華東理工大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件第五章

第5章統(tǒng)計(jì)量及其分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基本概念

統(tǒng)計(jì)量及其分布

經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的任務(wù)

觀察現(xiàn)象,收集資料,創(chuàng)建方法,分析推斷。

統(tǒng)計(jì)推斷

伴隨著一定概率的推測(cè)。其特點(diǎn)是:由“部分”推斷“整體”。

總體研究對(duì)象的全體(整體)X。個(gè)體每一個(gè)研究對(duì)象。有限總體無限總體1.基本概念

樣本

由部分個(gè)體構(gòu)成的集合。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基本概念(X1,X2,…,Xn

樣本容量

樣本中所含個(gè)體的數(shù)目n.）注樣本觀測(cè)值(x1,x2,…,xn）。簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：獨(dú)立、同分布性。

注意:樣本是一組獨(dú)立同總體分布的隨機(jī)變量.例如檢驗(yàn)一批燈泡的質(zhì)量,從中選擇100只,則總體這批燈泡(有限總體)個(gè)體這批燈泡中的每一只樣本抽取的100只燈泡(簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本)樣本容量100樣本值x1,x2,…,x100顯然,可以選擇“樣本的函數(shù)”:作為燈泡質(zhì)量的一個(gè)衡量指標(biāo).總體選擇個(gè)體樣本觀測(cè)樣本樣本觀察值(數(shù)據(jù))數(shù)據(jù)處理樣本有關(guān)結(jié)論推斷總體性質(zhì)

統(tǒng)計(jì)量這樣的“不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù)”稱為統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量的分布成為抽樣分布.統(tǒng)計(jì)的一般步驟(2)樣本均值(4)樣本方差(5)樣本標(biāo)準(zhǔn)差(3)樣本k階中心矩(1)樣本k階原點(diǎn)矩注常用統(tǒng)計(jì)量

設(shè)總體X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn為取自該總體X的樣本.(1)四大分布及其分位數(shù)①標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布及其下側(cè)分位數(shù)若P(Z<z1-α)=1-α,則稱z1-α為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的下側(cè)1-α分位數(shù).Z1-α

αXφ(x)其中定義設(shè)X~N(μ,σ2),則~N(0,1),對(duì)任意0<α<1,正態(tài)總體下的常用統(tǒng)計(jì)量及其分布即:n個(gè)相互獨(dú)立同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的平方和X的分布為自由度為n的分布.性質(zhì)

X1,X2,…Xn獨(dú)立,Xi~N(0,1),(i=1,2,…,n),則定義分布具有可加性,即

X,Y獨(dú)立,X~(m),Y~(n),則②分布的下側(cè)分位數(shù)分布的下側(cè)分位數(shù)Xf(x)(1)若P(X<λ)=1-α,則(1)若P(X<λ)=α,則例:設(shè)X~(10),P(X>λ1)=0.025,P(X<λ2)=0.05,求λ1,λ2.解

定義設(shè),對(duì)于給定的α(0<α<1),若P(X>)=α,則稱為自由度為n的分布的下側(cè)1-α分位數(shù).

例設(shè)是取自總體N(0,4)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本

時(shí),

解由題意得

設(shè)隨機(jī)變量,隨機(jī)變量Y,且它們互相獨(dú)立,則稱隨機(jī)變量的分布為自由度是n的t分布,記作定義t分布的密度曲線:Xf(x)

特點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱;隨著自由度的逐漸增大,密度曲線逐漸接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度曲線.③

t分布及其下側(cè)分位數(shù)t分布的下側(cè)分位數(shù)例:設(shè)t1-α(n)為t(n)的下側(cè)1-α分位數(shù)則P(T<t1-α(n))=

,P(T<-t1-α(n))=

,P(|T|>t1-α(n))=

.Xf(x)α1-α2αα設(shè)X~t(n),對(duì)于給定α(0<α<1),若P(t(n)<)=1-α,則稱為t(n)分布的下側(cè)1-α分位數(shù).服從()分布,參數(shù)為().

例:設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布,而和分別是來自總體X和Y的s.r.s,則統(tǒng)計(jì)量

t9解故與獨(dú)立,所以(4)設(shè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量且它們相互獨(dú)立,則稱隨機(jī)變量的分布為自由度是的F分布。(1)若P(F<λ)=1-α,則(2)若P(F>λ)=1-α,則P(1/F<1/λ)=1-αF分布的分位數(shù)Xf(x)例9: