費(fèi)米狄拉克分布

費(fèi)米-狄拉克分布的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證X魯從勖程向明李正(西安交通大學(xué)理學(xué)院實(shí)驗(yàn)物理中心710049)摘要通過理論推導(dǎo),用理想二極管外加磁場(chǎng)的方法,驗(yàn)證了真空中熱電子發(fā)射的電子動(dòng)能分布也符合費(fèi)米-狄拉克分布.使量子統(tǒng)計(jì)學(xué)中的費(fèi)米-狄拉克分布得到了推廣.經(jīng)過適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)處理,使復(fù)雜的微觀量較容易地通過宏觀量得以測(cè)量.關(guān)鍵詞費(fèi)米-狄拉克分布費(fèi)米能級(jí)理想二極管dg(Ek)dg(Ek)g'(Ek)= dEk■exp〔EEf)/kT〕kT{exp〔(Ek-Ef)/kT〕+1}^199202^1^ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.c1理論分析在金屬內(nèi)部電子的能量遵從費(fèi)米-狄拉克分布,費(fèi)米分布函數(shù)為g(E)= (i)exp〔(E-Ef)/kT〕+1 (1)式中E是電子的能量,Ef是費(fèi)米能級(jí),k是玻爾茲曼常量,T是K氏溫度.對(duì)g(E)求導(dǎo)得g/(e=dg(E)= -exp(E-Ef)/kT〕dE=kT{exp(E-E)/kT〕+1}2(2)g(E),g'(E的理論曲線如圖1和圖2所示.由于無法直接測(cè)量金屬內(nèi)部電子能量的分布,我們對(duì)真空中熱電子發(fā)射的電子動(dòng)能分布進(jìn)行了測(cè)量.電子在金屬內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)與電子剛脫離金屬發(fā)射到真空中的運(yùn)動(dòng)條件是完全不同相的.由于電子逸出金屬表面時(shí),要消耗一部分能量用作逸出功,因此從金屬內(nèi)部電子的能量E減去其逸出功A,即可得到真空中熱電子發(fā)射的動(dòng)能Ek

Ek=E-A (3)另外,電子脫離金屬之后,不再受到金屬內(nèi)部其他帶電粒子的影響,Ef應(yīng)該為零，但由于真空與金屬表面接觸處,存在有電子氣形成的偶電層,而該偶電層所產(chǎn)生的電位降的值為甲e.也就是說這個(gè)偶電層的勢(shì)壘值,等于該溫度下的費(fèi)考慮到這兩個(gè)因素之后,我們可得出:真空中熱電子發(fā)射的電子在剛脫離金屬表面后的能動(dòng)分布應(yīng)該遵從修正后的費(fèi)米分布函數(shù),即g(叱―〕+-1 (4)對(duì)(4)式求導(dǎo)得 f(5)從(4),(5)兩式看出,真空中熱電子發(fā)射的電子動(dòng)能分布規(guī)律,與金屬內(nèi)部電子按能量分布的規(guī)律完全相同,都遵從費(fèi)米-狄拉克分布.

