的三條棱，不在同一平面內(nèi)，因此③不正確；由公理可知④正確，故選B.答案：B3.下列推斷中，錯(cuò)誤的是()

A.A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l?α

B.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB

D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共線(xiàn)?α，β重合答案：C

【題后反思】直線(xiàn)在平面內(nèi)也叫平面經(jīng)過(guò)直線(xiàn)，如果直線(xiàn)不在平面內(nèi)，記作l

α，包括直線(xiàn)與平面相交及直線(xiàn)與平面平行兩種情形.反映平面基本性質(zhì)的三個(gè)公理是研究空間圖形和研究點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系的基礎(chǔ)，三個(gè)公理也是立體幾何作圖和邏輯推理的依據(jù).公理1是判斷直線(xiàn)在平面內(nèi)的依據(jù)；公理2的作用是確定平面，這是把立體幾何轉(zhuǎn)化成平面幾何的依據(jù)；公理3是證明三(多)點(diǎn)共線(xiàn)或三線(xiàn)共點(diǎn)的依據(jù).考點(diǎn)2三點(diǎn)共線(xiàn)、三線(xiàn)共點(diǎn)的證明師生互動(dòng)

[例1]如圖8-3-2，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn).求證： (1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面； (2)CE，D1F，DA三線(xiàn)共點(diǎn).

圖8-3-2證明：(1)如圖8-3-3，連接EF，CD1，A1B.圖8-3-3∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1.∴E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面.∴CE與D1F必相交.設(shè)交點(diǎn)為點(diǎn)P，如圖8-3-3，則由點(diǎn)P∈CE，CE?平面ABCD，得點(diǎn)P∈平面ABCD.同理點(diǎn)P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴點(diǎn)P∈直線(xiàn)DA.∴CE，D1F，DA三線(xiàn)共點(diǎn).

【考法全練】

1.如圖8-3-4，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C

l，直線(xiàn)AB∩l＝M，過(guò)A，B，C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線(xiàn)必通過(guò)()圖8-3-4A.點(diǎn)AC.點(diǎn)C但不過(guò)點(diǎn)MB.點(diǎn)B

D.點(diǎn)C和點(diǎn)M解析：∵AB?γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根據(jù)公理3可知，M在γ與β的交線(xiàn)上.同理可知，點(diǎn)C也在γ與β的交線(xiàn)上.故選D.答案：D

2.如圖8-3-5所示，ABCD-A1B1C1D1

是長(zhǎng)方體，O是B1D1的中點(diǎn)，直線(xiàn)A1C交平面AB1D1

于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是()圖8-3-5A.A，M，O三點(diǎn)共線(xiàn)C.A，M，C，O不共面B.A，M，O，A1不共面D.B，B1，O，M共面解析：連接A1C1，AC，則A1C1∥AC，答案：A∴A1，C1，A，C四點(diǎn)共面，∴A1C?平面ACC1A1，∵M(jìn)∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線(xiàn)上，同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線(xiàn)上.∴A，M，O三點(diǎn)共線(xiàn).考點(diǎn)3空間內(nèi)兩直線(xiàn)的位置關(guān)系多維探究考向1兩直線(xiàn)位置關(guān)系的判定[例2](1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是線(xiàn)段BC，CD1的中點(diǎn)，則直線(xiàn)A1B與直線(xiàn)EF的位置關(guān)系是()A.相交C.平行B.異面D.垂直

解析：如圖8-3-6所示，直線(xiàn)A1B與直線(xiàn)外一點(diǎn)E確定的平面為A1BCD1，EF?平面A1BCD1，且兩直線(xiàn)不平行，故兩直線(xiàn)相交.

圖8-3-6答案：A其中正確的結(jié)論為_(kāi)_______.圖8-3-7(2)如圖8-3-7所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線(xiàn)AM與CC1是相交直線(xiàn)；②直線(xiàn)AM與BN是平行直線(xiàn)；③直線(xiàn)BN與MB1是異面直線(xiàn)；④直線(xiàn)AM與DD1是異面直線(xiàn).

解析：∵點(diǎn)A在平面CDD1C1外，點(diǎn)M在平面CDD1C1內(nèi)，答案：③④直線(xiàn)CC1在平面CDD1C1內(nèi)，CC1不過(guò)點(diǎn)M，∴AM與CC1是異面直線(xiàn).故①錯(cuò)；取DD1中點(diǎn)E，連接AE，則BN∥AE，但AE與AM相交.故②錯(cuò)；∵點(diǎn)B1與BN都在平面BCC1B1內(nèi)，點(diǎn)M在平面BCC1B1外，BN不過(guò)點(diǎn)B1，∴BN與MB1是異面直線(xiàn).故③正確；同理④正確，故填③④.

