圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

多邊形和圓是平面幾何中的兩類(lèi)基本圖形.建立直線(xiàn)的方程后，我們可以運(yùn)用它研究多邊形這些“直線(xiàn)形”，解決邊所在直線(xiàn)的平行或垂直、邊與邊的交點(diǎn)以及點(diǎn)到線(xiàn)段所在直線(xiàn)的距離等問(wèn)題.類(lèi)似地，為了研究圓的有關(guān)性質(zhì)，解決與圓有關(guān)的問(wèn)題，我們首先需要建立圓的方程.

2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2.4圓的方程學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握?qǐng)A的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程.2.會(huì)用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能準(zhǔn)確判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.生活中的圓或圓的一部分在直線(xiàn)方程的學(xué)習(xí)中，我們都研究了哪些問(wèn)題？

直線(xiàn)

直線(xiàn)方程

利用直線(xiàn)方程，研究位置關(guān)系、距離等問(wèn)題

平面直角坐標(biāo)系代數(shù)運(yùn)算

類(lèi)比直線(xiàn)方程的研究過(guò)程，如何研究圓的方程呢？

圓

圓的方程

利用圓的方程，研究與圓有關(guān)的位置關(guān)系、幾何度量等問(wèn)題

平面直角坐標(biāo)系代數(shù)運(yùn)算直線(xiàn)的方程是如何建立的呢？

直線(xiàn)的方程是如何建立的呢？

直線(xiàn)的幾何要素（點(diǎn)，方向）

幾何關(guān)系直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式……坐標(biāo)化在平面直角坐標(biāo)系中，那么如何確定一個(gè)圓呢？定義：平面內(nèi)與定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)圓心動(dòng)點(diǎn)半徑因此，確定一個(gè)圓的幾何要素是圓心和半徑。大小位置當(dāng)圓心位置與半徑大小確定后，圓就唯一確定了．由此，我們可以建立圓上點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式，進(jìn)而得到圓的方程。

如圖，在直角坐標(biāo)系中，圓心A的位置用坐標(biāo)A(a,b)表示，半徑r的大小等于圓上任意點(diǎn)M(x,y)與圓心A(a,b)

的距離．|AM|=r則圓上動(dòng)點(diǎn)M的集合P={M||AM|=r}把上式兩邊平方得：由兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)M適合的條件可表示為：在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑確定了,圓就唯一確定了.設(shè)⊙A的圓心A的坐標(biāo)為A(a,b)表示,半徑為r,如何求⊙A的方程呢？你能寫(xiě)出⊙A上動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足的關(guān)系式嗎？方程（1）一定表示⊙A的方程嗎？若圓心為O（0，0）半徑為r的圓的方程是什么？②若點(diǎn)M(x,y)坐標(biāo)滿(mǎn)足方程（1）,

這時(shí)，我們把方程（1）稱(chēng)為圓心為A（a，b），半徑長(zhǎng)為r的圓的方程，把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（standardequationofcircle）.即點(diǎn)M在圓心為A,半徑為

r的圓上.這就說(shuō)明點(diǎn)M與圓心A的距離為r.通過(guò)上述探究過(guò)程，可知

①若M(x,y)在圓上，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程追問(wèn):方程，，是圓方程嗎？思考:方程與表示的曲線(xiàn)分別是什么？方程

一定表示圓心在原點(diǎn)的圓嗎？圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些特點(diǎn)？（1）關(guān)于x，y的二元二次方程；（2）方程明確給出了圓心的坐標(biāo)和半徑的大小；即給出了三個(gè)a、b、r三個(gè)量。圓心為A(a,b),半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(1)與y軸相切，且圓心坐標(biāo)為(－5，－3)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________.例1(x＋5)2＋(y＋3)2＝25(2)以?xún)牲c(diǎn)A(－3，－1)和B(5，5)為直徑端點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________.(x－1)2＋(y－2)2＝25

求滿(mǎn)足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)圓心是(4，0)，且過(guò)點(diǎn)(2，2)；跟蹤訓(xùn)練1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋y2＝8.(2)圓心在y軸上，半徑為5，且過(guò)點(diǎn)(3，－4).圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.直接法求出下列圓的方程

分析:根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)與圓的方程的關(guān)系,只要判斷一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿(mǎn)足圓的方程,就可以得到這個(gè)點(diǎn)是否在圓上.

