第一章A勻變速直線運動

5/5第一章A勻變速直線運動在基礎型物理課程中，我們學習了勻速直線運動和初速度為零的勻加速直線運動的規(guī)律。這是兩種最簡單的運動形式，實際運動較為復雜。例如物體在開始做加速運動時有一定的“初速度”，此外還有減速運動。因此現(xiàn)在要將我們的討論拓展到較一般的勻變速直線運動，包括初速不為零的勻加速直線運動、勻減速直線運動，以及豎直上拋運動等。勻變速直線運動。圖1-1如圖1-1所示，高速公路上有一輛警車正在以一定的速度巡邏行駛，如果此時獲悉在前方某處發(fā)生車禍，該警車就要立即加速向事故發(fā)生地駛?cè)?。那么這輛警車要多久才能趕到出事地點？這里涉及到有初速度的物體的加速運動過程，以及到達事故發(fā)生地之前的減速運動過程。其他如列車在直線軌道上的加速或減速過程，飛機降落后在跑道上的滑行過程，長跑運動員的最后沖刺過程等，在物理上都可近似地作為初速不為零的勻變速直線運動進行考察圖1-1在基礎型物理課程中，我們已經(jīng)學習了初速為零的勻加速直線運動。不過，從上述情景中可以看到，為了解決更多的實際問題，有必要將我們的討論進一步拓展到更一般的初速不為零的勻變速直線運動，建立有關的基本公式，探討運用這些基本公式求解問題的基本思路和基本方法。一、速度隨時間變化的規(guī)律速度是描寫物體運動狀態(tài)的物理量，因此掌握運動物體的速度隨時間變化的關系非常重要。那么，當物體做勻變速直線運動時，它的速度v隨時間t的變化有怎樣的規(guī)律呢？大家談一物體做勻加速直線運動，加速度為a，問經(jīng)過t秒后該物體的速度v是多少？這個問題能否回答？為什么？我們知道，為了描寫速度的變化，需要引進加速度。加速度是描寫物體運動速度變化快慢的物理量，因此當物體的速度發(fā)生均勻變化時，它的加速度a是常量。若物體在初始時刻的速度為v0，其后某一時刻t的速度為v，則由加速度的定義a＝EQ\F(v－v0,t)可得v＝v0＋at。此式常稱為“速度公式”，它反映了一般初速度不為零的勻變速直線運動的速度隨時間變化的規(guī)律。從物理意義上可這樣來理解上式：加速度在數(shù)值上等于單位對間內(nèi)速度的增加量。當速度均勻地增加時，時間t內(nèi)速度的增加量就是at，因此時刻t的速度就是初速度v0與該增加量at之和?！臼纠?】汽車以36km/h的速度勻速行駛，如果以1.6m/s2的速度使它的速度均勻地增加一倍，需多少時間6.25s？6.25s【解答】已知初速度v0＝36km/h＝10m/s，末速度v＝2v0＝20m/s，加速度a＝1.6m/s2。由速度公式v＝v0＋at可得t＝EQ\F(v－v0,a)＝EQ\F(20－10,1.6)s＝6.25s。勻變速直線運動可區(qū)分為“勻加速直線運動”和“勻減速直線運動”兩類。根據(jù)加速度定義a＝EQ\F(v－v0,t)，在加速運動中，末速度大于初速度，所以加速度a為正值；在減速運動中，來速度小于初速度，所以加速度a為負值。二、速度-時間圖象（v-t圖）在基礎型物理課程的學習中我們知道，當物體做直線運動時，它的速度隨時間變化的規(guī)律除了可用公式表示外，還可用圖象表示。如果直角坐標系的橫坐標代表時間，縱坐標代表速度，則這種坐標系就可用來表示做直線運動物體的瞬時速度隨時間變化的關系，這樣的圖就稱為速度-時間圖象，簡稱“v-t圖”。