線性代數(shù) 課件 ch05 向量空間

線性代數(shù)向量空間第五章高等學(xué)校教材系列向量空間在數(shù)學(xué)中，稱(chēng)一類(lèi)對(duì)于其元素的加法和數(shù)乘運(yùn)算（統(tǒng)稱(chēng)為線性運(yùn)算）封閉的集合為線性空間。由n維向最構(gòu)成的線性空間稱(chēng)為向最空間作為一類(lèi)重要的線性空間，向量空間的理論在線性代數(shù)中具有重要作用。例如，線性方程組的解的結(jié)構(gòu)和通解的概念，可以從向量空間的觀點(diǎn)進(jìn)行討論：向量空間的理論也可以應(yīng)用在線性微分方程、線性系統(tǒng)等應(yīng)用數(shù)學(xué)問(wèn)題中，使問(wèn)題的討論得以簡(jiǎn)化。01向量空間與子空間向量空間與子空間n維向量考察齊次線性代數(shù)方程組Ax=O,其中A是mxn矩陣，x是n維向量，記S為由Ax=O的解的全體構(gòu)成的集合，S具有以下兩個(gè)特點(diǎn)：(1)若x1ES,x2ES,則x1+x2ES:(2)設(shè)k為實(shí)（復(fù)）常數(shù)，XES,則kxES。1向量空間與子空間n維向量102向量空間的基與維數(shù)向量空間的基與維數(shù)基與維數(shù)類(lèi)似于向量組的最大線性無(wú)關(guān)向量組和秩，在向量空間中可以定義基與維數(shù)的概念。1向量空間的基與維數(shù)基與維數(shù)1向量空間的基與維數(shù)基與維數(shù)1向量空間的基與維數(shù)基與維數(shù)1向量空間的基與維數(shù)基變換和坐標(biāo)變換向量空間的基不是唯一的，向量在不同基下的坐標(biāo)一般也是不同的，那么由兩組不同基之間的聯(lián)系能否得到在這兩組基下坐標(biāo)之間的關(guān)系呢？2向量空間的基與維數(shù)基變換和坐標(biāo)變換2向量空間的基與維數(shù)基變換和坐標(biāo)變換2向量空間的基與維數(shù)基變換和坐標(biāo)變換2向量空間的基與維數(shù)基變換和坐標(biāo)變換203內(nèi)積與向量正交性內(nèi)積與向量正交性內(nèi)積將幾何向量關(guān)于數(shù)量積的概念推廣到n維向量上。內(nèi)積具有下列性質(zhì)：(1)對(duì)稱(chēng)性：（a,b)=(b,a)；(2)線性：（a1+a2+b)=(a1b)+(a2b)；(kab)=k(ab),k為實(shí)數(shù)；(3)正定性：（aa):O,且（aa)=0的充要條件是a=O.定義了內(nèi)積運(yùn)算后，可以討論向量的長(zhǎng)度和兩個(gè)向量的夾角．；1內(nèi)積與向量正交性內(nèi)積1內(nèi)積與向量正交性內(nèi)積1內(nèi)積與向量正交性內(nèi)積1內(nèi)積與向量正交性內(nèi)積1內(nèi)積與向量正交性內(nèi)積1內(nèi)積與向量正交性基的正交規(guī)范化設(shè)M是內(nèi)積空間X的一個(gè)不含零子集，若M中向量?jī)蓛烧唬瑒t稱(chēng)M為X中的正交系，又若M中向量的范數(shù)都為1，則稱(chēng)M為X中的正交規(guī)范化。元素的正交性在內(nèi)積空間和Hilbert空間中扮演著十分重要的角色。在n維歐氏空間，選定n個(gè)相互正交的向量，則形成n維空間中的一組正交基，也就是說(shuō)在空間中建立了一組坐標(biāo)系，空間中的任何一個(gè)元素都可以由這組坐標(biāo)的線性組合表示出來(lái)。2內(nèi)積與向量正交性基的正交規(guī)范化2內(nèi)積與向量正交性基的正交規(guī)范化2內(nèi)積與向量正交性基的正交規(guī)范化2內(nèi)積與向量正交性基的正交規(guī)范化2