正弦定理知識點及題型總結(jié)

#6.4.3.2正弦定理一、概念1?正弦定理：設(shè)AABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c，外接圓的半徑為R,sinAsinBsinCsinAsinBsinC證明：

2?正弦定理的變形(1)a二2RsinA；b—2RsinB；c—2RsinC(2)sinA—；sinB—bsinC——2R2R；2R(3)sinA:sinB:sinC—a:b:cabca+b+c(4)———sinAsinBsinCsinA+sinB+sinCbsinAcsinA”asinBcsinBbsinCasinC(5)a——b—-—■c——sinBsinCsinAsinCsinBsinA3?三角形的面積公式：設(shè)AABC的角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c，則AABC的面積S=—ah=—bh=丄ch(其中h,h,h分別為邊a,b,c上的高)AABC2a2b2cabc=—absinC=—bcsinA=—casinB222a2sinBsinCb2sinAsinCc2sinAsinB2sinA2sin2sinA2sinB2sinC=2R2sinAsinBsinC(其中R是AABC的外接圓半徑)abc=—r(a+b+c)(其中r是AABC的內(nèi)切圓半徑)^21|—"—"~—=-^i(ABAC)2-(AB?AC)2=、】P(P-a)(p-b)(p-c)(海倫公式)(其中p為半周長p="+等°)2特別地，若設(shè)點A(x,y),B(x,y)，則S=xy-xy|1122AOAB2I<2^114?三角形解的個數(shù)AABC中，已知a,b和A時，三角形的解得情況如下:A為銳角A為鈍角圖形zcAVrAb關(guān)系式a<bsinAa—bsinAbsinA<a<ba>ba>b解的個數(shù)無解一解兩解一解一解

例1?證明角平分線定理：例1?證明角平分線定理：AABC中，AD是角內(nèi)A或其外角的平分線，則ABACBDCD題型一已知兩角和一邊，解三角形例2.在AABC中，已知A=15o，B=45o，c=3+、.：'3，解這個三角形小結(jié)：已知三角形的兩角及一邊，解三角形的步驟:先由內(nèi)角和定理求出第三個角；再用正弦定理另外兩邊.跟蹤訓(xùn)練：在AABC中，已知A=300，C=1050，a=10，解這個三角形題型二已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形例2.在AABC中，已知B=300，b=</2，c=2，解這個三角形小結(jié)：（1）已知三角形的兩邊及一邊所對的角，解三角形的步驟：解法1:①先由正弦定理求另外一邊所對的角（注意大邊對大角）；再用內(nèi)角和定理求第三個角；由正弦定理求第三邊.解法2：①由已知角的余弦定理得到第三邊的方程，解出第三邊（注意大角對大邊）再用余弦定理或正弦定理求出第二個角；用內(nèi)角和定理求第三個角.跟蹤訓(xùn)練：在AABC中，已知a=3，b=丫2，B=45o，解這個三角形題型三判斷三角形解得個數(shù)例3.在AABC中，角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c，若a=3，b=4，A=300，則此三角形（）A.有一解B.有兩解C.無解D.不確定跟蹤訓(xùn)練1?在AABC中，角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c，若b=2，c=4，B=6Oo，則此三角形（）A.有一解B.有兩解C.無解D.不確定跟蹤訓(xùn)練2?在AABC中，角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c，若a二18,b二20,A=15Oo，則此三角形（）A.有一解B.有兩解C.無解D.不確定

跟蹤訓(xùn)練3?在AABC中，角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c，根據(jù)下列條件，判斷三角形解得情況，其中正確的有①a=8，b=16，A=30o，有一個解；②b=18，c=20，B=60o，有兩個解③a=5，c=2，A=90。，無解；④a=30，b=25，A=150。，有一個解；題型四判斷三角形的形狀tanAa2例4.AABC中，角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c，若=廠，試判斷三角形的形狀tanBb2小結(jié)：根據(jù)已知條件判斷三角形形狀，通常有兩種思路：（1）化邊為角：根據(jù)正弦定理把已知條件中的邊角混合關(guān)系化為角的關(guān)系，再根據(jù)三角恒等變換化簡，進而確定三角形的形狀（2）化角為邊：根據(jù)正弦定理和余弦定理把已知條件中的邊角混合關(guān)系化為邊的關(guān)系，再根據(jù)代數(shù)運算化簡，進而確定三角形的形狀跟蹤訓(xùn)練1.AABC中，角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c，若bcosC+ccosB二asinA，試判斷三角形的形狀小結(jié)：三角形的射影定理：AABC中，角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c，則a二bcosC+ccosB，b二acosC+ccosA，c二acosB+bcosA注:bcosC-ccosB=注:bcosC-ccosB=一acosC-ccosA=acosB-bcosA=a2-b2跟蹤訓(xùn)練2.AABC中，角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,若c-acosB=(2a一b)cosA,試判斷三角形的形狀總結(jié)：三角形中常見的結(jié)論：設(shè)AABC的角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c，貝V三角形的內(nèi)角和定理：A+B+C=兀三角形的大邊對大角，大角對大邊(3)銳角三角形的任何一個內(nèi)角的正弦都大于其余角的余弦平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和中線長定理：設(shè)AABC的邊a,b,c上的中線分別為AD,BE,CF，貝y111.AD=2(b2+c2)-a2,BE=2(a2+c2)-b2,CF=2(a2+b2)-c2^2^2^2ABBD6)角平分線定理：AABC中，AD是角A或其外角的平分線，則=冷6)ACCD7)(1)7)(1)sin(A+B)=,cos(A+B)=,tan(A+B)=.A+B.A+B

sin=2A+B，cos=2A+B，tan=28)sin(A-B)oA=BOAABC8)兀sin2A=sin2BoA=B或A+B=—oAABC為等腰或直角三角形sinA>sinBoa>boA>BocosA<cosB11)三角形中的射影定理：a=bcosC+ccosB，b=acosC+ccosA，c=acosB+bcosA注:bcosC-ccosB=，acosC-ccosA=，acosB-bcosA=—abc2Sa+b—c亠a+b+cRtAABC的內(nèi)切圓半徑r=aabc=，旁切圓半徑r'=a+b+c22tanAtanB>1oAABC為銳角三角形；tanAtanB=1nAABC為直角三角形；tanAtanB<1oAABC為銳角三角形；(14)若sin2A+sin2B+sin2C<2，則AABC為鈍角三角形若sin2A+sin2B+sin2C=2，則AABC為直角三角形若sin2A+sin2B+sin2C>2,則AABC為銳角三角形15)兀若a,b,c成等差數(shù)列，則①sinA,smB,smC也成等差數(shù)列；②0<B<■—16)兀若a,b,c成等比數(shù)列，則0<B<—AABC中的恒等式ABC(17)r一=4sinsinsin=cosA+cosB+cosC-1R222sinA+sinB+sinC=4coscoscos—222ABcsinA+sinB-sinC=4sinsincos—222sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC⑤cos