對于初速為零的勻變速直線運動來說，當t＝0時，v0＝0；其后v隨時間t均勻地增加，因此初速度為零的勻變速直線運動的v-t圖是一條通過原點的傾斜直線，如圖1-2（a）所示，其斜率隨加速度a的數(shù)值增大而增大。一般初速不為零的勻變速直線運動的v-t圖是怎樣的呢？圖為t＝0時物體的速度為v0，所以它是一條不通過原點的傾斜直線，如圖1-2（b）所示，傾斜直線與縱坐標軸的交點即為運動物體的初速度v0；直線的斜率則表示運動物體的加速度a。圖圖1-2大家談1．下面的v-t圖中顯示了三種勻變速運動的速度隨時間變化的關系。請描述一下它們的運動情況。圖圖1-3三、位移隨時間變化的規(guī)律對于運動物體，人們常常不僅要了解它們的速度隨時間變化的情況，還要了解它們的位置變化，即位移隨時間變化的情況。對于一般做初速不為零的勻加速直線運動的物體來說。它們的位移隨時間的變化有怎樣的規(guī)律性呢？圖1-4在基礎型物理課程的學習中我們知道，做直線運動的物體在某段時間內(nèi)的位移，在數(shù)值上等于它的速度圖線與時間軸所圍成的面積?，F(xiàn)將上述結(jié)論推廣到勻變速運動情況。從圖1-4可以看出，經(jīng)過時間t物體的速度由v0變到v0＋at，在該段時間的速度圖線與時間軸所圍成的面積是S＝S1＋S2,，因此時間t圖1-4s＝v0t＋EQ\F(1,2)at2。這個式子常稱為“位移公式”，它反映了一般初速不為零的勻變速直線運動的位移隨時間變化的規(guī)律。聯(lián)立速度公式和位移公式，消去t，可得到勻變速直線運動的速度v與位移s的關系式：v2－v02＝2as。速度公式、位移公式，以及速度和位移的關系式反映了勻變速直線運動的規(guī)律。在這三個公式中，只有兩個是獨立的。自主話動利用勻變速直線運動在時間t內(nèi)平均速度的公式EQ\X\to(v)＝EQ\F(1,2)（v0＋v），導出位移公式，看看是否與利用圖象法導出的公式一致。初速度不為零的勻變速直線運動的規(guī)律在日常生活和交通運輸領域有許多應用。例如，車輛從制動到停止的運動過程可近似地視為勻減速運動過程（見圖1-5）。車輛制動過程中所移動的距離稱為“制動距離”。國家對機動車的剎車裝置制訂了“制動距離”的國家標準（見下表），以保證車輛行駛安全。圖圖1-5某些機動車“制動距離”的國家標準車輛類型制動初速度（km/h）滿載檢測的制動距離（m）空載檢測的制動距離（m）座位數(shù)≤9的載客汽車50≤20≤19其他總質(zhì)量≤4.5t的汽車50≤22≤21其他汽車及無軌電車30≤10≤9四輪農(nóng)用運輸車30≤9≤8兩輪摩托車30≤7二輪摩托車30≤8輕便摩托車20≤4輪式拖拉機車組20≤6.5≤6.0【示例2】李先生駕駛一輛小汽車，以90km/h的速度在高速公路上行駛，并小心地與前方汽車保持60m車距。不巧，由于前方那輛汽車突然剎車，李先生的車一頭撞了上去，發(fā)生了追尾事故。交警趕來調(diào)查處理時，他爭辯說：“按照國家標準，我的轎車的制動距離只要20m，而我則保持了60m車距，因此對這次事故我沒有責任?！蹦愕目捶乩钕壬鷽]有正確理解上表中數(shù)據(jù)的含義。這里，首先要從機動車“制動距離”國家標準的相應數(shù)據(jù)，推算出他的汽車制動時能達到的最大加速度。根據(jù)上表數(shù)據(jù)，他的汽車在初速度v0＝李先生沒有正確理解上表中數(shù)據(jù)的含義。這里，首先要從機動車“制動距離”國家標準的相應數(shù)據(jù)，推算出他的汽車制動時能達到的最大加速度。