高中數(shù)學(xué)人教A版（2019+）選擇性必修第二冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)人教版A版第四章數(shù)列4.1數(shù)列的概念4.2等差數(shù)列4.3等比數(shù)列4.4數(shù)學(xué)歸納法第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用第四章數(shù)列4.1數(shù)列的概念一、數(shù)列1.數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列。（1）項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。（2）首項(xiàng)：數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號(hào)有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（通常也叫做首項(xiàng)）。（3）記法：排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)。所以，數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，….簡(jiǎn)記為{an}。({}此時(shí)表示數(shù)列，而不是集合)2.數(shù)列的分類（1）按照數(shù)列的項(xiàng)數(shù)分：①有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列②無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列（2）按照數(shù)列的變化趨勢(shì)分：①遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。②遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。③常數(shù)列：各項(xiàng)都相等的數(shù)列。④擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。3.數(shù)列與數(shù)集：數(shù)列是按照一定順序排列的一列數(shù)。數(shù)集則是無(wú)序的。4.通項(xiàng)公式（1）數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1,2，…，n}）為定義域的函數(shù)an=f(x)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時(shí)，所對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。反過(guò)來(lái)，對(duì)于函數(shù)y=f(x)，如果f(i)（i=1,2,3,…）有意義，那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列nf(n)1a12a23a3nf(n)1a12a23a3······nan······數(shù)列是特殊的函數(shù)（離散函數(shù)）（2）如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。5.遞推法：如果已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做數(shù)列的遞推公式。用遞推公式給出數(shù)列的方法叫做遞推法。6.數(shù)列的表示方法：圖像、列表、公式、遞推公式4.2等差數(shù)列一、等差數(shù)列1.等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。（后項(xiàng)-前項(xiàng)）（1）這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示。2.等差中項(xiàng)：由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列。這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)。（1）求等差中項(xiàng)：d=an-an-1或d=an+1-an（2）a，A，b為等差數(shù)列，則有2A=a+b，得A=a+b23.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)d=(a1-d)+nd(類似一元一次方程)（1）推導(dǎo)：一般地，如果等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1,公差是d，我們根據(jù)等差數(shù)列的定義，可以得到a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，…，所以有a2=a1+d，a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d，a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d，……由此，得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d=(a1-d)+nd4.關(guān)于等差數(shù)列的公式（1）若m+n=p+q，則am+an=ap+aq（2）若m+n=2p，則am+an=2ap（3）若an=a1+(n-1)d，則an=am+(n-m)d（4）d=a（5）若{an}為等差數(shù)列，公差為d，則數(shù)列ak，ak+m，ak+2m，…，公差為md5已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=pn+q，其中p，q為常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？解：取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項(xiàng)an與an-1(n＞1)求差，得an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=pn+q-(pn-p+q)=p，它是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以{an}是等差數(shù)列。二、等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和：1.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和：一般地，我們稱a1+a2+a3+…+an為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，用Sn表示，即Sn=a1+a2+a3+…+an。2.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和（1）推導(dǎo)：對(duì)于公差為d的等差數(shù)列，倒序相加求和Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d]①(第1項(xiàng)+…+第n項(xiàng))Sn=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d]②(第n項(xiàng)+…+第1項(xiàng))由①+②，得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an)，由此得到等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的公式Sn=n(a1+an代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d，Sn也可以表示用首項(xiàng)a1與公差d表示，即Sn=na1+n(n?1)d23.在等差數(shù)列{an}中。前n項(xiàng)和Sn的性質(zhì)（1）Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也成等差數(shù)列，公差為m2d（2）等差數(shù)列{Snn}，即數(shù)列Sm?1（3）ambm=S2m?1T4.