跟波利亞學(xué)解題

跟波利亞學(xué)解題一些故事波利亞在他著名的《HowToSolveIt〉中講了這么一個(gè)有趣的心理學(xué)實(shí)驗(yàn)：用一個(gè)缺了一條邊的正方形圍欄圍住一只動(dòng)物（狗、黑猩猩、母雞、人類(lèi)嬰兒），在圍欄的另一側(cè)放上一個(gè)被試很想要的物體（對(duì)動(dòng)物來(lái)說(shuō)是食物，對(duì)人類(lèi)嬰兒來(lái)說(shuō)是有趣的玩具），然后觀察他們各自的行為。發(fā)現(xiàn)，狗在扒著圍欄吠了幾聲發(fā)現(xiàn)無(wú)法通過(guò)的時(shí)候，不久便學(xué)會(huì)了從圍欄的缺口的那一邊繞出去，母雞則朝著圍欄一個(gè)勁的撲騰，不會(huì)想到繞彎子。此外，人類(lèi)嬰兒很快就學(xué)會(huì)了繞過(guò)障礙；而黑猩猩也學(xué)得很快（黑猩猩是和人類(lèi)最近的靈長(zhǎng)類(lèi)親屬）。這個(gè)實(shí)驗(yàn)有力的證明了，動(dòng)物解決問(wèn)題的能力是進(jìn)化而來(lái)的、天生的、硬編碼在大腦的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)里面的。事實(shí)上，不僅解決問(wèn)題方面是如此，人類(lèi)整個(gè)認(rèn)知系統(tǒng)中絕大部分功能從本質(zhì)上都是硬編碼的，能在后天習(xí)得的只是“程度”的不同，而不是“本質(zhì)”的不同?！秳?dòng)機(jī)心理學(xué)〉中有一個(gè)令人印象深刻的一個(gè)例子：先給小鼠喝某種甜味水（稱(chēng)為“可口水”），然后用X射線(xiàn)促使其產(chǎn)生反胃感，能使小鼠形成對(duì)這種味道的水的厭惡和回避（經(jīng)典條件反射）。但如果不是在水里面加味道，而是在它喝水的時(shí)候伴隨強(qiáng)光刺激（即讓它喝“光噪水”），然后同樣刺激其反胃，卻無(wú)法使它養(yǎng)成對(duì)“光噪水”的厭惡。另一方面，如果不是促使其反胃（身體不適），而是用電擊懲罰，則它無(wú)法形成對(duì)“可口水”的厭惡，而是形成對(duì)“光噪水“的厭惡。顯然，小鼠對(duì)事件之間的關(guān)聯(lián)的歸因也具有著某種硬編碼好了的傾向。在這個(gè)例子中，老鼠的大腦里面硬編碼了“將身體不適（內(nèi)部事件）歸因于食物而不是閃光”、”將電擊（外部事件）歸因于閃光而非食物”這種邏輯。而人類(lèi)也有類(lèi)似的歸因傾向。金出武雄在《像外行一樣思考，像專(zhuān)家一樣實(shí)踐〉中也提到，他認(rèn)為人類(lèi)的直覺(jué)實(shí)際上也是計(jì)算，捷徑式的計(jì)算，只不過(guò)由于我們目前還不了解人類(lèi)大腦內(nèi)神經(jīng)元的全部結(jié)構(gòu)（或者說(shuō)“感性”的物質(zhì)基礎(chǔ)）這才把“感性”當(dāng)成人類(lèi)所特有的；金出武雄的這種觀點(diǎn)跟心理學(xué)中的認(rèn)知捷徑不謀而合。實(shí)際上，越是高等的動(dòng)物，大腦中用于處理特定問(wèn)題的硬編碼神經(jīng)元回路就越是多和復(fù)雜。例如，達(dá)爾文早在《人類(lèi)和動(dòng)物的情緒表達(dá)》中就先知先覺(jué)的提出了動(dòng)物情緒的適應(yīng)價(jià)值；《MeanGenes》列出了用于解決生存繁衍問(wèn)題的特定認(rèn)知傾向；《決策與判斷》里面則列出了人類(lèi)在解決更具一般性的決策問(wèn)題中的一些系統(tǒng)性的、可預(yù)測(cè)的認(rèn)知偏差；而《PredictablyIrrationa1》更是把這個(gè)認(rèn)識(shí)提高到方法論的層面，主張人類(lèi)的非理性實(shí)際上是完全可預(yù)知的。事實(shí)上，所有這些觀點(diǎn)都建立在一個(gè)基本事實(shí)的基礎(chǔ)上，即人類(lèi)大腦中的千億神經(jīng)元是由在漫長(zhǎng)的進(jìn)化過(guò)程中被塑造出來(lái)的分工明確的、adhoc的一組子系統(tǒng)構(gòu)成的。越是高等的動(dòng)物，解題能力越高，猩猩能夠進(jìn)行某種頓悟，在腦子里就構(gòu)想出通過(guò)堆放墻角的箱子來(lái)幫助獲取高高吊著的香蕉；而出于進(jìn)化之樹(shù)頂端的人類(lèi)則具有非比尋常的大腦，在人類(lèi)整個(gè)進(jìn)化的過(guò)程中，解決問(wèn)題的能力一直在進(jìn)化，所以說(shuō)人腦中的神經(jīng)元最重要的部分是為了解題而存在的也不為過(guò)。不同的人只是在解題能力程度上不同，并沒(méi)有本質(zhì)上能與不能的差異。波利亞在《HowToSolveIt》中另外還舉了下面這個(gè)例子：一個(gè)原始人站在一條小溪前，他想要越過(guò)這條小溪，但溪水經(jīng)過(guò)昨天一夜，已經(jīng)漲了上來(lái)；因此他面臨一個(gè)問(wèn)題：如何越過(guò)這條小溪。他聯(lián)想起以前曾經(jīng)從一棵倒下并橫在河上的樹(shù)木上走過(guò)去，于是他的問(wèn)題變成了如何找到這樣一顆倒下并橫在溪流上的樹(shù)木。他環(huán)顧四周，發(fā)現(xiàn)溪流上沒(méi)有這樣的橫著的樹(shù)木，但他發(fā)現(xiàn)周?chē)故怯胁簧偕L(zhǎng)著的樹(shù)木；于是問(wèn)題再次變成了：如何使這些樹(shù)木躺到溪流上。在這個(gè)想像的故事中我們看到了一個(gè)問(wèn)題是如何被一步步歸約的：首先，原始人通過(guò)對(duì)一個(gè)已知的類(lèi)似問(wèn)題的聯(lián)想認(rèn)識(shí)到一個(gè)重要的性質(zhì)：如果有一棵樹(shù)橫在河上，我就可以借助這棵樹(shù)過(guò)河。這就將一個(gè)無(wú)法直接解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了一個(gè)新的、已知的、并容易解決的問(wèn)題。值得注意的是這里“聯(lián)想”是極其重要的一個(gè)環(huán)節(jié)，聯(lián)想可以將手上的問(wèn)題與已知的類(lèi)似問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，并從后者中吸取能夠利用的方法。聯(lián)想也能夠?qū)⑴c問(wèn)題有關(guān)的定理或性質(zhì)從大腦的知識(shí)系統(tǒng)中提取出來(lái)?；旧?，如果一個(gè)聯(lián)想能夠得到某個(gè)性質(zhì)，而這個(gè)性質(zhì)能夠或者將問(wèn)題往上歸約一層，或者將條件往下推導(dǎo)一層，這個(gè)聯(lián)想就是有用的。事實(shí)上，如果你仔細(xì)注意以下解題的過(guò)程，你也許會(huì)發(fā)現(xiàn)，所有的啟發(fā)式思維方法heuristics）實(shí)質(zhì)上都是為了聯(lián)想服務(wù)的，而聯(lián)想則是為了從我們大腦的知識(shí)系統(tǒng)中提取出有價(jià)值的性質(zhì)或定理，從而補(bǔ)上從條件到結(jié)論、從已知到未知之間缺失的鏈環(huán)。一段歷史實(shí)際上，人類(lèi)自從進(jìn)入理性文明以來(lái)，不僅在不斷的解題，還在不斷的對(duì)自身的解題方法進(jìn)行反省和總結(jié)。在這條路上，有一個(gè)真正光榮與輝煌的夢(mèng)想，那就是發(fā)現(xiàn)人類(lèi)解題的所有一般性法則，并借此建造出一臺(tái)能夠解決人類(lèi)能夠解決的所有問(wèn)題的一般解題機(jī)。與物理中的建造永動(dòng)機(jī)不一樣，這個(gè)夢(mèng)想并非遙不可及的，自從古希臘哲學(xué)家對(duì)人類(lèi)心智的反省思考以來(lái)，許多著名的數(shù)學(xué)和哲學(xué)家為此建造了階梯，Pappus,亞歷山大學(xué)派最后一位偉大的幾何學(xué)家，就曾在他恢弘的八卷本《數(shù)學(xué)匯編》中描述了其中的一種法則，他將它稱(chēng)為“分析與綜合”，大意如下：首先我們把需要求解的問(wèn)題本身當(dāng)成條件，從它推導(dǎo)出結(jié)論，再?gòu)倪@個(gè)結(jié)論推導(dǎo)出更多的結(jié)論，直到某一個(gè)點(diǎn)上我們發(fā)現(xiàn)已經(jīng)出現(xiàn)了真正已知的條件。這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為分析。有了這條路徑，我們便可以從已知條件出發(fā)，一路推導(dǎo)到問(wèn)題的解。波利亞在他的三卷本中把這種做法叫做WorkingBackwards（倒過(guò)來(lái)解）。笛卡爾也曾經(jīng)試圖將人類(lèi)思維的規(guī)則總結(jié)為36條（最終完成了21條）。