相似三角形的創(chuàng)新題型聚焦

1、相似三角形的創(chuàng)新題型聚焦一、分類討論題例1在abc中，b25°，ad是bc邊上的高，并且，則bca的度數(shù)為_。解：（1）當(dāng)高ad在abc內(nèi)時，如圖1。又adbcda，adbcda圖1badacdcadacd90°cadbad90°b25°，bca65°（2）當(dāng)高ad在abc外時，如圖2。同理可證adbcdaabdcad25°圖2acd65°bca180°acd115°評析：本題一方面考查相似三角形的判定和性質(zhì)，另一方面考查分類討論的思想方法。二、新定義圖形題圖3例2定義：若某個圖形可分割為若干個都與它相似

2、的圖形，則稱這個圖形是自相似圖形。探究：（1）如圖3，已知abc中c90°，你能把a(bǔ)bc分割成2個與它自己相似的小直角三角形嗎？若能，請在圖甲中畫出分割線，并說明理由。（2）一般地，“任意三角形都是自相似圖形”，只要順次連結(jié)三角形各邊中點(diǎn)，就可將原三角形分割為四個都與它自己相似的小三角形。我們把def（圖4）第一次順次連結(jié)各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割，稱為1階分割（如圖4-1）；把1階分割得出的4個三角形再分別順次連結(jié)它的各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割，稱為2階分割（如圖4-2）依此規(guī)則操作下去。n階分割后得到的每一個小三角形都是全等三角形（n為正整數(shù)），設(shè)此時小三角形的面積為。若def的面積為100

3、00，當(dāng)n為何值時，？（請用計算器進(jìn)行探索，要求至少寫出三次的嘗試估算過程）當(dāng)n1時，請寫出一個反映之間關(guān)系的等式（不必證明）。解：（1）如圖5，過點(diǎn)c作cdab，垂足為d，cd即是滿足要求的分割線。圖5理由：bb，cdbacb90°bcdacb（2）def經(jīng)n階分割所得的小三角形的個數(shù)為。當(dāng)時，當(dāng)n6時，當(dāng)n7時，當(dāng)n6時，.評析：這道題的求解過程反映了標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)活動方式，如觀察、實(shí)驗(yàn)、推理、猜想，而不僅僅是記憶，模仿，從而明白：研究問題要由表及里，由此及彼，學(xué)以致用。三、網(wǎng)格證明題圖6例3如圖6，在4×4的正方形方格中，abc和def的頂點(diǎn)都在邊長為1的小正方形的

4、頂點(diǎn)上。（1）填空：abc_°，bc_；（2）判斷abc與def是否相似，并證明你的結(jié)論。解：（1）abc135°，（2）能判斷abc與def相似（或abcdef），這是因?yàn)閍bcdef135°，abcdef.評析：本題寓填空、識圖、說理于一體，利用網(wǎng)格解決相似問題，使學(xué)生基礎(chǔ)知識得以應(yīng)用，思維能力得以提高。四、情景應(yīng)用題例4如圖7所示，某市經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)建有b、c、d三個食品加工廠，這三個工廠和開發(fā)區(qū)a處的自來水廠正好在一個矩形的四個頂點(diǎn)上，它們之間有公路相通，且abcd900米，adbc1700米。自來水公司已經(jīng)修好一條自來水主管道an，b、c兩廠之間的公路與自來

5、水管道交于e處，ec500米。若自來水主管道到各工廠的自來水管道由各廠負(fù)擔(dān)，每米造價800元。圖7（1）要使修建自來水管道的造價最低，這三個工廠的自來水管道路線應(yīng)怎樣設(shè)計？并在圖形中畫出；（2）求出各廠所修建的自來水管道的最低的造價各是多少元？解：（1）過b、c、d分別作an的垂線段bh、cf、dg，交an于h、f、g，bh、cf、dg即為所求的造價最低的管道線路。如圖8所示。（2）（米）（米）圖8abecfe，得，（米），bhecfe，得，（米）.abedga，（米）所以，b、c、d三廠所建自來水管道的最低造價分別是（元），（元），（元）。評析：將相似與應(yīng)用有機(jī)結(jié)合，是本題的一個特色，本題雖

