偏泛函微分方程邊值問(wèn)題的非普通正平衡解

偏泛函微分方程邊值問(wèn)題的非普通正平衡解

傅里葉變換的邊值問(wèn)題。?u(x,t)?t=k?2u(x,t)?x2+ru(x,t-Τ)(1-u(x,t)),t≥0,0≤x≤π,u(0,t)=u(π,t)=0,t≥0,u(x,s)=φ(x,s),-Τ≤s≤0,0≤x≤π,(1)作為一個(gè)帶有時(shí)間滯后和自我調(diào)節(jié)的種群密度模型在文獻(xiàn)中已被研究.文獻(xiàn)對(duì)數(shù)字摸擬中出現(xiàn)的振動(dòng)和Hopf分支現(xiàn)象進(jìn)行了解釋.文獻(xiàn)對(duì)問(wèn)題(1)的零平衡解和非平凡平衡解的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究,同時(shí)給出了數(shù)字摸擬結(jié)果.本文考慮較為一般的偏泛函微分方程邊值問(wèn)題?u(x,t)?t=k?2u(x,t)?x2+ru(x,t-τ)(1-f(u(x,t))),t≥0,0≤x≤π,u(0,t)=u(π,t)=0,t≥0,(2)以及帶有分布時(shí)滯的偏泛函微分方程邊值問(wèn)題?u(x,t)?t=k?2u(x,t)?x2+ru(x,t)[1-f(∫0-τu(x,t+s)dη(s))],t≥0,0≤x≤π,u(0,t)=u(π,t)=0,t≥0,(3)得到了它們非平凡正平衡解的存在性及其穩(wěn)定性結(jié)果.其中:u(x,t)表示種群在時(shí)間t位置x處的密度;k,r,τ均為正常數(shù),分別表示擴(kuò)散率、內(nèi)稟增長(zhǎng)率和時(shí)間滯后;函數(shù)f∈C1(R),滿足f(0)=0和f′(u)>0,對(duì)u>0;η:[-τ,0]→R有界不減,且滿足∫0-τdη(s)=1.顯然當(dāng)f(u)=u時(shí),方程(2)退化為(1).1最大法約束參數(shù)的確定方程(2)的平衡解是指滿足方程的不依賴于時(shí)間t的解,因此可由非線性方程ku″(x)+ru(x)(1-f(u(x)))=0,0≤x≤π,u(0)=u(π)=0(4)來(lái)確定.假設(shè)u(x)是問(wèn)題(4)的解,則u(π-x)也是其解.顯然u(x)關(guān)于x=π/2對(duì)稱.由于生物學(xué)的意義,我們關(guān)心的是問(wèn)題(4)的正解的存在性.定理1當(dāng)r>k時(shí),問(wèn)題(4)存在惟一正解u(x)滿足0<u(x)<f-1(1),0<x<π.證我們來(lái)尋求問(wèn)題(4)的滿足條件0<u(x)<f-1(1),即0<f(u(x))<1的解.為此,求解初值問(wèn)題u″+Ru(1-f(u))=0,u(0)=0,u′(0)=u0>0,(5)其中R=r/k,得其首次積分(u′)2=u20-2R∫u0y(1-f(y))dy.設(shè)u(π/2)=m,由u′(π/2)=0,從上式可得,u20=2R∫m0y(1-f(y))dy.于是dudx=[2R∫muy(1-f(y))dy]1/2,0≤x≤π/2.由此得u=u(x)的反函數(shù)表達(dá)式x=∫u0[2R∫mvy(1-f(y))dy]-1/2dv.特別有π2=∫m0[2R∫mvy(1-f(y))dy]-1/2dv=∫10[2R∫muy(1-f(y))dy]-1/2mdu=∫10[2R∫1uy(1-f(my))dy]-1/2du.于是得參數(shù)R和解曲線的最大值m間的關(guān)系R={2π∫10[2∫1uy(1-f(my))dy]-1/2du}2.由前面對(duì)f的假設(shè)易證R關(guān)于m單調(diào)增加.下面來(lái)計(jì)算R的取值范圍.當(dāng)m=0時(shí),R=2π∫10(1-u2)-1/2du=1;當(dāng)m=f-1(1)時(shí),由于limu→12∫1uy(1-f(my))dy(1-u)2=limu→1u(f(mu)-1)u-1=mf′(m)>0,說(shuō)明瑕積分∫10[2∫1uy(1-f(my))dy]-1/2du和∫10du1-u一樣是發(fā)散的.所以R:(0,f-1(1))→(1,+∞)是一個(gè)一對(duì)一的單增函數(shù),存在反函數(shù)m=m(R).從而,對(duì)于給定的r,k,只要R=r/k>1便可確定惟一的m,最后得到相應(yīng)的u0>0.這樣從初值問(wèn)題(5)中得到的解u(x)便滿足問(wèn)題(4),且u(π/2)=m.