萊布尼茲，現(xiàn)代計(jì)算機(jī)實(shí)質(zhì)上的發(fā)明者，也說(shuō)到：在我看來(lái)，沒(méi)有什么能比探索發(fā)明的源頭還要重要，它遠(yuǎn)比發(fā)明本身更重要。再后來(lái)，捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾也試圖總結(jié)人類(lèi)思維的本質(zhì)規(guī)律，他在他的著作《科學(xué)的理論》中寫(xiě)道：我根本不奢望自己能夠提供任何超于其他天才所使用過(guò)的科學(xué)探索方法之外的新方法，從這個(gè)意義上，你別指望能在書(shū)中看到什么新的東西。但是，我會(huì)盡我的全力去總結(jié)所有偉大的思想者們共有的、思維的原則和方法，我認(rèn)為即便是他們自己在思考的時(shí)候也未必全都意識(shí)到自己在使用什么方法。再后來(lái)，就到了近代，隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，心理學(xué)最活躍的子學(xué)科——認(rèn)知科學(xué)——開(kāi)始輝煌起來(lái)，人類(lèi)開(kāi)始向思維乃至自我意識(shí)的物質(zhì)基礎(chǔ)發(fā)起進(jìn)攻。兩位多才多藝的計(jì)算機(jī)科學(xué)家兼認(rèn)知科學(xué)家，HerbertSimon（另外還是經(jīng)濟(jì)學(xué)家）和AllenNewell寫(xiě)出了世界上第一個(gè)一般性解題機(jī)的程序（GPS），雖然GPS只能解決很狹窄的一類(lèi)問(wèn)題，但這是第一個(gè)將“問(wèn)題解決策略”和“知識(shí)”分離開(kāi)來(lái)的程序。顯然，在知識(shí)之外，人類(lèi)的思維是有著一些一般性的指導(dǎo)規(guī)則的。事實(shí)上，波利亞在《數(shù)學(xué)與猜想》中寫(xiě)道，歐拉是最重?cái)?shù)學(xué)思維的教學(xué)的，歐拉認(rèn)為如果不能把解決數(shù)學(xué)問(wèn)題背后的思維過(guò)程教給學(xué)生的話(huà)，數(shù)學(xué)教學(xué)就是沒(méi)有意義的。一些方法這些一般性的思維方法，就是波利亞用了整整三本書(shū)，五卷本（《HowToSolveIt》、《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》、《數(shù)學(xué)與猜想》）來(lái)試圖闡明的。波利亞的書(shū)是獨(dú)特的，從小到大，我們看過(guò)的數(shù)學(xué)書(shū)幾乎無(wú)一不是歐幾里德式的：從定義到定理，再到推論。是屬于“順流而下”式的。這樣的書(shū)完全而徹底的扭曲了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的真實(shí)過(guò)程。舉個(gè)例子，《證明與反駁：數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的邏輯》在附錄一中講了一個(gè)非常有趣的例子：柯西當(dāng)年試圖將函數(shù)的連續(xù)性從單個(gè)函數(shù)推廣到無(wú)窮級(jí)數(shù)上面去，即證明由無(wú)窮多個(gè)連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的收斂級(jí)數(shù)本身也是一個(gè)連續(xù)的函數(shù)，柯西給出了一個(gè)巧妙的證明，似乎漂亮地解決了這個(gè)問(wèn)題。然而傅立葉卻給出了一個(gè)噩夢(mèng)般的三角函數(shù)的收斂級(jí)數(shù)，它的和卻并不是連續(xù)的。這令柯西大為頭疼，以至于延遲了他的數(shù)學(xué)分析教程的出版好些年。后來(lái)，賽德?tīng)柦鉀Q了這個(gè)問(wèn)題：原來(lái)柯西在他看似無(wú)懈可擊的證明中非常隱蔽（他自己也不知覺(jué)的情況下）引入了一個(gè)潛在的假設(shè)，這個(gè)假設(shè)就是后來(lái)被稱(chēng)為的“一致收斂”條件。當(dāng)時(shí)我看到這里就去翻我們的數(shù)學(xué)分析書(shū)，發(fā)現(xiàn)“一致收斂”這個(gè)概念第一次出現(xiàn)的時(shí)候是這樣寫(xiě)的：定義：一致收斂?所以說(shuō)，從這個(gè)意義上，《數(shù)學(xué)，確定性的喪失》從歷史的角度再現(xiàn)了真實(shí)的數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程，是一本極其難得的好書(shū)。而事實(shí)上，從真實(shí)的數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的角度去講授數(shù)學(xué)，也是數(shù)學(xué)教學(xué)法的最佳方法。不過(guò)，《數(shù)學(xué)，確定性的喪失》的弱點(diǎn)是并沒(méi)有從思維的角度去再現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思維過(guò)程，而這正是波利亞所做的?？偨Y(jié)波利亞在書(shū)中提到的思維方法，尤其是《HowToSolveIt》中的啟發(fā)式思考方法，有這樣一些：?時(shí)刻不忘未知量（即時(shí)刻別忘記你到底想要求什么，問(wèn)題是什么。）萊布尼茲曾經(jīng)將人的解題思考過(guò)程比喻成晃篩子，把腦袋里面的東西都給抖落出來(lái)，然后正在搜索的注意力會(huì)抓住一切細(xì)微的、與問(wèn)題有關(guān)的東西。事實(shí)上，要做到能夠令注意力抓住這些有關(guān)的東西，就必須時(shí)刻將問(wèn)題放在注意力層面，否則即使關(guān)鍵的東西抖落出來(lái)了也可能沒(méi)注意到。?用特例啟發(fā)思考。一個(gè)泛化的問(wèn)題往往給人一種無(wú)法把握、無(wú)從下手、或無(wú)法抓住里面任何東西的感覺(jué)，因?yàn)闂l件太泛，所以看起來(lái)哪個(gè)條件都沒(méi)法入手。一個(gè)泛化的問(wèn)題往往有一種“不確定性”（譬如元素的個(gè)數(shù)不確定，某個(gè)變量不確定等等），這種不確定性會(huì)成為思維的障礙，通過(guò)考慮一個(gè)合適的特例，我們不僅使得問(wèn)題的條件確定下來(lái)從而便于通過(guò)試錯(cuò)這樣的手法去助探問(wèn)題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，同時(shí)很有可能我們的特例中實(shí)質(zhì)上隱藏了一般性問(wèn)題的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，于是我們便能夠通過(guò)對(duì)特例的考察尋找一般問(wèn)題的解。?反過(guò)來(lái)推導(dǎo)。反過(guò)來(lái)推導(dǎo)是一種極其重要的啟發(fā)法，正如前面提到的，Pappus在他的宏篇巨著中將這種手法總結(jié)為解題的最重要手法。實(shí)際上，反向解題隱含了解題中至為深刻的思想：歸約。歸約是一種極為重要的手法，一個(gè)著名的關(guān)于歸約的笑話(huà)這樣說(shuō)：有一位數(shù)學(xué)家失業(yè)了，去當(dāng)消防員。經(jīng)過(guò)了一些培訓(xùn)之后，正式上任之前，訓(xùn)練的人考他：如果房子失火了怎么辦？數(shù)學(xué)家答出了所有的正確步驟。訓(xùn)練人又問(wèn)他：如果房子沒(méi)失火呢？數(shù)學(xué)家答：那我就把房子點(diǎn)燃，這樣我就把它歸約為了一個(gè)已知問(wèn)題。人類(lèi)思維本質(zhì)上善于“順著”推導(dǎo)，從一組條件出發(fā)，運(yùn)用必然的邏輯關(guān)系，得出推論。然而，如果要求的未知量與已知量看上去相隔甚遠(yuǎn)，這個(gè)時(shí)候順著推實(shí)際上就是運(yùn)用另一個(gè)啟發(fā)式方法——試錯(cuò)——了。雖然試錯(cuò)是最常用，又是也是最有效的啟發(fā)法，然而試錯(cuò)卻并不是最高效的。對(duì)于許多題目而言，其要求的結(jié)論本身就隱藏了推論，不管這個(gè)推論是充分的還是必要的，都很可能對(duì)解題有幫助。如果從結(jié)論能夠推導(dǎo)出一個(gè)充要推論，那么實(shí)際上我們就將問(wèn)題進(jìn)行了一次“雙向”歸約，如果原問(wèn)題不容易解決，那么歸約后的問(wèn)題也許就容易解決了，通過(guò)一層層的歸約，讓邏輯的枝蔓從結(jié)論上一節(jié)節(jié)的生長(zhǎng)，我們往往會(huì)發(fā)現(xiàn)，離已知量越來(lái)越近。