2實(shí)驗(yàn)方法及數(shù)據(jù)處理用螺線管套在理想二極管的外面,通以直流電流,在理想二極管不加陽極電壓的情況下,直接測(cè)量陽極電流的變化情況.其電路如圖3所示.由于理想二極管的特殊結(jié)構(gòu),從燈絲發(fā)射出的電子沿半徑方向飛向二極管的陽極.因?yàn)殛枠O電壓等于零,所以電子不受外電場(chǎng)力的作用,而保持著從金屬表面逸出時(shí)的初動(dòng)能,飛向陽極形成飽和陽極電流.因?yàn)殡娮訌慕饘俦砻嬉莩鰰r(shí)的初動(dòng)能各不相同,如何將它們按相等的動(dòng)能間隔區(qū)分開來,并且求出電子數(shù)目的相對(duì)值,便成為該實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵.圖3由圖3可知,從理想二極管發(fā)射出的電子,沿半徑方向飛向二極管的陽極,在螺線管所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的作用下,電子將受到洛倫茲力F=evxB,而作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力是向心力.由于v丄B,洛倫茲力可用標(biāo)積表示fL=Bev=mv2/R (6)式中v是電子在二極管的半徑方向的速度，或者電子的速度在半徑方向上的分量為(8)式中L0是真空中的磁導(dǎo)率,N是螺線管的總匝數(shù),L和D分別是螺線管的長(zhǎng)度和直徑IB是通過螺線管的電流強(qiáng)度.將(7),(8)式代入(6)式得真空中電子的動(dòng)能為mv2 mL2N2 e2k=丁=2(L2+D2)R2|. IB2(9)2 m由圖4可看出,若R大于d/4(d是圓柱面陽極的直徑),電子就能到達(dá)陽極,形成陽極電流.若R小于d/4,電子就不能到達(dá)陽極，這一部分電子對(duì)陽極電流無貢獻(xiàn).可見電子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑(決定于IB)直接影響陽極電流的大小.將R=d/4代入(9)式得Ek=K1b2(10)其中(10)K=P2X10P2X10-i4N2d2m2(L2+D2)2x4XXX陽極燈絲電子軌跡圖x4XXX陽極燈絲電子軌跡圖4可見真空中熱電子發(fā)射的電子動(dòng)能與螺管線中的電流強(qiáng)度的平方成正比,而洛倫茲力不改變電子的動(dòng)能,它只影響電子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑大小.對(duì)于動(dòng)能一定的電子,向心力越大勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑越小.當(dāng)動(dòng)能增加$Ek時(shí),將有相應(yīng)數(shù)量的電子,因其圓周運(yùn)動(dòng)的半徑v=Bev=BeRm(7)式中R是電子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑,m是電子的質(zhì)量,B是螺線管中間部分的磁感應(yīng)強(qiáng)度,其表達(dá)式為L(zhǎng)”IB?1994-2012B=ma空￡ad(DjcJournalEl屈)onic(7)小于d/4而不能到達(dá)陽極，所以陽極電流將減小$Ip.又因?yàn)槎cIb2成正比，所以可以用Ib2代替變量Ek進(jìn)行實(shí)驗(yàn)及數(shù)據(jù)處理.實(shí)驗(yàn)中,設(shè)燈絲電流穩(wěn)定不變,陽極電壓等