所以有0<u(x)≤u(π/2)=m<f-1(1),0<x<π.證畢.設(shè)X=C[0,π]是[0,π]上連續(xù)函數(shù)全體組成的集合,取上確界范數(shù)∥y∥X=supx∈[0,π]|y(x)|,y∈X,則X是一個(gè)Banach空間.方程(2)可寫成如下的抽象泛函微分方程du(t)dt=Au(t)+F(ut),t≥0,(6)其中A是X上的有界線性算子解析半群的無(wú)窮小生成元,其定義域?yàn)镈(A)={y∈X|y″∈X,y(0)=y(π)=0},Ay=ky″,y∈D(A),F(ut)≈ru(?,t-τ)[1-f(u(?,t))],ut∈C=C([-τ,0],X)被定義為ut(s)=u(t+s),s∈[-τ,0].其范數(shù)為∥ut∥C∶由定理1知,當(dāng)r>k時(shí),方程(6)存在惟一非平凡正平衡解,在此記為u*=u*t(θ)≡N,其中N=N(x)是常微分方程邊值問(wèn)題(4)的解,滿足0<f(N(x))<1.我們感興趣的是該平衡解是否穩(wěn)定.定義1稱方程(6)的正平衡解u*是穩(wěn)定的,如果任給ε>0,存在δ>0,對(duì)于方程(6)滿足初始條件u0=φ∈C(7)的任何解u(t),只要‖φ-u*‖C<δ,就有‖u(t)-u*‖X<ε,對(duì)一切t≥0成立.定義2稱方程(6)的正平衡解u*是漸近穩(wěn)定的,如果u*是穩(wěn)定的,并存在δ0>0,對(duì)初值問(wèn)題(6)和(7)的滿足條件‖φ-u*‖C<δ0的任何解u(t),恒成立limt→+∞∥u(t)-u*∥X=0.定理2設(shè)r>k,則當(dāng)rτ≤3π/2時(shí),問(wèn)題(2)的正平衡解u*是漸近穩(wěn)定的.證將問(wèn)題(2)的抽象方程(6)在u*=N處線性化得du(t)dt=Au(t)+G(ut),t≥0,(8)其中G(ut)=r(1-f(N))u(t-τ)-rNf′(N)u(t),ut∈C.下面證明方程(8)的零解漸近穩(wěn)定.對(duì)于每個(gè)復(fù)數(shù)λ,我們定義X-值線性算子Δ(λ)(見(jiàn)文獻(xiàn)第69頁(yè)),Δ(λ)y=Ay-λy+G(eλ·y),y∈D(A),其中(eλ·y)(θ)=eλθy,θ∈[-τ,0].稱Δ(λ)y=0為方程(8)的特征方程,若對(duì)某λ,該方程有非零解y∈D(A),則稱此λ為方程(8)的特征根.方程(8)的特征方程具體為ky″+[r(1-f(N))e-λτ-rNf′(N)-λ]y=0.(9)利用文獻(xiàn)的推論1.11及其線性化穩(wěn)定性結(jié)果,只須證明特征方程(9)的根都具有負(fù)實(shí)部.用反證法,分2種情形:1)先證方程(9)沒(méi)有非負(fù)實(shí)根.假設(shè)它有非負(fù)實(shí)根λ,則由N>0和f′(N)>0有r(1-f(N)e-λτ-rNf′(N)-λ<r(1-f(N).由Sturm比較定理可得,方程ky″(x)+r(1-f(N(x)))y(x)=0(10)的任一解在(0,π)上必有零點(diǎn),這與N(x)是方程(10)的解而在(0,π)上恒為正矛盾.2)其次證方程(9)沒(méi)有非負(fù)實(shí)部的復(fù)根.在式(9)兩邊同乘以y(x)的共軛復(fù)數(shù)y(x)ˉ,再?gòu)?到π積分得-k∫0π|y′(x)|2dx+∫0π[r(1-f(N))e-λτ-rNf′(N)-λ]|y(x)|2dx=0.(11)設(shè)λ=μ+iσ(μ≥0,σ>0)是方程(9)的根,它必滿足式(11).代入并分離實(shí)部、虛部得-k∫0π|y′(x)|2dx+∫0π[r(1-f(N))e-μτcos(στ)-rNf′(N)-μ]|y(x)|2dx=0和∫0π[r(1-f(N))e-μτsin(στ)+σ]|y(x)|2dx=0.(12)從而應(yīng)使cos(στ)>0和sin(στ)<0同時(shí)成立,得στ>3π/2.又由于r(1-f(N))e-μτsin(στ)>rsin(στ)>-r,所以,當(dāng)rτ≤3π/2時(shí),有r(1-f(N))e-μτsin(στ)+σ>σ-r>(3π/2τ)-r≥0,這與式(12)矛盾.于是方程(9)的根都具有負(fù)實(shí)部,從而方程(8)的零解是漸近穩(wěn)定的,說(shuō)明問(wèn)題(2)的正平衡解u*是漸近穩(wěn)定的.