此外，即便是從結(jié)論推導(dǎo)出的必要非充分推論（“單向”歸約），對(duì)問(wèn)題也是有幫助的——任何不滿(mǎn)足這個(gè)推論的方案都不是問(wèn)題的解：譬如通過(guò)駐點(diǎn)來(lái)求函數(shù)的最值，我們通過(guò)考察函數(shù)的最值（除了函數(shù)邊界點(diǎn)外），發(fā)現(xiàn)它必然有一個(gè)性質(zhì)，即在這個(gè)點(diǎn)上函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為0，雖然一階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)未必是最值點(diǎn)，但我們可以肯定的是，任何一階導(dǎo)數(shù)不為0的點(diǎn)都可以排除，這就將解空間縮小到了有窮多個(gè)點(diǎn)，剩下的只要做做簡(jiǎn)單的排除法，答案就出現(xiàn)了。再譬如線(xiàn)性規(guī)劃中經(jīng)典的單純形算法（又見(jiàn)《Algorithms》），也是通過(guò)對(duì)結(jié)論的考察揭示出只需遍歷有限個(gè)頂點(diǎn)便必然可以到達(dá)最值的。此外很多我們熟知的經(jīng)典題目也都是這種思路的典范，譬如《HowToSolveIt》上面舉的例子：通過(guò)一個(gè)9升水的桶和一個(gè)4升水的桶在河里取6升水。這個(gè)題目通過(guò)正向試錯(cuò)，很快也能發(fā)現(xiàn)答案，然而通過(guò)反向歸約，則能夠不偏不倚的命中答案。另一些我們耳熟能詳?shù)念}目也是如此，譬如：100根火柴，兩個(gè)人輪流取，每個(gè)人每次只能取1~7根，誰(shuí)拿到最后一根火柴誰(shuí)贏；問(wèn)有必勝策略嗎，有的話(huà)是先手還是后手必勝？這個(gè)問(wèn)題通過(guò)試錯(cuò)就不是那么容易發(fā)現(xiàn)答案了。同樣，這個(gè)問(wèn)題的推廣被收錄在《編程之美》里面：兩堆橘子，各為m和n個(gè)，兩人輪流拿，拿的時(shí)候你只能選擇某一堆在里面拿（即不能跨堆拿），你可以拿1~這堆里面所有剩下的個(gè)橘子，誰(shuí)拿到最后一個(gè)橘子誰(shuí)贏；問(wèn)題同上。算法上面很多聰明的算法也都是通過(guò)考察所求結(jié)論隱藏的性質(zhì)來(lái)減小復(fù)雜度的，譬如剛才提到的單純形問(wèn)題，譬如經(jīng)典面試題“名人問(wèn)題”、“和最小（大）的連續(xù)子序列”等等。倒推法之所以是一種極為深刻的思維方法，本質(zhì)上是因?yàn)樗浞掷昧祟}目中一個(gè)最不易被覺(jué)察到的信息——結(jié)論。結(jié)論往往蘊(yùn)含著豐富的條件，譬如對(duì)什么樣的解才是滿(mǎn)足題意的解的約束。一般來(lái)說(shuō)，借助結(jié)論中蘊(yùn)含的知識(shí)，我們便可以更為“智能地”搜索解空間。舉一個(gè)直白的例子，有人要你在地球上尋找一棟滿(mǎn)足如下條件的建筑：__層高（填空自己填），__風(fēng)格，__年代始建，?（省略若干約束條件）。對(duì)于這樣一個(gè)問(wèn)題，最平凡的解法是窮舉地球上每一棟建筑，直到遇到一個(gè)滿(mǎn)足條件的為止。而更“智能”的（或者說(shuō)更“啟發(fā)”的）方法則是充分利用題目里面的約束信息，譬如假若條件里面說(shuō)要60層樓房，你就不會(huì)去非洲找，如果要拜占庭風(fēng)格的，你估計(jì)也不會(huì)到中國(guó)來(lái)找，如果要始建于很早的年代的，你也不會(huì)去非常新建的城市里面去找，等等。倒推法是如此的重要，以至于笛卡爾當(dāng)時(shí)認(rèn)為可以把一切問(wèn)題歸結(jié)為求解代數(shù)方程組，笛卡爾的萬(wàn)能解題法就是首先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，然后設(shè)出未知數(shù)，列出方程，最后解這組（個(gè)）方程。其中設(shè)未知數(shù)本質(zhì)上就是一種倒推：通過(guò)設(shè)出一個(gè)假想的結(jié)論X,來(lái)將題目對(duì)x的需求表達(dá)出來(lái)，然后順勢(shì)而下推導(dǎo)出x。仔細(xì)想想設(shè)未知數(shù)這種手法所蘊(yùn)含的深刻思想,也就難怪笛卡爾會(huì)認(rèn)為它是那個(gè)解決所有問(wèn)題的一般性鑰匙了。試錯(cuò)。試錯(cuò)估計(jì)是世界上被運(yùn)用最廣泛的啟發(fā)法,你拿到一個(gè)題目,里面有一些條件,你需要求解一個(gè)未知量。于是你對(duì)題目這里捅捅那里搗搗,你用上所有的已知量,或使用所有你想到的操作手法,嘗試著看看能不能得到有用的結(jié)論,能不能離答案近一步。事實(shí)上,如果一個(gè)問(wèn)題的狀態(tài)空間是有限的話(huà),往往可以通過(guò)窮舉所有可能性來(lái)找到那個(gè)關(guān)鍵的性質(zhì)。譬如這樣一個(gè)問(wèn)題：有一個(gè)囚犯,國(guó)王打算處決他,但仁慈的國(guó)王給了他一個(gè)生還的機(jī)會(huì)?，F(xiàn)在擺在他面前有兩個(gè)瓶子,一個(gè)里面裝了50個(gè)白球,一個(gè)裝了50個(gè)黑球,這個(gè)囚犯有一個(gè)機(jī)會(huì)可以隨便怎樣重新分配這些球到兩個(gè)瓶子中（當(dāng)然,要保證不空）,分配完了之后囚犯被蒙上眼睛，國(guó)王隨機(jī)取一個(gè)瓶子給他，他在里面摸出一個(gè)球（因?yàn)槊芍劬?，所以也是隨機(jī)抽取），如果白球，則活，否則掛掉。問(wèn)，這個(gè)囚犯如何分配，才能最大化生還幾率。結(jié)合特例和試錯(cuò)法，這個(gè)題目的答案是很容易發(fā)現(xiàn)的。這樣的題目還有很多。實(shí)際上，歷史上很多有名的發(fā)現(xiàn)也都是無(wú)意間發(fā)現(xiàn)的（可以看作是試錯(cuò)的一種）。?調(diào)整題目的條件（如，刪除、增加、改變條件）。有時(shí)候，通過(guò)調(diào)整題目的條件，我們往往迅速能夠發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間是如何聯(lián)系的。通過(guò)扭曲問(wèn)題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，我們能發(fā)現(xiàn)原本結(jié)構(gòu)里面重要的東西。譬如這樣一個(gè)題目（感謝alai同學(xué)提供）：A國(guó)由1000000個(gè)島組成，島與島之間只能用船作為交通工具，有些島之間有船來(lái)往，從任意一個(gè)島都可以去到另外任一個(gè)島，當(dāng)然其中可能要換船?，F(xiàn)在有一個(gè)警察要追捕一個(gè)逃犯，開(kāi)始時(shí)他們?cè)诓煌膷u上，警察和逃犯都是每天最多乘一次船，但這個(gè)逃犯還有點(diǎn)迷信，每個(gè)月的13日不乘船，警察則不迷信。警察每天乘船前都知道逃犯昨天在哪個(gè)島上，但不知道他今天會(huì)去哪個(gè)島。請(qǐng)證明，警察一定可以抓到逃犯（即到達(dá)同一個(gè)島）。通過(guò)拿掉題目中一個(gè)關(guān)鍵的條件，觀察區(qū)別，然后再放上那個(gè)條件，我們就能“感覺(jué)”到題目的內(nèi)在結(jié)構(gòu)上的某種約束，進(jìn)而得到答案。?求解一個(gè)類(lèi)似的題目。類(lèi)似的題目也許有類(lèi)似的結(jié)構(gòu)，類(lèi)似的性質(zhì)，類(lèi)似的解方案。通過(guò)考察或回憶一個(gè)類(lèi)似的題目是如何解決的，也許就能夠借用一些重要的點(diǎn)子。然而如何在大腦中提取出真正類(lèi)似的題目是一個(gè)問(wèn)題。所謂真正類(lèi)似的題目，是指那些抽象結(jié)構(gòu)一樣的題目。很多問(wèn)題表面看是類(lèi)似的，然而抽象結(jié)構(gòu)卻不是類(lèi)似的；另一些題目表面看根本不像，然而抽象層面卻是一致的。表面一致抽象不一致會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的、無(wú)效的類(lèi)比；而表面不一致（抽象一致）則會(huì)阻礙真正有用的類(lèi)比?！禤sychologyofProblemSolving》里面對(duì)此有詳細(xì)的介紹。后面也會(huì)提到，為了便于腦中的知識(shí)結(jié)構(gòu)真正能夠“遷移”，在記憶掌握和分析問(wèn)題的時(shí)候都應(yīng)該盡量抽象的去看待，這樣才能夠建立知識(shí)的本質(zhì)聯(lián)系，才能夠最大化聯(lián)想空間。?列出所有可能跟問(wèn)題有關(guān)的定理或性質(zhì)。