6、沒有復(fù)雜的運(yùn)算及偏怪之弊，但涉及的知識面寬，知識點(diǎn)多，它不僅綜合考查學(xué)生能力，而且通過本題使學(xué)生明白，社會實(shí)踐離不開數(shù)學(xué)。五、運(yùn)動變化題例5如圖9，在一個長40m、寬30m的長方形小操場上，王剛從a點(diǎn)出發(fā)，沿著abc的路線以3m/s的速度跑向c地。當(dāng)他出發(fā)4s后，張華有東西需要交給他，就從a地出發(fā)沿王剛走的路線追趕，當(dāng)張華跑到距b地的d處時，他和王剛在陽光下的影子恰好重疊在同一條直線上，此時，a處一根電線桿在陽光下的影子也恰好落在對角線ac上。（1）求他們的影子重疊時，兩人相距多少米（de的長）？圖9（2）求張華追趕王剛的速度是多少（精確到0.1m/s）？解：（1）由陽光與影子的性質(zhì)可知dea

7、cbdebac，bedbcabdebac（2），王剛到e點(diǎn)的時間為，張華追趕王剛的速度是。評析：解決運(yùn)動變化的問題，應(yīng)認(rèn)真地分析運(yùn)動的全過程，把握運(yùn)動變化過程中的各種情況，特別是關(guān)鍵的點(diǎn)，特殊的位置。六、作圖說理題圖10例6小胖和小瘦去公園玩標(biāo)準(zhǔn)的蹺蹺板游戲，兩同學(xué)越玩越開心，小胖對小瘦說：“真可惜！我只能將你最高翹到1米高，如果我倆各邊的蹺蹺板都再伸長相同的一段長度，那么我就能翹到1米25，甚至更高！”（1）你認(rèn)為小胖的話對嗎？請你作圖分析說明：（2）你能否找出將小瘦翹到1米25高的方法？試說明。解：（1）小胖的話不對。小胖說“真可惜！我現(xiàn)在只能將你最高翹到1米高”，情形如圖10-1所示，o

8、p是標(biāo)準(zhǔn)蹺蹺板支架的高度，ac是蹺蹺板一端能翹到的最高高度1米，bc是地面。 圖10-1opbc，acbc，obpabcobpabc又此蹺蹺板是標(biāo)準(zhǔn)蹺蹺板，booa，而ac1米，得op0.5米若將兩端同時都再伸長相同的長度，假設(shè)為a米（a0）圖10-2如圖10-2所示，bda米，aea米，即dooe同理可得dopdef，由op0.5米，得ef1米綜上所述，蹺蹺板兩邊同時都再伸長相同的一段長度，蹺蹺板能翹到的最高高度始終為支架op高度的兩倍，所以不可能翹得更高。（2）方案一 保持bo長度不變，將oa延長一半至e，即只將小瘦一邊伸長一半。使，則。由bopbef，得ef1.25米。方案二 如圖10-

9、3所示，只將支架升高0.125米圖10-3又米米評析：本題為探究結(jié)論型開放題。第（1）題中，只要看構(gòu)成的三角形的相似比是否變化。第（2）題中，只要改變構(gòu)成的三角形的相似比。它雖未在難度上著墨，卻令人頗感新意，體現(xiàn)出對靈活思維的要求，值得重視。都是“相似”惹的禍如果已知，那么其對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)邊、對應(yīng)角都是唯一確定的；但如果僅給出“相似”，那么它們的對應(yīng)關(guān)系卻不確定. 因此“”與“相似”有著不同的意義.舉例說明如下.例1 在abc中，de分別是ab、ac邊上的點(diǎn)，連結(jié)de，使得ade與原三角形相似，則=_度.圖1錯解：如圖1，由于adeabc，所以，故.剖析：雖有ade與abc相似，但的對應(yīng)角不確定，故需分兩種情況討論.（1）如圖1，當(dāng)對應(yīng)時，；圖2（2）如圖2，當(dāng)對應(yīng)時，.正解：應(yīng)填或.例2點(diǎn)p是中ab邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)p作直線（不與直線ab重合）截，使截得的三角形與相似，滿足這樣條件的直線最多有_條.錯解：如圖3，若pqbc，則