注1問(wèn)題(2)在τ=0時(shí)為偏微分方程邊值問(wèn)題?u(x,t)?t=k?2u(x,t)?x2+ru(x,t)(1-f(u(x,t))),t≥0,0≤x≤π,u(0,t)=u(π,t)=0,t≥0.(13)它有非平凡平衡解u*=N.方程(13)可以寫為抽象常微分方程du(t)dt=Au(t)+ru(t)[1-f(u(t))],t≥0.它在u*=N處的線性化方程為du(t)dt=Au(t)+r[1-f(Ν)-Νf′(Ν)]u(t),t≥0,其特征方程為ky″+r[1-f(N)-Nf′(N)-λ]y=0.(14)易證該方程只有負(fù)的實(shí)根.首先,同定理2中證明方程(9)沒(méi)有非負(fù)實(shí)根方法一樣,可證方程(14)沒(méi)有非負(fù)實(shí)根.其次,證明方程(14)沒(méi)有復(fù)根.在方程(14)兩邊同乘以y(x)ˉ,再?gòu)?到π積分得-k∫0π|y′(x)|2dx+∫0πr[1-f(N)-Nf′(N)-λ]|y(x)|2dx=0.(15)設(shè)λ=μ+iσ(σ>0)是方程(13)的根,它必滿足方程(14),代入得其虛部滿足∫0πrσ|y(x)|2dx=0.這與y(x)為方程(14)的非零解矛盾.所以方程(14)只有負(fù)實(shí)根,從而方程(13)的零解漸近穩(wěn)定.結(jié)合定理2,說(shuō)明問(wèn)題(2)中的時(shí)滯τ不改變正平衡解的穩(wěn)定性.這表明時(shí)滯τ對(duì)正解的穩(wěn)定性是無(wú)害的.下面考慮帶有分布時(shí)滯的偏泛函微分方程邊值問(wèn)題(3).顯然,u*=u*t(θ)≡N也是問(wèn)題(3)的非平凡正平衡解.定理3設(shè)r>k,則當(dāng)-r∫-τ0sdη(s)≤1Μ時(shí),問(wèn)題(3)的非平凡正平衡解u*是漸近穩(wěn)定的(其中Μ=f-1(1)max[0,f-1(1)]f′(u)).證問(wèn)題(3)的抽象形式為du(t)dt=Au(t)+ru(t)[1-f(∫-τ0u(t+s)dη(s))],t≥0.它在u*=N處的線性化方程為du(t)dt=Au(t)+r(1-f(Ν))u(t)-rΝf′(Ν)∫-τ0u(t+s)dη(s),t≥0,(15)其特征方程為ky″(x)+[r(1-f(N)-Nf′(N)∫-τ0eλsdη(s))-λ]y(x)=0.易證該方程沒(méi)有非負(fù)實(shí)根.下證它沒(méi)有非負(fù)實(shí)部的復(fù)根.假設(shè)λ=μ+iσ(μ≥0,σ>0)是它的復(fù)根,則λ必滿足方程-k∫0π|y′|2dx+∫0π[r(1-f(N)-Nf′(N)∫-τ0eλsdη(s))-λ]|y|2dx=0.代入得其虛部為∫0π[rNf′(N)∫-τ0eμssin(σs)dη(s)+σ]|y(x)|2dx=0,(16)由此得∫-τ0eμssin(σs)dη(s)<0.從而由定理?xiàng)l件得σ+rNf′(N)∫-τ0eμssin(σs)dη(s)≥σ+rM∫-τ0eμssin(σs)dη(s)>σ+rMσ∫-τ0sdη(s)≥0,與式(16)矛盾.所以方程(15)的特征根都具有負(fù)實(shí)部,從而方程(3)的正平衡解u*漸近穩(wěn)定.最后我們來(lái)考慮邊值問(wèn)題?u(x,t)?t=k?2u(x,t)?x2+ru(x,t)(1-f(u(x,t-τ))),t≥0,0≤x≤π,u(0,t)=u(π,t)=0,t≥0.(17)顯然u*=N也是問(wèn)題(17)的非平凡平衡解.方程(17)的抽象形式為du(t)dt=Au(t)+ru(t)[1-f(u(t-τ))],t≥0.(18)它在u*=N處的線性化方程為du(t)dt=Au(t)+r(1-f(Ν))u(t)-rΝf′(Ν)u(t-τ),t≥0,其特征方程為ky″(x)+[r(1-f(N)-Nf′(N)e-λτ)-λ]y(x)=0.易證該方程沒(méi)有非負(fù)實(shí)根.下證它沒(méi)有非負(fù)實(shí)部的復(fù)根.假設(shè)λ=μ+iσ(μ≥0,σ>0)是它的復(fù)根,則λ必滿足方程-k∫0π|y′|2dx+∫0π[r(1-f(N)-Nf′(N)e-λτ)-λ]|y|2dx=0.代入得其虛部為∫0π[σ-rNf′(N)e-μτsin(στ)]|y|2dx=0.(19)必有sin(στ)>0.記Μ=f-1(1)max[0,f-1(1)]f′(u),若設(shè)rτ<1/M,則得σ-rNf′(N)e-μτsin(στ)≤σ-rτσM>0.這與式