這個(gè)不用說(shuō)，我們?cè)谧畛鯇W(xué)習(xí)解題的時(shí)候就是這么做的了。?考察反面，考察其他所有情況。很多時(shí)候，我們?cè)诮忸}時(shí)容易陷入一種特定的手法，比如為什么一定要是構(gòu)造式的來(lái)解這個(gè)題目呢？為什么不能是逼近式的？為什么一定要一步到位算出答案？為什么不能從一個(gè)錯(cuò)誤的答案調(diào)整到正確答案？為什么這個(gè)東西一定成立？不成立又如何？等等。經(jīng)典例子：100個(gè)人比賽，要決出冠軍至少需要賽多少場(chǎng)。?將問(wèn)題泛化，并求解這個(gè)泛化后的問(wèn)題。剛才不是說(shuō)過(guò)，應(yīng)該通過(guò)特例啟發(fā)思考嗎？為什么現(xiàn)在又反倒要泛化呢？實(shí)際上，有少數(shù)題目，泛化之后更容易解決。即，解決一類(lèi)問(wèn)題，比解決這類(lèi)問(wèn)題里面某個(gè)特定的問(wèn)題還要容易。波利亞稱(chēng)之為“發(fā)明者悖論”，關(guān)于“發(fā)明者悖論”，《數(shù)學(xué)與猜想》第一卷的開(kāi)頭有一個(gè)絕妙的例子，可惜這里空間太小，我就不摘抄了-_-|||以上是我認(rèn)為最重要的，也是最具一般性的、放之四海都可用的思維法則。一些更為“問(wèn)題特定”的，或更為現(xiàn)代的啟發(fā)法，可以參見(jiàn)《如何解題：現(xiàn)代啟發(fā)式方法》以及所有的算法書(shū)。不過(guò)，在結(jié)束這一節(jié)之前，還有兩個(gè)有趣的啟發(fā)法值得一提：?下意識(shí)孵化法。這個(gè)方法有點(diǎn)像老母雞孵小雞的過(guò)程：我們先把問(wèn)題的吃透，放在腦子里，然后等著我們的下意識(shí)把它解出來(lái)。不過(guò)，不宜將這個(gè)方法的條件拉伸過(guò)遠(yuǎn)，實(shí)際上，除非能夠一直保持一種思索的狀態(tài)（金出武雄所謂“思維體力”），或者問(wèn)題很簡(jiǎn)單，否則一轉(zhuǎn)頭去做別的事情之后，你的下意識(shí)很容易就把問(wèn)題丟開(kāi)了。據(jù)說(shuō)龐加萊有一次在街上，踏上一輛馬車(chē)的那一瞬間，想出了一個(gè)重要問(wèn)題的解。其他人也像仿效，結(jié)果沒(méi)一個(gè)人成功。實(shí)際上，非但馬車(chē)與問(wèn)題無(wú)關(guān)，更重要的是，龐加萊實(shí)際上在做任何事的時(shí)候除了投入有限的注意力之外，其他思維空間都讓給了那個(gè)問(wèn)題了。同樣，阿基米德從浴缸里面跳出來(lái)也是如此；如若不是經(jīng)過(guò)了極其痛苦和長(zhǎng)時(shí)間的思索，也不會(huì)如此興奮。如果你也曾經(jīng)花過(guò)幾天的時(shí)間思考一個(gè)問(wèn)題，肯定也是會(huì)有類(lèi)似的經(jīng)歷的。燙手山芋法。說(shuō)白了，就是把問(wèn)題扔給別人解決。事實(shí)上，在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)時(shí)代，這個(gè)方法有著無(wú)可比擬的優(yōu)越性。幾乎任何知識(shí)性的問(wèn)題，都可以迅速搜索或請(qǐng)教到答案。不過(guò)，如何在已知知識(shí)之外發(fā)掘出未知知識(shí)，如何解決未知問(wèn)題，那就還是要看個(gè)人的能力了。數(shù)學(xué)界流傳一個(gè)與此有關(guān)的笑話(huà)：如果你有一個(gè)未解決問(wèn)題，你有兩個(gè)辦法，一，自己解決它。二，讓陶哲軒對(duì)它感興趣。除了波利亞的書(shū)之外，陶哲軒的《SolvingMathematicalProblems》也對(duì)解題的啟發(fā)式思路作了極有意義的介紹，他在書(shū)的第一章遵循波利亞的思路從一個(gè)具體的題目出發(fā)，介紹了如何運(yùn)用波利亞在書(shū)中提到的各種啟發(fā)式方法來(lái)對(duì)解題進(jìn)行嘗試。總而言之，充分挖掘題目中蘊(yùn)含的知識(shí)，是解題的最關(guān)鍵步驟。本質(zhì)上，所有啟發(fā)式方法某種意義上都是為此服務(wù)的。這些知識(shí)，有些時(shí)候以聯(lián)想的方式被挖掘出來(lái)，此時(shí)啟發(fā)式方法充當(dāng)?shù)谋闶禽o助聯(lián)想的手段。有時(shí)候則以演繹和歸納的手法被挖掘出來(lái)，此時(shí)啟發(fā)式方法則充當(dāng)助探（輔助探索）工具。一點(diǎn)思考聯(lián)想的法則人類(lèi)的大腦是一個(gè)復(fù)雜而精妙的器官，然而某種程度上，人類(lèi)的大腦也是一個(gè)愚蠢的器官。如果你總結(jié)過(guò)你解過(guò)的一些有意義的好題目，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它們有一個(gè)共同點(diǎn)：沒(méi)有用到你不知道的知識(shí)，然而那個(gè)最關(guān)鍵的、攸關(guān)成敗的知識(shí)點(diǎn)你就是想不到。所以你不禁要問(wèn)，為什么明明這個(gè)知識(shí)在我腦子里（也就是說(shuō)，明明我是“能夠”解決這個(gè)問(wèn)題的），但我就是沒(méi)法想到它呢？“你是怎么想到的？”這是問(wèn)題解決者最常問(wèn)的一個(gè)問(wèn)題。甚至對(duì)于熟練的解題者來(lái)說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題的答案也并不總是很明確的，很可能他們自己也不清楚那個(gè)關(guān)鍵的想法是怎么“蹦”出來(lái)的。我們?cè)谒伎家粋€(gè)問(wèn)題的時(shí)候，自己能意識(shí)到的思維部分似乎是很少的，絕大多數(shù)時(shí)候我們能感知到的就是一個(gè)一個(gè)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)在意識(shí)層面顯現(xiàn)，我們的意識(shí)就像一條不連續(xù)的線(xiàn)，在其上的每一段之間那個(gè)空檔內(nèi)發(fā)生了什么我們一無(wú)所知，往往我們發(fā)現(xiàn)被卡在一個(gè)地方，我們苦思冥想，然后一個(gè)知識(shí)（也許是一個(gè)性質(zhì)，也許是一個(gè)定理）從腦子里冒了出來(lái)，或者說(shuō)，被我們意識(shí)到，然后我們沿著這條路走一段，然后又卡住，然后又等待一個(gè)新的關(guān)鍵知識(shí)的出現(xiàn)。而至于這些知識(shí)是怎么冒出來(lái)的？我們可以對(duì)它們的“冒出來(lái)”提供怎樣的幫助？我們可以在意識(shí)層面做一些工作，幫助我們的下意識(shí)聯(lián)想到更多重要的知識(shí)嗎？那些靈光一現(xiàn)的瞬間，難道只能等待它們的出現(xiàn)？難道我們不能通過(guò)一些系統(tǒng)化的步驟去“捕獲”或“生成”它們？又或者我們能不能至少做些什么工作以使得它們更容易發(fā)生呢？正如金出武雄在《像外行一樣思考，像專(zhuān)家一樣實(shí)踐》中所說(shuō)的，人類(lèi)的靈感一定是有規(guī)律的，認(rèn)知科學(xué)目前至少已經(jīng)確認(rèn)了人類(lèi)思維的整個(gè)物質(zhì)基礎(chǔ)——神經(jīng)元。而既然它們是物質(zhì)，自然要遵循物質(zhì)的運(yùn)行規(guī)律。只不過(guò)我們目前還沒(méi)有窺破它們，但至少我們可以確信的是，它們?cè)谀抢铩Ｊ聦?shí)上，不需要借助于認(rèn)知科學(xué)，單單是通過(guò)對(duì)我們自己思維過(guò)程的自我觀察，也許就已經(jīng)能夠總結(jié)出一些重要的規(guī)律了，也許，對(duì)自身思維過(guò)程的反觀真的是人有別于其它動(dòng)物的本質(zhì)區(qū)別。《專(zhuān)注力》當(dāng)中有這樣一個(gè)例子：一天夜里，你被外面的吵鬧聲叫醒了，你出去一看，發(fā)現(xiàn)有一群人，其中有一個(gè)人開(kāi)著很名貴的轎車(chē)，他跟你說(shuō)他們正在玩一個(gè)叫“拾荒者”的游戲，由于一些原因，他必須要贏這個(gè)游戲，現(xiàn)在他需要一塊1.5m*lm的木板，如果你能幫忙的話(huà)，愿以一萬(wàn)美元酬報(bào)。你怎么辦？被測(cè)試的大多數(shù)人都沒(méi)有想到，只要把門(mén)拆給他就可以了（如果你想到了，祝賀你:-）），也許你會(huì)說(shuō)現(xiàn)在的門(mén)都是鋼的，沒(méi)關(guān)系，那你有沒(méi)有想到床板、立柜的門(mén)、大桌子的桌面之類(lèi)的？