基函數(shù)的插值性與小波配點(diǎn)法在確定熱傳導(dǎo)方程中的應(yīng)用

基函數(shù)的插值性與小波配點(diǎn)法在確定熱傳導(dǎo)方程中的應(yīng)用

隨著小波理論的發(fā)展，許多科學(xué)家已經(jīng)致力于將小波方法應(yīng)用于微分方程數(shù)值的計(jì)算。其基本方法是將小波方法和經(jīng)典方程數(shù)值方法相結(jié)合，形成小波有限元法和小波配點(diǎn)法。小波配點(diǎn)法要求基函數(shù)具有插值特性，因此在小波配分法中，為了確定dap組合的小波對(duì)應(yīng)的規(guī)模函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)作為基本函數(shù)進(jìn)行選擇。然而，由于dap組合的小波沒(méi)有分析表，因此相應(yīng)函數(shù)及其自身的導(dǎo)數(shù)沒(méi)有分析表，這不僅降低了計(jì)算的精度，而且影響到計(jì)算效率。在這項(xiàng)工作中，我們選擇了shannon尺度模型的基函數(shù)，該函數(shù)具有插值特性和各層導(dǎo)數(shù)，并使用小波配置法對(duì)熱傳導(dǎo)方程進(jìn)行空間離散。然后使用kubu泛在方程中求解，使方程的解更好地簡(jiǎn)化并獲得一定的精度。1shannon小波配點(diǎn)法1.1定義基函數(shù)小波配點(diǎn)法是用小波函數(shù)或與之對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)或它們的組合作為基函數(shù),要求基函數(shù)具有插值特性,使用的插值點(diǎn)是根據(jù)不同的尺度事先配置好的.考慮一維函數(shù)f(x),取Shannon尺度函數(shù)作為基函數(shù),由于均勻離散比非均勻離散的情況要簡(jiǎn)單和方便,所以按多尺度分析理論對(duì)函數(shù)f(x)在其定義域[0,l](l>0)內(nèi)進(jìn)行均勻離散,單元網(wǎng)格大小記為Δ=l2j(j為適當(dāng)?shù)恼麛?shù)),網(wǎng)格點(diǎn)坐標(biāo)記為xi=iΔi=0,1,…,2j(1)定義基函數(shù)為wj(x-xk)=sinπΔ(x-xk)πΔ(x-xk)(2)定理1基函數(shù)(2)滿足以下性質(zhì):1)插值性wj(xi-xk)=δik(3)2)正交性∫+∞-∞wj(x-xi)wj(x-xk)dx=Δδik(4)3)再生性對(duì)于任意自然數(shù)n,有∫+∞-∞wj(x-xi)dnwj(x-xk)dxndx=Δdnwj(xi-xk)dxn(5)證明這里性質(zhì)1)顯然,只需證明性質(zhì)2)和性質(zhì)3).基函數(shù)wj(x-xi)的Fourier變換為?wj(ω)={Δ-πΔ≤ω≤πΔ0其它由Parseval恒等式可得∫+∞-∞wj(x-xi)wj(x-xk)dx=12π∫+∞-∞?wj(ω)eixiω?wj(ω)e-ixkωdω=Δ2π∫πΔ-πΔΔeiω(xi-xk)dω=Δwj(xi-xk)利用性質(zhì)1)得∫+∞-∞wj(x-xi)wj(x-xk)dx=Δσik.同理,可由Parseval恒等式得∫+∞-∞wj(x-xi)dnwj(x-xk)dxndx=12π∫+∞-∞?wj(ω)eixiω?wj(ω)e-ixkω(iω)ndω=Δ2π∫πΔ-πΔΔeiω(xi-xk)(iω)ndω=Δdnwj(xi-xk)dxn.1.2有關(guān)2v.2vjvjvjvjvjvjvjvjvjvjvjvjvjz熱傳導(dǎo)方程為?u?t=a2?2u?x20<x<l,t>0(6)初邊值條件為u(x,0)=φ(x)0≤x≤lu(0,t)=u(l,t)=0t≥0}(7)Shannon尺度基函數(shù)(2)所張成的空間滿足以下定義:定義1設(shè)尺度空間Vj=span{?j,k(t)}k∈z,L2(R)空間中的一列閉子空間{Vj}j∈Z稱為L(zhǎng)2(R)的一個(gè)多尺度分析,如果滿足下列條件:1)…?V2?V1?V0?V-1?V-2…;2)∩j∈ΖVj={0};ˉ∪j∈ΖVj=L2(R);3)f(t)∈Vj?f(2jt)∈V0,j∈Z;4)f(t)∈V0?f(t-n)∈V0,對(duì)所有n∈Z;5)存在?∈V0,使得{?(t-k)|k∈Z}構(gòu)成V0的Riesz基.定理2u(x,t)(其中t是固定的)的近似解uj(x,t)∈Vj可表示為uj(x,t)=2j∑n=0uj(xn,t)wj(x-xn)(8)且uj(x,t)收斂于u(x,t).由式(5)和式(8)可得∫+∞-∞wj(x-xk)dmuj(x,t)dxmdx=Δdmuj(xk,t)dxm(9)對(duì)式(6)利用小波配點(diǎn)法可得∫-∞+∞wj(x-xk)?uj?tdx=∫-∞+∞wj(x-xk)a2?2uj?x2dx(10)其中,k=0,1,2,…,2j.由基函數(shù)wj(x-xk)的性質(zhì)及式(9),對(duì)式(8)進(jìn)行計(jì)算,可得下列方程組?uj(xk,t)?t=∑n=02ja2uj(xn,t)w″j(xk-xn)(11)其中,k=0,1,2,…,2j,此式是穩(wěn)定的.利用定義1可以證明定理2的收斂性以及式(11)的穩(wěn)定性,相關(guān)證明見(jiàn)文.將式(11)可簡(jiǎn)記為一齊次代數(shù)方程組??tVj=ΗVj(12)其中,Vj=(uj(x0,t),uj(x1,t),…,uj(x2j,t))TH=(a2W″(xk-xn))k×n(k,n=0,1,2,…,2j)2為vjn+1+t6vj1可以用式(12)代替式(6)求解.對(duì)于式(12)中的時(shí)間導(dǎo)數(shù),采用四階Runge-Kutta法離散,離散式子為Vjn+1=Vjn+Δt6(kj1+2kj2+2kj3+kj4)(13)其中:kj1=HVjn;kj2=Η(Vjn+Δt2kj1);kj3=Η(Vjn+Δt2kj2);kj4=H(Vjn+Δtkj3);n為時(shí)間層數(shù).利用式(1)和式(7)可得到Vj0的值,然后利用迭代公式(13)可得到不同時(shí)間參數(shù)下的偏微分方程(6)的數(shù)值解.3算法有效性驗(yàn)證考慮熱傳導(dǎo)方程?u?t=?2u?x20<x<2,t>0初邊值條件為:u(x,0)=sinπx0≤x≤2u(0,t)=0t≥0解析解為u(x,t)=e-π2tsinπx為了驗(yàn)證上述方法在數(shù)值求解偏微分方程中的有效性,表1給出了方程解的情況,其中j=6則空間劃分為Δ=132,時(shí)間劃分為Δt=0.0001s.計(jì)算誤差用‖u(x,t)-u(xk,t)‖2對(duì)比,分別是3.7×10-3,4.4×10-4,1.2×10-4.從表1可知,計(jì)算過(guò)程是穩(wěn)