于零，理想二極管的陽極飽和電流為icPublishingHouse.Ajpr=hn0eesewed.http(/pjyw.(式中的n0以及下面的n1,n2,n3 ,均為單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)陽極的電子數(shù)目.當(dāng)IB2以相等的改變量依次增加下去,將得到一組方程P1P2n1en2e(12)由（11）,（12）式可得$Ip=Ip0-Ip=(n0-n1)e=$n1e101“ $Ip=Ip1-Ip=(n1-n2)e=$n2e212(13)方程組(12)中各式除(11)式得(/P1/1P0=叫n0IPJIp°=n2/n0 (14)方程組（13）中各式除（11）式得（$Ip/1p=$nJn0$I；/Ip0=$n2/n0 （15）20為了適應(yīng)理論上的要求,在操作上我們事先選好IB2的值，使其等間隔的增加，然后以其平方根的值,作為實(shí)際測(cè)量時(shí)的電流值,進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量.3實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見表1.以IJIp為Y軸,IB2的i0值為x軸，作圖可得到費(fèi)米分布函數(shù)g（Ek）?E的曲線，如圖5所示.以$Ip/1p為Y軸，相應(yīng)i0的IB2的值為x軸，作圖可得到g'（E）?耳的曲線圖和直方圖，如圖6所示.表1一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)IB20.0000.0400.0800.1200.1600.2000.2400.2800.320I0.0000.2000.2830.3460.4000.4470.4900.5290.566BIp.92.692.191.389.183.872.054.336.020.3iIp/1p1.0000.9950.9860.9620.9050.7780.5860.3890.2191i 1()Ip-1p ,0.50.82.25.311.817.718.315.79.6i i+1$I/1p p0.005400.008640.02380.05720.1270.1910.1980.1690.104i 0I20.3600.4000.4400.4800.5200.5600.6000.6400.680BI0.6000.6320.6630.6930.7210.7480.7740.8000.825Ipi10.76.03.52.41.81.31.11.00.9piIp/1p0.1160.06480.03780.02590.01940.01400.01190.01080.00972pi p0I-I4.72.51.10.60.50.20.10.10.1pi pi+1$I/1屮 p 2p0.05080.02700.01190.006480.005400.002160.001080.001080.00108i 0I20.7200.7600.8000.8400.8800.9200.9601.000BI”0.8480.8720.8940.9160.9380.9590.9801.000Ip0.80.50.50.40.30.30.30.2Ip/1p0.008640.005400.005400.004320.003240.003240.003240.00216pi p0I-I0.30.00.10.00.00.1pi pi+1$I/1屮p 2p0.003240.000.001080.000.000.00108i0經(jīng)多次測(cè)量重復(fù)性較好經(jīng)多次測(cè)量重復(fù)性較好.從實(shí)驗(yàn)得到的兩條費(fèi)米統(tǒng)計(jì)分布曲線與理論曲線相一致.歸一化的程度也較高，實(shí)驗(yàn)值為0.996，誤差只有0.4%.從兩條實(shí)驗(yàn)曲線上都可看出:熱電子發(fā)?1994-2012ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse,Allrightsres射的電子能量的最可幾值在1/2附近，且與理論相符?而且在g（E）=1/2處所對(duì)應(yīng)的e應(yīng)該是該材料在實(shí)驗(yàn)溫度下的費(fèi)米能級(jí).本實(shí)驗(yàn)所測(cè)鎢的費(fèi)米能級(jí)Ef=2.06eV.（下轉(zhuǎn)12頁）' …一* >erved.http://www.c

未修正前的測(cè)量值計(jì)算出的E0隨間距d的增加而增加.說明當(dāng)平行板的實(shí)際電容量較大而分布電容又較小時(shí),分布電容的影響較小.隨平行板實(shí)際電容量的減少,分布電容的影響則越顯突出.其次,可以看出,由平行板電容修正后的測(cè)量值計(jì)算的電容率E，在D小于2mm（或D/d大于50）時(shí)基本上為一常量.當(dāng)d大于2mm（或D/d小于50）時(shí)，由于邊緣效應(yīng)的影響,E漸漸遠(yuǎn)離公認(rèn)值，這既符合電磁學(xué)理論，也與上面提到的數(shù)據(jù)取值范圍是一致的.以上分析還證實(shí)，在保持接線分布不變的情況下，測(cè)量過程中，只改變平行板電容器的間距d,可近似認(rèn)為分布電容為一常量.為保證測(cè)量數(shù)據(jù)準(zhǔn)確，實(shí)驗(yàn)中還應(yīng)注意接線長(zhǎng)度應(yīng)盡可能短，并在測(cè)量過程中保持布線位置不變，以減小分布電容的變化所帶來的影響.在用交流電橋測(cè)量電容的過程中，手不能接觸電容的任何部位，人體也應(yīng)盡量遠(yuǎn)離電容，以減少人體感應(yīng)所引起的誤差.圖1的實(shí)驗(yàn)裝置與交流電橋配合還可以用來測(cè)量固體電介質(zhì)介的電系數(shù)〔2〕.4參考文獻(xiàn)TylerF.Alaboratorymanualofphysics.EdwardArnoIdLimited,1977.107-108王良才等.介電系數(shù)的測(cè)量.物理實(shí)驗(yàn)，1988，8（3）