這個(gè)問(wèn)題測(cè)試的就是心理學(xué)上所謂的“范疇陷阱”，“木板”這個(gè)名詞在你腦子里的概念中如果是指“那些沒(méi)有加工的，也許放在木材廠門(mén)口的，作為原材料的木板”的話(huà)，那么“木板”就會(huì)迅速在你的下意識(shí)里面建立起一個(gè)搜索范疇，你也會(huì)迅速的反應(yīng)到“這深更半夜叫我上哪去找木板呢？”如果你一下就想到了，那么很大的可能性是“木板”這個(gè)概念在你腦子里的范疇更大，更抽象，也許包含了所有“木質(zhì)的、板狀的東西”。這就是聯(lián)想的法則。我們的大腦無(wú)時(shí)無(wú)刻不在對(duì)事物進(jìn)行歸類(lèi)，實(shí)際上，不僅是事物，一切知識(shí)，都在被自動(dòng)的歸類(lèi)。在有關(guān)對(duì)世界的認(rèn)知方面，被稱(chēng)為認(rèn)知圖式，我們根據(jù)既有的知識(shí)結(jié)構(gòu)來(lái)理解這個(gè)世界，會(huì)帶來(lái)很大的優(yōu)勢(shì)。實(shí)際上，模塊化是一個(gè)重要的降低復(fù)雜性的手段。然而，知識(shí)是一把雙刃劍，一方面，它們提供給了我們解決問(wèn)題的無(wú)以倫比的捷徑優(yōu)勢(shì)，“磚頭是砌墻的”，于是我們遇到砌墻這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候就可以迅速利用磚頭。然而另一方面，知識(shí)卻也是思維的桎梏。思維定勢(shì)就是指下意識(shí)遵循既有知識(shí)框架思考的過(guò)程。上面的那個(gè)木板的例子也是思維定勢(shì)的例子。每一個(gè)知識(shí)都是一個(gè)優(yōu)勢(shì)，同時(shí)又是一個(gè)束縛。著名的科幻作家阿瑟?克拉克有一句名言：如果一位德高望重的老科學(xué)家說(shuō)某個(gè)事情是不可能的，那么他很可能是錯(cuò)的。所以，如何在獲取知識(shí)優(yōu)勢(shì)的同時(shí)，防止被知識(shí)束縛住，是一門(mén)技術(shù)。掌握這門(mén)技術(shù)的鑰匙，就是抽象。在吸收知識(shí)的時(shí)候進(jìn)行抽象，同時(shí)在面對(duì)需要用到知識(shí)的新問(wèn)題時(shí)也要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行抽象。就以大家都知道的“磚頭”有多少種用途為例，據(jù)說(shuō)這道題目是用于測(cè)試人的發(fā)散思維的，能聯(lián)想到的用途越多，思維定勢(shì)就越小。實(shí)際上，借助于抽象這個(gè)利器，這類(lèi)題目（乃至更廣的一類(lèi)問(wèn)題）是可以系統(tǒng)性的進(jìn)行求解的，我們只需對(duì)磚頭從各個(gè)屬性維度進(jìn)行抽象。譬如，磚頭是——長(zhǎng)方形的（長(zhǎng)方形的東西有什么用途？還有哪些東西也是長(zhǎng)方形的，它們都有什么用途？）、有棱角的（問(wèn)題同上）、堅(jiān)硬的、固體、有一定大小的體積的、紅色的、邊界線(xiàn)條平直的、有一定重量的?對(duì)于每一個(gè)抽象，我們不妨聯(lián)想還有其他什么物體也是具有同樣抽象性質(zhì)的，它們具有同樣的用途嗎？當(dāng)然，除了抽象之外，還有“修改”，我們可以在各個(gè)維度上對(duì)磚頭的屬性進(jìn)行調(diào)整，以期得到新的屬性：譬如大小可以調(diào)整、固體可以調(diào)整為碎末、棱角可以打磨、重量也可以調(diào)整、形狀也可以調(diào)整?然后看看新的屬性可以如何聯(lián)想開(kāi)去。除了這個(gè)簡(jiǎn)單的例子之外，我們也不妨看一看一些算法上的例子，同樣一個(gè)算法，不同的人來(lái)理解，也許你腦子里記得的是某個(gè)特定的巧妙技巧（也許這個(gè)技巧在題目的某步關(guān)鍵的地方出現(xiàn)，從而帶來(lái)了最令人意外的轉(zhuǎn)折點(diǎn)），然而另一人個(gè)記得得也許是“遞歸”這種手法，還有另外一個(gè)人記得的也許是“分治”這種更一般化的解題思路。從不同的抽象層面去掌握這道題目的知識(shí)信息，以后遇到類(lèi)似的問(wèn)題，你能夠想起這道題所提供的知識(shí)的可能性是有極大的差異的?！禤sychologyofProblemSolving》的第11章舉了這樣一個(gè)例子：先讓被試（皆為大學(xué)生）閱讀一段軍事材料，這個(gè)材料是說(shuō)一小撮軍隊(duì)如何通過(guò)同時(shí)從幾個(gè)不同方向小規(guī)模攻擊來(lái)?yè)魸⒁粋€(gè)防守嚴(yán)實(shí)的軍事堡壘的。事實(shí)上這個(gè)例子的本質(zhì)是對(duì)一個(gè)點(diǎn)的同時(shí)的弱攻擊能夠集聚成強(qiáng)大的力量。然后被試被要求解決一個(gè)問(wèn)題：一個(gè)醫(yī)生想要用X射線(xiàn)殺死一個(gè)惡性腫瘤，這個(gè)腫瘤只可以通過(guò)高強(qiáng)度的X射線(xiàn)殺死，然而那樣的話(huà)就會(huì)傷及周?chē)牧己媒M織。醫(yī)生應(yīng)該怎么辦呢？在沒(méi)有給出先前的軍隊(duì)的例子的被試中只有10%想到答案，這是控制基線(xiàn)。然后，在先前學(xué)習(xí)了軍隊(duì)例子的被試中，這個(gè)比例也僅僅只增加到30%，也就是說(shuō)只有額外20%的人“自動(dòng)”地將知識(shí)進(jìn)行了轉(zhuǎn)移。最后一組是在提醒之下做的，達(dá)到了75%，即比“自動(dòng)”轉(zhuǎn)移組增加了45%之多。這個(gè)例子說(shuō)明，知識(shí)的表象細(xì)節(jié)會(huì)迷惑我們的眼睛，阻礙我們對(duì)知識(shí)的運(yùn)用，在這個(gè)例子中是阻礙問(wèn)題之間的類(lèi)比。而抽象，則正是對(duì)非本質(zhì)細(xì)節(jié)去枝減葉的過(guò)程，抽象是我們?cè)谡莆罩R(shí)和解決問(wèn)題時(shí)候的一把有力的奧卡姆剃刀。所以，無(wú)論是在解題還是在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，問(wèn)自己一個(gè)問(wèn)題“我是不是已經(jīng)掌握了這個(gè)知識(shí)最深刻最本質(zhì)的東西”是非常有益的。知識(shí)，知識(shí)如果你是一個(gè)熟練的解題者，你也許會(huì)發(fā)現(xiàn)，除了一些非常一般性的、本質(zhì)的思維法則之外，將不同“能力”的解題者區(qū)分開(kāi)來(lái)的，實(shí)際上還是知識(shí)。知識(shí)是解題過(guò)程中的羅塞塔碑石。一道幾何題為什么歐幾里德能夠做出來(lái)我們不能，是因?yàn)闅W幾里德比我們所有人都更了解幾何圖形有哪些性質(zhì)，借助于一個(gè)性質(zhì)，他很容易就能抵達(dá)問(wèn)題的彼岸；反之，對(duì)于不知道某個(gè)性質(zhì)的我們，倒過(guò)來(lái)試圖“發(fā)現(xiàn)”需要這樣的性質(zhì)有時(shí)幾乎是不可能的。有人說(shuō)數(shù)學(xué)是在黑暗中摸索的學(xué)科，是有道理的。并不是所有的問(wèn)題都能夠通過(guò)演繹、歸納、類(lèi)比等手法解出來(lái)的。這方面，費(fèi)馬大定理就是一個(gè)絕好的例子，《費(fèi)馬大定理：一個(gè)困惑了世間智者358年的謎》一書(shū)描述了費(fèi)馬大定理從誕生到被解決的整個(gè)過(guò)程，事實(shí)上，通過(guò)對(duì)費(fèi)馬大定理本身的考察，幾乎是毫無(wú)希望解決這個(gè)問(wèn)題的，我們根本不能推導(dǎo)出“好，這里我只需要這樣一個(gè)性質(zhì)，就可以解決它了”，也許大多數(shù)時(shí)候我們可以，但那或者是因?yàn)槲覀冇幸阎闹R(shí)，或者這樣的歸約很顯然。而對(duì)于一些致命的問(wèn)題，譬如費(fèi)馬大定理，最重要的歸約卻是由別人在根本不是為了解決費(fèi)馬大定理的過(guò)程中得出來(lái)的。運(yùn)氣好的話(huà)，我們?cè)诩扔械闹R(shí)系統(tǒng)中會(huì)有這樣的定理可以用于歸約，運(yùn)氣不好的話(huà)，就得去摸索了。所幸的是，絕大多數(shù)問(wèn)題并不像費(fèi)馬大定理這樣難以解決。而且絕大多數(shù)問(wèn)題需要用到的知識(shí)，在現(xiàn)有的知識(shí)系統(tǒng)里面都是存在的。我們只要掌握得足夠好，就有希望聯(lián)想起來(lái)，并用于解題。當(dāng)然，也有許多題目，求解它們的那個(gè)關(guān)鍵的知識(shí)可以通過(guò)考察題目本身蘊(yùn)涵的條件來(lái)獲得，這類(lèi)題目就是測(cè)試思維本身的能力的好題目了。而如果這個(gè)性質(zhì)根本無(wú)法通過(guò)對(duì)題目本身的考察得出來(lái)，那么這個(gè)題目測(cè)試的就是知識(shí)儲(chǔ)備以及聯(lián)想能力。