第十五章傅立葉級數

第十五章傅立葉級數§1傅立葉級數1．在指定區(qū)間內把下列函數展開成傅立葉級數：（1）f(x)=x(i)-<x<(ii)0<x<2;(2)f(x)=x2(i)-<x<(ii)0<x<2;(3)ax-<x<0f(x)=(a,b為不等于0的常數，且ab)bx0<x<2.設f是以2為周期的可積函數，證明對任何實數c有3.把函數--<x<0f(x)=0展開成傅立葉級數，并由它推出（1）（2）（3）4．設函數f(x)滿足條件：f(x+)=-f(x),問此函數在（-，）的傅立葉級數滿足什么特性。5．函數f(x)滿足條件：f(x+)=f(x),問此函數在（-，）的傅立葉級數滿足什么特性？6．試證函數系cosnx,n=0,1,2….和sinnx,n=1,2,…都是[0，]上的正交函數系，但它們合起來的（5）式不是[0，]上的正交函數系。7．求下列函數的傅立葉展開式：（1）；（2）-<x<;(3)f(x)=ax2+bx+c,(i)0<x<2(ii)-<x<(4)f(x)=chx,-<x<(5)f(x)=shx,-<x<8.求函數f(x)=,0<x<2的傅立葉級數展開式，并應用它推出。9．設f為[-，]上光滑函數，且f(-)=f(),為f的傅立葉級數，an’，bn’為f的導函數f‘的傅立葉系數。證明：，。（n=1,2,…）10.設f為[-，]上的光滑函數，且f(-)=f()，證明：，（.11.證明：若三角級數中的系數滿足關系，M為常數，則上述三角級數收斂，且其和函數具有連續(xù)的導函數?！?以2l下列周期函數的傅立葉級數展開式：（1）f(x)=|cosx|;(2)f(x)=x-[x];(3)f(x)=sin4x;(4)f(x)=sgn(cosx).求函數xf(x)=11<x<23-x的傅立葉級數并討論其收斂性。將函數f(x)=在[0，]上展開成余弦級數。將函數在[0，]上展開正弦級數。把函數1-x,f(x)=x-3,2<x<4在（0，4）上展開成余弦級數。把函數在（0，1）上展開余弦級數，并推出求下列函數的傅立葉級數展開式：（1）f(x)=arcsin(sinx);(2)f(x)=arcsin(cosx).8.試問如何把定義在[0，/2]上的可積函數f延拓到區(qū)間（-，）內，使它們的傅立葉級數為如下形式：（1）（2）§3收斂定理的證明1．設f為（-，）上以2為周期的光滑函數，證明f的傅立葉級數在（-，）上一致收斂于f.2.f為[-，]上可積函數，證明：若f的傅立葉級數在[-，]上一致收斂于f,則成立巴塞伐（parseval）等式：這里an,bn為f的傅立葉系數。由于巴塞伐等式對于在[-，]上滿足收斂定理條件的函數也成立（證略）。請應用這個結果證明下列各式：（1）（2），（3）4.證明：若f,g均為[-