裂項(xiàng)求和：設(shè)法將數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)（裂項(xiàng)），并使它們?cè)谙嗉訒r(shí)除了首尾各有一項(xiàng)或少數(shù)幾項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都能前后相消，進(jìn)而可求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。5.常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式：（1）1n(n+1)=1n（2）1n(n+k)=1k(1（3）1(2n?1)(2n+1)=12(12n?1（4）1n+k+n=1k(n+k（5）1n(n+1)(n+2)=12[1n(n+1)6.在等差數(shù)列{a2n}中，所有奇數(shù)項(xiàng)和為S奇=(a1+nd)(n+1)推導(dǎo)：S奇=a1+a3+a5+…+a2n-1+a2n+1①=a1+(a1+2d)+(a1+4d)+…+(a1+2nd-2d)+(a1+2nd)S奇=a2n+1+a2n-1+…+a3+a1②=(a1+2nd)+(a1+2nd-2d)+…+(a1+2d)+a1①+②得，2S奇=(2a1+2nd)(n+1)所以S奇=(a1+nd)(n+1)4.2等比數(shù)列一、等比數(shù)列1.等比數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列。（1）這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。（2）等比中項(xiàng)：若a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)。則有Ga=bG，G2=ab（a2.等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：an=a1qn-I（q≠0）推導(dǎo)：an=amqn-m,公比為q=ana3.已知Sn和an的關(guān)系，在n≥2時(shí)，往往得到an與an-1的關(guān)系4.M=ab,是a，M，b為等比數(shù)列的5.證明數(shù)列為等比數(shù)列常用的方法：（1）定義法：an+1an=（2）等比中項(xiàng)法：an+12=an·an+2（an≠0，n∈N*）（3）通項(xiàng)法：an=a1qn-16.等比數(shù)列性質(zhì)：（1）若m+n=q+p，則am·an=ap·aq（2）若m，n，p，為等差數(shù)列，則am、an、ap為等比數(shù)列。（3）若a1、a2、…、an-1、an為等比數(shù)列，則a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…（4）若{an}是公比為q的等比數(shù)列，則{λan}（λ為常數(shù)）、{｜an｜}、an仍為等比數(shù)列，公比分別為q、｜q｜、q（5）若{an}、{bn}是公比分別為p、q的項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則{an·bn}、{anbn}仍為等比數(shù)列，公比分別為pq、p（6）若{an}是公比為q的等比數(shù)列，且an＞0，則{logcan}是以logcq為公差的等差數(shù)列。（7）若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列{Can}是公比為Cd7.關(guān)于等比數(shù)列{an}的單調(diào)性：（1）單調(diào)遞增：①a1＞0，q＞1時(shí)②a1＜0，0＜q＜1時(shí)（2）單調(diào)遞減：①a1＞0，0＜q＜1時(shí)②a1＜0，q＞0時(shí)（3）常數(shù)列：q=1時(shí)（4）擺動(dòng)數(shù)列：q＜0時(shí)8.求等比數(shù)列時(shí)的設(shè)項(xiàng)方法：（1）三個(gè)數(shù)：aq、a、aq公比為（2）四個(gè)數(shù)：aq3、aq、aq、aq39.求等差數(shù)列時(shí)的設(shè)項(xiàng)方法：（1）三個(gè)數(shù)：a-d、a、a+d公差為d（2）四個(gè)數(shù)：a-3d、a-d、a+d、a+3d公差為2d二、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和1.公式的推理：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和：一般地，對(duì)于等比數(shù)列a1，a2，a3，…，an，的前n項(xiàng)和是Sn=a1+a2+a3+…+an，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得錯(cuò)位相減法Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1①，如果用公比q乘①的兩邊，可得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn②，用①-②得：(1-q)Sn=a1-a1qn所以，得Sn=a1(1?2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式：（代入通項(xiàng)公式）Sn=a1(1?qn)1?q=a1?aSn=na1（q=1）3.性質(zhì)：（1）Sn，S2n–Sn，S3n–S2n為等比數(shù)列，那么公比為qn。（2）等比數(shù)列{an}項(xiàng)數(shù)為2n，則S偶S奇=證明：當(dāng)q≠1時(shí)，S偶=a2+a4+…+a2n=a2[1?(qS奇=a1+a3+…+a2n-1=a1[1?(q2)n]1?q2當(dāng)q=1時(shí)，顯然成立。（3）若{an}為等比數(shù)列，則Sn=Aqn+B，且A+B=0證明：Sn=a1(1?qn)1?q=a11?q(1?qn)=a11?q-a11?q三、數(shù)列求和的常用方法1.錯(cuò)位相減法：等比數(shù)列（形如an=bn·Cn，且{bn}為等差數(shù)列，{Cn}為等比數(shù)列。）2.倒序相加法：等差數(shù)列3.并項(xiàng)求和法：（擺動(dòng)數(shù)列）4.裂項(xiàng)相消法：（把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)項(xiàng)相消，剩下首尾若干項(xiàng)。）（形如：1n(n+1)=1n-5.分組求和法：（形如：an=bn+Cn，{bn}、{Cn}同為等差數(shù)列或等比數(shù)列。）例：設(shè)x≠0，求和Sn=(x+1x)2+(x2+1x2)2+…+(xn+1x解：Sn=(x2+2+1x2)+(x4+2+1x4)+…+(x=2n+(x2+x4+…+x2n)+(1x2+1當(dāng)x2=1即x=±1時(shí)，Sn=2n+n+n=4n當(dāng)x2≠1時(shí)，Sn=2n+x2(1?x2n6.求an的方法：（1）觀察法（規(guī)律）（2）公式法（直接）（3）已知Sn求an（an=Sn-Sn-1，n≥2，驗(yàn)證n=1時(shí)是否成立）例3：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=32an-3,求an解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=32a1-3,得a1當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=32an-32an-1,化簡(jiǎn)得所以{an}為等比數(shù)列，an=6×3n-1=2×3n，此時(shí)n=1時(shí)亦成立，所以an=2×3n。（4）構(gòu)造法（形如an+1=p·an+q）變換為an++1+x=p(an+x)形式后求q例4：已知a1=3，an+1=2an+3，求an解：化為an+1+x=2(an+x)形式∴an+1=2an+x∴x=3于是有an+1+3=2(an+3)，∴q=2，∴{an+3}是以a1+3=6為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列∴an+3=6×2n-1，∴an=3(2n-1)（5）累加法（形如an+1-an=f(n)）例5：已知數(shù)列{an}中，a1=1,且an+1-an=3n-n，求an解：∵an+1-an=3n-n∴an-an-1=3n-1-(n-1)an-1-an-2=3n-2-(n-2)…a3-a2=32-2a2-a1=3-1兩邊分別相加：an-a1=(3n-1+3n-2+…+3)-[(n-1)+(n-2)+…+1]=3(1?3n?1)1?3從而可以解出an（6）累乘法（形如an+1an=f(n)例6：已知a1=1，an+1an=解：∵an+1an=n+2n所以aan?