好題目、壞題目在我看來(lái)，好題目即測(cè)試一個(gè)人思維的習(xí)慣的題目（因?yàn)橹R(shí)性的東西是更容易彌補(bǔ)的，尤其是在這樣一個(gè)年代；而好習(xí)慣不是一朝一夕養(yǎng)成的），它應(yīng)有這樣一些性質(zhì)：?不需要用到未知的知識(shí)，或者?需要用到未知的知識(shí)，但一個(gè)敏銳的解題者可以通過(guò)對(duì)題目的分析自行發(fā)現(xiàn)這些所需的知識(shí)。?考察解題的一般性思路，而不是特定（adhoc）的解題技巧，尤其是當(dāng)這個(gè)技巧幾乎不可能在短時(shí)間內(nèi)通過(guò)演繹和試錯(cuò)發(fā)現(xiàn)的時(shí)候。譬如題目需要用到某種性質(zhì)，而這個(gè)性質(zhì)對(duì)于不知道它的人來(lái)說(shuō)幾乎是無(wú)法從對(duì)題目的考察中得出來(lái)的。?考察思維能力：聯(lián)想能力、類(lèi)比能力、抽象能力、演繹能力、歸納能力、觀察能力、發(fā)散能力（思維不落巢臼的能力）。?考察一般性的思維方法：通過(guò)特例啟發(fā)思考、通過(guò)試錯(cuò)尋找規(guī)律、通過(guò)泛化試探更一般性命題、通過(guò)倒過(guò)來(lái)推導(dǎo)將問(wèn)題進(jìn)行歸約、通過(guò)調(diào)整（分解、刪除、增加等等）題目的條件來(lái)感知它們之間的聯(lián)系以及和結(jié)論的聯(lián)系、通過(guò)系統(tǒng)化的分類(lèi)討論來(lái)覆蓋每種可能性。?好題目舉例：烙餅排序問(wèn)題（考察特例啟發(fā)法以及觀察能力）、Nim問(wèn)題（還有簡(jiǎn)單版本的取火柴問(wèn)題）（烙餅排序問(wèn)題和Nim問(wèn)題可參見(jiàn)《編程之美》）、9公升4公升水桶倒6公升水的問(wèn)題（考察倒過(guò)來(lái)思考問(wèn)題的能力）、9點(diǎn)連線(xiàn)問(wèn)題、6根火柴搭出4個(gè)面的問(wèn)題、“木板”問(wèn)題（考察思維定勢(shì)，此外《心理學(xué)與生活》的第九章也有好幾個(gè)經(jīng)典的問(wèn)題）、許多數(shù)論問(wèn)題（觀察能力、演繹能力、歸納能力）。此外，我們最近也在討論好題目。而壞題目呢：?好題目各有各的好，壞題目都是相似的。?壞題目基本上就是指那些所謂的unfairquestions,什么是unfair，舉個(gè)例子：一個(gè)人住在一棟非常高的樓上，每天早晨他乘電梯下到一樓，出門(mén)上班。但晚上回來(lái)之后卻最多只能坐到一半高度的樓層，剩下一半只能走樓梯上去，除非是下雨天。問(wèn)為什么。這個(gè)例子據(jù)說(shuō)不少人小時(shí)候在腦筋急轉(zhuǎn)彎里面做過(guò)，但我很懷疑基本上任何正常人是不是可能想出來(lái)。這個(gè)問(wèn)題的問(wèn)題在于他需要用到千百個(gè)有可能與問(wèn)題有關(guān)的性質(zhì)中的一個(gè)，而且這個(gè)性質(zhì)還根本無(wú)法通過(guò)對(duì)題目本身的考察得出來(lái)，只可能某天我們碰巧遇到類(lèi)似的場(chǎng)景也許才能想到。知道答案的人也許會(huì)說(shuō)答案很顯然，但別忘了心理學(xué)上的事后偏見(jiàn)——一旦知道結(jié)果之后，所有指向結(jié)果的證據(jù)看上去都那么顯然和充分，而同時(shí)所有反結(jié)果的證據(jù)看起來(lái)都那么不顯然和不充分。譬如這題關(guān)鍵是要想到這人是矮子和雨天要帶傘，也許你會(huì)說(shuō)“只要考慮一下電梯的按鈕面板就會(huì)發(fā)現(xiàn)了”，或者“看到下雨，那還不想到帶傘么？”，然而這只是事后的合情推斷。在不知道答案的情況下，這個(gè)故事中有數(shù)不清的因素可能會(huì)成為問(wèn)題的解釋?zhuān)悄程煳覀兣龅筋?lèi)似的問(wèn)題，否則大致也只能一個(gè)個(gè)窮舉了去使勁往上湊，譬如除了身高之外還有：是不是瞎子、是不是聾子、是不是啞子、男人女人、什么牌子的電梯、大廈是哪種大廈？這些因素重要嗎？不重要嗎？最令人頭疼的是，在不知道答案的時(shí)候，我們也根本不知道他們重不重要，一個(gè)出謎語(yǔ)的人可能從任何一個(gè)微小的地方引申出某個(gè)謎語(yǔ)來(lái)；更頭疼的是，我們不知道我們不知道的那些因素是不是也可能與題目的解有關(guān)，譬如這樣一個(gè)問(wèn)題：一個(gè)人走進(jìn)酒吧，問(wèn)酒保要一杯水，酒保掏出一只槍?zhuān)习鈾C(jī)；這人說(shuō)聲“謝謝”，走了出去。這些題目固然有趣，但幾乎沒(méi)有價(jià)值。?值得注意的是，這樣的問(wèn)題跟著名的9點(diǎn)連線(xiàn)問(wèn)題和6根火柴搭出4個(gè)面的問(wèn)題（還有《如何解題：現(xiàn)代啟發(fā)式方法》里面那個(gè)經(jīng)典的“小球在盒內(nèi)碰撞何時(shí)回到原軌跡”的問(wèn)題）不同，后者的條件都在眼前，并且解的搜索空間無(wú)論如何很小，就看思維能不能突破某一個(gè)框框。而上面這些問(wèn)題則是要人進(jìn)行根本不可能的聯(lián)想。9點(diǎn)問(wèn)題實(shí)際上是可以系統(tǒng)化思考解決的，但unfairquestion則像許多謎語(yǔ)一樣，隨便哪個(gè)人都可以出一個(gè)另一個(gè)人根本無(wú)法想出來(lái)的謎語(yǔ)，因?yàn)閺闹i語(yǔ)隱含的信息加上人可能從謎語(yǔ)中聯(lián)想出來(lái)的信息，加起來(lái)也不足以構(gòu)成解題的充分條件；這種情況下除非你遇到出題人在出題時(shí)的心理或所處情況，否則是無(wú)法解的。?最后，發(fā)散性思維其實(shí)是可以系統(tǒng)化的，參見(jiàn)前文“聯(lián)想的規(guī)則”。出題的誤區(qū)：?最大的誤區(qū)就是把知識(shí)性的題目誤當(dāng)成能力型的題目。如果題目中需要用到某個(gè)重要的定理或性質(zhì)，而對(duì)于一個(gè)原本不知道這個(gè)定理或性質(zhì)的人來(lái)說(shuō)是無(wú)法通過(guò)題目本身到達(dá)這個(gè)性質(zhì)的，那這就屬于知識(shí)性的題目。?雖然幾乎所有題目歸根到底都是知識(shí)性的，但有些題目更為知識(shí)性，尤其是當(dāng)解題中需要用到的定理或性質(zhì)并不那么trivial的時(shí)候。?一個(gè)最好的題目就是問(wèn)題明明白白，而且最終的解也沒(méi)有用到什么神秘的定理，但要想獲知到解，取決于你會(huì)不會(huì)思考一個(gè)問(wèn)題（參見(jiàn)“好問(wèn)題”）。譬如烙餅問(wèn)題和Nim問(wèn)題，還有許許多多問(wèn)題簡(jiǎn)潔明確但很鍛煉思考的算法問(wèn)題。在解題的過(guò)程中，除了必要條件——知識(shí)儲(chǔ)備——之外，對(duì)于一些并不涉及什么你不知道的定理的題，很大程度上就要看思維能力或者習(xí)慣了。而在思考一個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，最容易犯的一類(lèi)錯(cuò)誤就是忘了考慮某種可能性，不管這種可能性是另一種做法（譬如只顧著構(gòu)造一個(gè)能一步得出結(jié)果的算法，沒(méi)記得還可以從錯(cuò)誤情況逼近。譬如只顧著正著推導(dǎo)，卻忘了可以反過(guò)來(lái)推。只顧著反過(guò)來(lái)推，居然忘了可以考察簡(jiǎn)單特例。試了各種手法，卻發(fā)現(xiàn)忘了考慮題目的某個(gè)條件。覺(jué)得試遍了所有可能性，已經(jīng)走不下去了，然后其實(shí)在思維的早些時(shí)候就已經(jīng)落入了思維陷阱。等等）事實(shí)上，即便是一個(gè)熟練的解題者也容易犯顧此失彼的問(wèn)題，因?yàn)槲覀円坏┮庾R(shí)到一個(gè)看似能夠得到結(jié)論的解法，整個(gè)注意力就容易被吸引過(guò)去，而由于推導(dǎo)的路徑是很長(zhǎng)的，所以很容易在一條路上走到黑，試圖再往下走一步就得出解。卻忘了回過(guò)頭來(lái)看看再更高的層面上還有沒(méi)有其它手法，思路上有沒(méi)有其他可能性。而對(duì)于像我這樣目前尚不諳熟所有思維方法的人來(lái)說(shuō)，則更容易犯這樣的錯(cuò)誤。為了避免這樣的錯(cuò)誤，一個(gè)有效的辦法就是將自己的思考過(guò)程（中的重要環(huán)節(jié)）清晰的寫(xiě)在紙上（稱(chēng)為“看得見(jiàn)的思考”），這有如下幾個(gè)好處：?