例1、求圓心為,半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,并判斷點(diǎn)是否在這個(gè)圓上.

把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程解:所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是左右兩邊相等，點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程所以點(diǎn)在這個(gè)圓上.把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程左右兩邊不相等，點(diǎn)的坐標(biāo)不適合方程不在這個(gè)圓上.所以點(diǎn)知識(shí)總結(jié)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系形——距離數(shù)——方程點(diǎn)在圓外d

r(x0－a)2＋(y0－b)2

r2點(diǎn)在圓上d

r(x0－a)2＋(y0－b)2

r2點(diǎn)在圓內(nèi)d

r(x0－a)2＋(y0－b)2

r2圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圓心為C(a，b)，半徑為r，點(diǎn)P(x0，y0)，>>＝＝<<(1)已知a，b是方程x2－x－

＝0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則點(diǎn)P(a，b)與圓C：x2＋y2＝8的位置關(guān)系是A.點(diǎn)P在圓C內(nèi)

B.點(diǎn)P在圓C外C.點(diǎn)P在圓C上

D.無(wú)法確定√(2)已知點(diǎn)P(2，1)和圓C：

＋(y－1)2＝1，若點(diǎn)P在圓C上，則實(shí)數(shù)a＝____________.若點(diǎn)P在圓C外，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)______________.－2或－6a<－6或a>－2(3)已知點(diǎn)M

在圓(x－1)2＋y2＝26的內(nèi)部，則a的取值范圍為_(kāi)_______.[0，1)跟蹤訓(xùn)練2待定系數(shù)法與幾何法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2

△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程.

分析：不在同一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，三角形有唯一的外接圓．只要確定了a、b、r，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就確定了。解法一：設(shè)所求圓的方程為：因?yàn)锳(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圓上待定系數(shù)法解法一：設(shè)所求圓的方程為：因?yàn)锳(5,1),B(7,-3),C(2,8)都在圓上所求圓的方程為例2

△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程.你能找出其他辦法嗎？△ABC的外接圓的圓心就是△ABC的外心?！鰽BC的外心是三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)。解法二：利用幾何性質(zhì)l2l1因?yàn)锳(5,1)和B(7,-3)，所以線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,-1)，直線(xiàn)AB的斜率因此線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)l1的方程是：即：所以，圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：因?yàn)锽(7,-3)和C(2,-8)，所以線(xiàn)段BC的中點(diǎn)的坐標(biāo)為(4.5,-5.5)，直線(xiàn)BC的斜率因此線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)l2的方程是：即：△ABC的外接圓的圓心O的坐標(biāo)是方程組的解解得：即O(2,-3)圓O的半徑長(zhǎng)：反思感悟(1)待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟(2)幾何法即是利用平面幾何知識(shí)，求出圓心和半徑，然后寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(3)像本例，理解運(yùn)算對(duì)象，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果.充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).例3：已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，1）和B（2，-2），且圓心C在直線(xiàn)l:x–y+1=0上，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。法一：設(shè)圓的方程為，則1)2)a-b+1=03)由1）2）3）聯(lián)立可解：a=-3,b=-2,r=5所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：待定系數(shù)法Oxy.A.BCl法二：利用圓的性質(zhì)數(shù)形結(jié)合法Oxy.A.BCLAB的中垂線(xiàn)與直線(xiàn)l的交點(diǎn)即為圓心例3：已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，1）和B（2，-2），且圓心C在直線(xiàn)l:x–y+1=0上，求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。法二:反思感悟(1)確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需確定圓心坐標(biāo)和半徑，因此用直接法求圓的標(biāo)