根據(jù)上表數(shù)據(jù)，他的汽車在初速度v0＝50km/h＝13.9m/s時的制動距離為20m，所以該車制動時的加速度可利用速度與位移關系式v2－v02＝2as求得a＝EQ\F(v2－v02,2s)＝EQ\F(0－13.92,2×20)m/s2＝－4.83m/s2?，F(xiàn)在轎車的初速度v0?＝90km/h＝25m/s；末速度v?＝0；加速度a＝－4.83m/s2。因此制動距離是s?＝EQ\F(v?2－v0?2,2a)＝EQ\F(0－252,2×（－4.83）)m＝64.7m。即李先生的這輛車此時與前方汽車的距離應至少等于64.7m?！窘獯稹坷钕壬鷽]有正確理解上表中數(shù)據(jù)的含義。這里，首先要從機動車“制動距離”國家標準的相應數(shù)據(jù)，推算出他的汽車制動時能達到的最大加速度。根據(jù)上表數(shù)據(jù)，他的汽車在初速度v0＝50km/h＝13.9m/s時的制動距離為20m，所以該車制動時的加速度可利用速度與位移關系式v2－v02＝2as求得a＝EQ\F(v2－v02,2s)＝EQ\F(0－13.92,2×20)m/s2＝－4.83m/s2。現(xiàn)在轎車的初速度v0?＝90km/h＝25m/s；末速度v?＝0；加速度a＝－4.83m/s2。因此制動距離是s?＝EQ\F(v?2－v0?2,2a)＝EQ\F(0－252,2×（－4.83）)m＝64.7m。即李先生的這輛車此時與前方汽車的距離應至少等于64.7m。【討論】在保持車距的問題中，還必須考慮“反應時間”這個因素。為了行車安全，必須保持一定的車距。點擊初速不為零的勻變速直線運動的速度公式和位移公式涉及五個量：加速度a、初速度v0、末速度v、位移s，以及時間t，已知其中任何三個量，就可求出另外兩個量。此外，這兩式還將勻速直線運動和初速為零的勻變速直線運動的基本公式作為特例包含在其中。【示例3】一輛警車在高速公路上以36km/h的速度行駛，此時接到命令，在前方4km處發(fā)生車禍，該警車于是立即加速向事故發(fā)生地駛?cè)?。設警車加速或減速時加速度的值都是2.8m/s2，最高時速為180km/h。試估計這輛警車趕到事故發(fā)生地所需最短時間94.7s。94.7s圖1-6【分析】可近似地認為這輛警車的運動包括三段（見圖1-6，圖中v0＝36km/h，v＝180km/h）：（1）ab段，是初速不為零的勻加速直線運動，速度由礬增加到可；（2）bc段，是勻速直線運動；（3）cd段，是勻減速直線運動，速度由v減小到零。計算時可先利用速度公式和速度與位移的關系式算出加速段與減速段所需時間和路程，然后算出中間勻速段的路程及時間。圖1-6【解答】（1）加速段：已知v0＝36km/h＝10m/s，v＝180km/h＝50m/s，a＝2.8m/s2，因此，為了求出未知量時間t1和位移s1，可分別利用速度公式v＝v0＋at1，及速度與位移的關系式v2－v02＝2as1，得t1＝EQ\F(v－v0,a)＝EQ\F(50－10,2.8)s＝14.3s，s1＝EQ\F(v2－v02,2s)＝EQ\F(502－102,2×2.8)m＝428.6m。（2）減速段：已知v0＝50m/s，v＝0，a＝－2.8m/s2，因此t3＝－EQ\F(v0,a)＝EQ\F(50,2.8)s＝17.9s，s3＝－EQ\F(v02,2s)＝EQ\F(502,2×2.