人在思考一個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，就像是在黑暗中打著電筒往前走（事實(shí)上，我們的工作記憶資源是有限的，有研究證明我們只能在工作記憶里面持有7加減2個(gè)項(xiàng)目；此外認(rèn)知負(fù)荷也是有極限的），每一步推導(dǎo)，每一步邏輯或猜測(cè)都將我們往前挪一步，然而電筒的光亮能找到的范圍是有限的，我們走了幾步發(fā)現(xiàn)后面又黑了。有時(shí)候，我們是如此努力地試圖一下就走出很遠(yuǎn)，同時(shí)又老是怕忘記目前已經(jīng)取得的進(jìn)展和重要結(jié)論，結(jié)果意識(shí)的微光就在一個(gè)很小的范圍內(nèi)打轉(zhuǎn)，始終無(wú)法往前走出很遠(yuǎn)。而將思維過(guò)程記錄下來(lái)，則給了我們完全的回顧機(jī)會(huì)。如果你是經(jīng)常做筆記的人，你肯定會(huì)發(fā)現(xiàn)，有時(shí)候一個(gè)在腦子里覺(jué)得兩句話(huà)就能說(shuō)完不需要記下來(lái)的東西，一旦開(kāi)始往紙上寫(xiě)下來(lái)，你就自然而然能得出更多的結(jié)論和東西，越寫(xiě)越多，最終關(guān)于你的問(wèn)題的所有方面都被推導(dǎo)出來(lái)展現(xiàn)在你面前。?思考問(wèn)題時(shí)的注意力是自上而下控制大腦的神經(jīng)處理過(guò)程的，當(dāng)我們集中注意力在某一個(gè)過(guò)程上時(shí)，其它的過(guò)程就會(huì)受到抑制。我們平常都遇到過(guò)一些時(shí)候，由于集中注意力從而忽略了周?chē)l(fā)生的事情的時(shí)候（處理環(huán)境輸入的神經(jīng)回路受到抑制）。所以，當(dāng)我們竭盡全力將一些非常重要的因素控制在工作記憶里面的時(shí)候，實(shí)際上很大程度上抑制了其余的思考——可以想見(jiàn)如果科比在跳投的瞬間集中注意力思考跳投的各種技術(shù)要素的話(huà)會(huì)發(fā)生怎樣的災(zāi)難。此外，這么做還占用了寶貴的工作記憶空間，從這個(gè)意義上，借助于紙筆，將思考的東西寫(xiě)下來(lái)實(shí)際上就是擴(kuò)充了我們的工作記憶，增大了思維的緩存。注意，這倒不是說(shuō)思考問(wèn)題不需要集中注意力，而是說(shuō)由于將項(xiàng)目維持在工作記憶中需要很大的認(rèn)知精力，使得我們的注意力無(wú)法暫時(shí)移開(kāi)去思考其它相關(guān)的子問(wèn)題，而寫(xiě)到紙上的話(huà)我們就減輕了工作記憶的負(fù)擔(dān)，可以轉(zhuǎn)移注意力去集中思考某個(gè)子問(wèn)題；同時(shí)我們又可以隨時(shí)回過(guò)頭來(lái)，重新將以前想過(guò)的結(jié)論裝入記憶（內(nèi)存），完全不用費(fèi)心去阻止它們被我們的工作記憶遺忘。?一句話(huà)從嘴里說(shuō)出來(lái)，或者寫(xiě)到紙上，被視覺(jué)或聽(tīng)覺(jué)模塊接收，再認(rèn)知；跟在心里默念所產(chǎn)生的神經(jīng)興奮程度是不一樣的。我們都有過(guò)這樣的經(jīng)歷：一句令人不愉快的話(huà)，我們心里清楚，但就是不愿意自己也不愿意別人從嘴里說(shuō)出來(lái)。同樣，將思考的過(guò)程寫(xiě)到紙上，能夠激起潛在的更多的聯(lián)想。為什么會(huì)這樣的另一個(gè)可能的原因是我們大腦中思維過(guò)程的呈現(xiàn)形式和紙上的表現(xiàn)形式是不一樣的，既沒(méi)有那么嚴(yán)格、詳細(xì)也沒(méi)有那么多的符號(hào)（如數(shù)學(xué)符號(hào)）——再一次，工作記憶資源是很有限的——而后者，作為視覺(jué)線(xiàn)索，可能激起更多對(duì)既有知識(shí)的回憶。?我們?cè)谒伎紗?wèn)題的過(guò)程中容易落入思維定勢(shì)，不知不覺(jué)就走上來(lái)某條“絕大部分時(shí)候是如此”的思維捷徑，對(duì)于一些問(wèn)題而言這固然能夠讓我們快速得到解，但對(duì)于另一些問(wèn)題而言卻是致命的。我們?nèi)菀自谶壿嫷穆窂缴弦胂氘?dāng)然的假設(shè)，從而排除某種不該排除的可能性或做法。通過(guò)將思路過(guò)程寫(xiě)到紙上，我們便能夠回頭細(xì)細(xì)考察自己的思考過(guò)程，覺(jué)察到什么地方犯了想當(dāng)然的毛病。?我們?cè)谒季S過(guò)程中的每一個(gè)關(guān)鍵的一步也許都有另一種可能性，一個(gè)問(wèn)題越復(fù)雜，需要推導(dǎo)的步驟就越多，我們就越容易忽視過(guò)程中的其它可能性，容易一條路走到黑。而將思維過(guò)程寫(xiě)下來(lái)，在走不下去的時(shí)候可以回過(guò)頭看看，也許會(huì)發(fā)現(xiàn)另一種可能性，另一條“少有人走的路”。最后，通過(guò)將思維過(guò)程寫(xiě)下來(lái)，我們就能夠在解題完畢之后完整的回顧自己的整個(gè)思維過(guò)程，并從中再次體悟那些關(guān)鍵的想法背后所發(fā)生的心理活動(dòng)過(guò)程，總結(jié)思考中的重要的一般原則，分析思維薄弱的環(huán)節(jié)，等等。就算是最終發(fā)現(xiàn)并沒(méi)有到達(dá)結(jié)果的無(wú)效思路，也未必就沒(méi)有意義，因?yàn)椴皇且驗(yàn)殄e(cuò)誤的思路，也不會(huì)知道正確的思路，況且對(duì)一道題目用不上的思路，對(duì)其它題目未必用不上。通過(guò)對(duì)自己思維過(guò)程的徹底反思，就能從每次解題中獲得最多的收獲。練習(xí)，練習(xí)本質(zhì)上，練習(xí)并不產(chǎn)生新能力。然而練習(xí)最重要的一個(gè)作用就是將外顯記憶轉(zhuǎn)化為內(nèi)隱記憶。用大白話(huà)來(lái)說(shuō)就是將平時(shí)需要用腦子去想（參與）的東西轉(zhuǎn)化為內(nèi)在的習(xí)慣。譬如我們一開(kāi)始學(xué)騎自行車(chē)的時(shí)候需要不斷提醒自己注意平衡，但隨著不斷的聯(lián)系，這種技能就內(nèi)化成了所謂的程序式記憶（內(nèi)隱記憶的一種），從而就算你一邊騎車(chē)一邊進(jìn)行解題這樣需要消耗大量腦力的活動(dòng)，也無(wú)需擔(dān)心失去平衡（不過(guò)撞樹(shù)是完全可能的，但那是另一回事）。同樣，對(duì)于解題中的思維方法來(lái)說(shuō)，不斷練習(xí)這些思維方法就能做到無(wú)意識(shí)間就能運(yùn)用自如，大大降低了意識(shí)的負(fù)擔(dān)和加快了解題速度。不過(guò)，并非所有的練習(xí)方法都是等效的，有些練習(xí)方法肯定要比另一些更有效率。譬如就解題來(lái)說(shuō)，解題是一項(xiàng)涉及到人類(lèi)最高級(jí)思維機(jī)制的活動(dòng)，其中尤其是推理（歸納和演繹）和聯(lián)想。而后者中又尤數(shù)聯(lián)想是最麻煩的，前面提到，絕大多數(shù)時(shí)候啟發(fā)式方法實(shí)質(zhì)上都是在為聯(lián)想服務(wù)——為了能像晃篩子那樣把你腦袋里那個(gè)關(guān)鍵的相關(guān)知識(shí)抖落出來(lái)。并且，為了方便以后能夠聯(lián)想，在當(dāng)初吸收知識(shí)的時(shí)候就需要做最恰當(dāng)?shù)募庸げ判?，譬如前面提到的“抽象”加工，除此之外還有將知識(shí)與既有的知識(shí)框架整合，建立最多的思維連接點(diǎn)（或者說(shuō)“鉤子”）。對(duì)于知識(shí)的深淺加工所帶來(lái)的影響，《找尋逝去的自我》里面有精彩的介紹（里面也提到了提取線(xiàn)索對(duì)回憶的影響——從該意義上來(lái)說(shuō)運(yùn)用啟發(fā)式思維方法來(lái)輔助聯(lián)想，其實(shí)就是進(jìn)行策略性記憶提取的過(guò)程）。最后，人類(lèi)的無(wú)意識(shí)思維天生有著各種各樣的壞習(xí)慣，譬如前面提到的范疇陷阱就是創(chuàng)新思維的殺手，譬如根據(jù)表面相似性進(jìn)行類(lèi)比也是知識(shí)轉(zhuǎn)移的一大障礙。更遑論各種各樣的思維捷徑了（我們平常進(jìn)行的絕大多數(shù)思考和決策，都是通過(guò)認(rèn)知捷徑來(lái)進(jìn)行的）。所以說(shuō)，如果任由我們天生的思維方式發(fā)展，也許永遠(yuǎn)都避不開(kāi)無(wú)意識(shí)中的那些陷阱，好在我們除了無(wú)意識(shí)之外還多出了一層監(jiān)督機(jī)制——意識(shí)。通過(guò)不斷反省思維本身，時(shí)時(shí)糾正不正確的思考方式，我們就能夠?qū)ζ溥M(jìn)行淬煉，最終養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。