…a3a2a2a1兩邊分別相乘：ana1=n(n+1)2，∵a1=1，∴a∴an=n(n+1)2（7）作商法（形如a1·a2·a3…an=f(n)）當(dāng)n=1時(shí)，an=f(1)當(dāng)n≥2時(shí)，an=f(n)f(n?1)例7：在{an}中，a1=1，有a1·a2·a3…an=n2，求a3+a5解：a1·a2·a3…an=n2①a1·a2·a3…an-1=(n-1)2②∴①②得an=(nn?1)2∴a3+a5（8）倒數(shù)法例8：在{an}中，a1=1，an=an?13an?1+1解：∵an=an?13an?1+1∴1an即{1a∴1an=1+(n-1)·3=3n-2∴an=14.4數(shù)學(xué)歸納法一、數(shù)學(xué)歸納法1.數(shù)學(xué)歸納法：一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0（n0屬于N*）時(shí)命題成立；（2）（歸納遞推）假設(shè)n=k（k≥n0，k∈N*）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立。2.歸納法的分類：歸納法是由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法其中特點(diǎn)是“特殊→一般”（1）不完全歸納法：根據(jù)事物的部分（而不是全部）特例得出一般結(jié)論的推理方法叫作不完全歸納法（2）完全歸納法：把研究對(duì)象一一都考察到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法。例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明：13+23證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=13=②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時(shí)，等式成立，即13那么1=k+1=1=1即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立。根據(jù)①②可知，等式對(duì)任意n∈N*都成立。第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用5.1導(dǎo)數(shù)的概念及其意義一、變化率問(wèn)題1.平均變化率：△y2.瞬時(shí)變化率：一般地，函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是函數(shù)f(x)從x0到x0+△x的平均變化率在△x→0時(shí)的極限，即lim3.函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)：函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率稱為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x0)或y'｜x=x0,即f'(x0)=lim二、導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義1.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即K=f'(x0)=2.導(dǎo)函數(shù)：從求函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到，當(dāng)x=x0時(shí)，f'(x0)是一個(gè)確定的數(shù)。這樣，當(dāng)x變化時(shí)，f'(x)便是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)數(shù)）。即f'(x)=y'=lim5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算一、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（一）、幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.函數(shù)y=f(x)=c的導(dǎo)數(shù)：△y△x=f(x+2.函數(shù)y=f(x)=x的導(dǎo)數(shù)：△y△x=f(x+3.函數(shù)y=f(x)=x2的導(dǎo)數(shù):△y所以y'=4.函數(shù)y=f(x)=1x的導(dǎo)數(shù):y'=lim5.函數(shù)y=f(x)=x的導(dǎo)數(shù):△y△x=fx+（二）、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1.導(dǎo)數(shù)公式函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)=cf'(x)=0f(x)=xa（a∈Q*）f'(x)=axa-1f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=axf'(x)=axlna（a>0）f(x)=exf'(x)=exf(x)=logaxf'(x)=1xlnaf(x)=lnxf'(x)=1二、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)[f(x)·g(x)]'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)[f(x)g(x)]'=f'三、簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.復(fù)合函數(shù)：一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f(u)和u=g(x)，如果通過(guò)變量u，y可表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y=f(g(x))。（1）復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u)，u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為：yx'=yu'·ux'=f'(u)·g'(x)（2）求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：例①：求函數(shù)y=(2x+3)2的導(dǎo)數(shù)：解：函數(shù)y=(2x+3)2可以看作函數(shù)y=u2和u=2x+3的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則有：yx'=yu'·ux'=(u2)'·(2x+3)'=4u=8x+125.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用一、函數(shù)的單調(diào)性1.一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)，①如果f'(x)>0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；②如果f'(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；2.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：①求出函數(shù)定義域及f'(x)；②解f'(x)>0，f'(x)<0并與定義域求交集；③確定單調(diào)區(qū)間。3.已知函數(shù)y=f(x)，x∈[a，b]的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍的步驟：①求導(dǎo)數(shù)y=f'(x)；②轉(zhuǎn)化為f'(x)≥0或f'(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立問(wèn)題；③由不等式恒成立求