(3)(2019年全國(guó)Ⅲ)如圖8-3-8，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，點(diǎn)M是線(xiàn)段ED的中點(diǎn)，則()

圖8-3-8A.BM＝EN，且直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)B.BM≠EN，且直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)C.BM＝EN，且直線(xiàn)BM，EN是異面直線(xiàn)D.BM≠EN，且直線(xiàn)BM，EN是異面直線(xiàn)

解析：如圖8-3-9所示，作EO⊥CD于O，連接ON，過(guò)M作MF⊥OD于F，連BF，∵平面CDE⊥平面ABCD，EO⊥CD，EO?平面CDE，∴EO⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，圖8-3-9∴△MFB與△EON均為直角三角形.答案：B

【題后反思】判斷直線(xiàn)是否平行比較簡(jiǎn)單直觀，可以利用公理4；判斷直線(xiàn)是否異面則比較困難，掌握異面直線(xiàn)的兩種判斷方法：①反證法：先假設(shè)兩條直線(xiàn)不是異面直線(xiàn)，即兩條直線(xiàn)平行或相交，再由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線(xiàn)異面；②在客觀題中，也可用下述結(jié)論：過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn)，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn).【考法全練】

1.下列如圖8-3-10所示的正方體和正四面體中，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是________(填所有滿(mǎn)足條件圖形的序號(hào)，下題同).圖8-3-10

解析：易知①③中PS∥QR，所以四點(diǎn)共面.在②中構(gòu)造如圖D65所示的含點(diǎn)P，S，R，Q的正六邊形，易知四點(diǎn)共面.在④中，由點(diǎn)P，R，Q確定平面α，由圖象觀察知點(diǎn)S在平面α外，因此四點(diǎn)不共面.綜上知，故填①②③.圖D65答案：①②③

2.如圖8-3-11，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則使直線(xiàn)GH，MN是異面直線(xiàn)的圖形有________.圖8-3-11

解析：圖①中，直線(xiàn)GH∥MN；圖②中，G，H，N三點(diǎn)在三棱柱的側(cè)面上，MG與這個(gè)側(cè)面相交于G，∴M

平面GHN，因此直線(xiàn)GH與MN異面；圖③中，連接MG，GM∥HN，因此GH與MN共面；圖④中，G，M，N共面，但H

平面GMN，因此GH與MN異面.答案：②④考向2異面直線(xiàn)所成的角[例3](1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn).①AC與D1D所成的角為_(kāi)_________________；②AC與C1D所成的角為_(kāi)_________________；③BD1

與CE所成角的余弦值為_(kāi)___________.解析：根據(jù)題意作圖，如圖8-3-12，①D1D∥A1A，A1A⊥AC，所以AC⊥D1D，即AC與DD1成90°角；圖8-3-12②AC∥A1C1，AC與C1D所成的角為∠A1C1D，而△A1C1D為等邊三角形，所以∠A1C1D＝60°，所以AC，與C1D成60°角；答案：①90°②60°解析：如圖8-3-13，設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m′，平面CB1D1∩平面ABB1A1＝n′圖8-3-13∵α∥平面CB1D1，∴m∥m′，n∥n′.答案：A

(3)(2015年浙江)如圖8-3-14，三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AN，CM所成的角的余弦值是________.圖8-3-14

解析：如圖8-3-15，連接DN，取DN中點(diǎn)P，連接PM，PC，

則可知∠PMC為異面直線(xiàn)AN，CM所成的圖8-3-15

【題后反思】(1)求異面直線(xiàn)所成的角的常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類(lèi)型：利用圖中已有的平行線(xiàn)平移；利用特殊點(diǎn)(線(xiàn)段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線(xiàn)平移；補(bǔ)形平移. (2)求異面直線(xiàn)所成的角的三步曲：即“一作、二證、三求”.其中空間選點(diǎn)任意，但要靈活，經(jīng)常選擇端點(diǎn)、中點(diǎn)、等分點(diǎn)，通過(guò)作三角形的中位線(xiàn)，平行四邊形等進(jìn)行平移，作出異面直線(xiàn)所成的角，轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題，進(jìn)而求解.

【考法全練】

3.(2020年江西一模)在四面體ABCD中，BD＝AC＝2，AB

解析：如圖D66，把四面體ABCD補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分

取AB的中點(diǎn)G，連接GE，GF.

因?yàn)镚，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，圖D66答案：B

4.如圖8-3-16，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝12，BC＝3，AA1＝4，N在A1B1上，且B1N＝4.則BD1與C1N所成角的余弦值為_(kāi)_______.圖8-3-16

解析：如圖D67所示，將長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1平移到BCFE-B1C1F1E1的位置.

則C1E∥BD1，C1E與C1N所成的銳角(或直角)就是BD1與C1N所成的角.圖