反之被動(dòng)的練習(xí)雖然也能熟能生巧，但勢(shì)必花的時(shí)間更多，而且對(duì)于涉及復(fù)雜的思維機(jī)制的解題活動(dòng)來(lái)說(shuō)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是通過(guò)錢(qián)眼往油壺里面倒油這樣簡(jiǎn)單的活動(dòng)所能類(lèi)比的，倒油不像思維活動(dòng)那樣有形形色色的陷阱，倒油不需要聯(lián)想和推理，倒油甚至幾乎完全不需要意識(shí)的輔助性參與，除了集中注意力（而解題活動(dòng)就算對(duì)于極其熟練的人來(lái)說(shuō)也不斷需要大量的意識(shí)參與）。所以對(duì)于前者，良好的思維習(xí)慣至關(guān)重要，而反省加上運(yùn)用正確的思維方法則是最終養(yǎng)成良好思維習(xí)慣的途徑。練習(xí)還有另外一個(gè)很重要的作用，就是增加領(lǐng)域知識(shí)（關(guān)于知識(shí)在問(wèn)題解決中的作用，前面已經(jīng)提到過(guò)）。我們看到很多人，拿到一道題目立即腦子里就反應(yīng)出解法，這個(gè)反應(yīng)快到他自己都不能意識(shí)到背后有什么邏輯。這是因?yàn)榧扔械闹R(shí)（我們常說(shuō)的“無(wú)他，實(shí)在是題做得太多了”）起到了極大的作用，通過(guò)對(duì)題目中幾個(gè)關(guān)鍵元素或結(jié)構(gòu)的感知，大腦中的相關(guān)知識(shí)迅速被自動(dòng)提取出來(lái)。而對(duì)于知道但不熟悉相應(yīng)知識(shí)（譬如很早我們就知道歸納法，但是很久以后我們才真正能夠做到面對(duì)任何一道可能用歸納法的題目就立即能夠想到運(yùn)用歸納法），或者干脆就不知道該知識(shí)的人來(lái)說(shuō)，就需要通過(guò)啟發(fā)法來(lái)輔助聯(lián)想或探索了。后者可以一定程度上代償對(duì)知識(shí)的不夠熟悉，但在一些時(shí)候知識(shí)的缺失則是致命的（參見(jiàn)上面第2點(diǎn)）。不過(guò)要注意的是，那種看到題目直接反應(yīng)出答案的或許也不是純粹的好事，因?yàn)檫@樣的解題過(guò)程嚴(yán)重依賴(lài)于既有知識(shí)，尤其是做過(guò)的類(lèi)似的題目，其思維過(guò)程絕大部分運(yùn)用的是聯(lián)想或類(lèi)比，而非演繹或歸納。更重要的是，聯(lián)想也分兩種，被動(dòng)聯(lián)想和策略性聯(lián)想（參考《找尋逝去的自我》），這里用的卻是被動(dòng)聯(lián)想。所以，能直接反應(yīng)出答案并不代表遇到真正新穎的題目的時(shí)候的解決能力，后者由于不依賴(lài)于既有領(lǐng)域知識(shí)，就真正需要看一個(gè)人的思維能力和習(xí)慣究竟如何了。啟發(fā)法的局限性首先肯定的是，啟發(fā)法一定（也許很大）程度上是可以代償知識(shí)的不足的（這里的知識(shí)主要是指大腦中的“聯(lián)系”，下面還會(huì)提到另一種知識(shí)，即hardknowledge）。譬如，一道題目，別人直接就能通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想到某道解過(guò)的題目，并直接使用了其中的一個(gè)關(guān)鍵的性質(zhì)把題目給解出來(lái)了。你并沒(méi)有做過(guò)那道題目，這導(dǎo)致兩種可能的結(jié)果：一，你就是不知道那個(gè)性質(zhì)。二，你雖然“知道”那個(gè)性質(zhì)，但并沒(méi)有在以前的解題經(jīng)歷中將那個(gè)性質(zhì)跟你手頭的這個(gè)問(wèn)題中的“線(xiàn)索”聯(lián)系起來(lái)，所以你還是“想不到”。后一種可以稱(chēng)為softknowledge，即你“知道”，但就是聯(lián)想（聯(lián)系）不起來(lái)。所謂不能活學(xué)活用，某些時(shí)候就是這種情況，即書(shū)本上提供什么樣的知識(shí)聯(lián)系，腦子里也記住什么，而沒(méi)有事后更廣泛地去探索知識(shí)之間的本質(zhì)聯(lián)系（總結(jié)的作用）。前一種則可以稱(chēng)為hardknowledge，即你就是不知道，它不在你的腦子里。而啟發(fā)式方法在兩個(gè)層面上起作用：輔助聯(lián)想起softknowledge:譬如，特例法是一種啟發(fā)式思考方法，它通過(guò)引入一個(gè)簡(jiǎn)單的特例，特例中往往蘊(yùn)含有更多的“線(xiàn)索”，通過(guò)這些線(xiàn)索，有可能就會(huì)激發(fā)起對(duì)既有的知識(shí)的聯(lián)想。另外一種強(qiáng)大的輔助聯(lián)想辦法就是對(duì)題目進(jìn)行變形，變形之后就產(chǎn)生了新的視覺(jué)和語(yǔ)意線(xiàn)索，比如式子的對(duì)稱(chēng)性、從直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)從而引發(fā)對(duì)后者的知識(shí)的聯(lián)想等等。大量的啟發(fā)式方法實(shí)際上的作用就是輔助聯(lián)想，通過(guò)對(duì)題目中的線(xiàn)索的發(fā)掘，激起大腦中已知相關(guān)知識(shí)的浮現(xiàn)。在這個(gè)意義上，相對(duì)于那些能夠直接聯(lián)想到某個(gè)性質(zhì)的人，那些不知道但可以通過(guò)啟發(fā)式思維聯(lián)想到的，啟發(fā)式思維就提供了一種“曲徑通幽”的策略性聯(lián)想。還是以經(jīng)典的例子來(lái)說(shuō):磚頭的用途。有人立即能夠直接聯(lián)想到“敲人”。有人也許不能。然而啟發(fā)式聯(lián)想策略“抽象”就能夠幫助后者也能夠聯(lián)想到“敲人”，因?yàn)椤俺橄蟆辈呗詥l(fā)人去考慮磚頭的各個(gè)性質(zhì)維度，如“質(zhì)地”，“形狀”，當(dāng)你考察到“質(zhì)地堅(jiān)硬”，“棱角”，離“敲人”的功能還會(huì)遠(yuǎn)么？本質(zhì)上，能夠直接聯(lián)想到“敲人”功能的人是因?yàn)榇竽X中從磚頭到敲人這兩個(gè)概念之間的神經(jīng)通路被走過(guò)了很多遍（譬如由于經(jīng)常拿磚頭敲人），神經(jīng)元之間的聯(lián)系相當(dāng)“粗”（形象的說(shuō)法，嚴(yán)格的事實(shí)請(qǐng)參考《追尋記憶的痕跡》），而不經(jīng)常拿磚頭敲人的人呢，這個(gè)聯(lián)系就非常的弱，乃至于根本激不起一次神經(jīng)沖動(dòng)。那么為什么通過(guò)啟發(fā)式方法又能聯(lián)想到呢？因?yàn)閱l(fā)式方法相當(dāng)于帶入了一種新的神經(jīng)調(diào)控回路，首先它增加你聯(lián)系到磚頭的屬性維度上的可能性，使得“質(zhì)地堅(jiān)硬”、“棱角”這兩個(gè)語(yǔ)意概念被激活起來(lái)（注意，如果沒(méi)有啟發(fā)式方法的參與，這是不會(huì)發(fā)生的），一旦后者被激活起來(lái)，從后者到“敲人”的聯(lián)系就被激活起來(lái)了。從本質(zhì)上，解題中的啟發(fā)聯(lián)想方法做的也就是這個(gè)工作。而越是一般性的啟發(fā)式方法就越是能對(duì)廣泛的問(wèn)題有幫助（譬如《HowtoSolveIt》中介紹的那些，譬如分類(lèi)討論、分治、乃至我認(rèn)為很重要的一個(gè)——寫(xiě)下自己的思維過(guò)程，詳細(xì)分解各個(gè)環(huán)節(jié)，考察思維路徑中有無(wú)其它可能性（我們很容易拿到一道題目便被一種沖動(dòng)帶入到某一條特定的思路當(dāng)中，并且遵循著“最可能的”推導(dǎo)路徑往下走，往往不自覺(jué)的忽略其它可能性，于是那些可能性上的聯(lián)想就被我們的注意力“抑制”了。））。?輔助探索出hardknowledge:倒推法是一種啟發(fā)式思考方法，它將你的注意力集中到問(wèn)題的結(jié)論中蘊(yùn)含的知識(shí)上，一旦你開(kāi)始關(guān)注可能從結(jié)論中演繹出來(lái)的知識(shí)，你就可能得到hardknowledge，即并不是早先就存在你腦子里，但是可以通過(guò)演繹獲得的。上文中的最小和子序列中的倒推方法就是一個(gè)例子。而啟發(fā)式方法的局限性也存在于這兩個(gè)方面:?有些聯(lián)系是不管怎樣“啟發(fā)”也想不起來(lái)的。譬如“當(dāng)布被刺破了，干草堆就重要了”，你怎么解釋這句話(huà)？如果有人提示一下“降落傘”，每個(gè)人都會(huì)恍然大悟。這是因?yàn)閺摹安肌钡健敖德鋫恪敝g的單向聯(lián)系是近乎不存在的。而且就算運(yùn)用啟發(fā)法，譬如，考慮所有布做的東西，也基本絕無(wú)可能想到降落傘，因?yàn)橥瑯?，從“布做的東西”到“降落傘”之間的關(guān)聯(lián)