大學(xué)數(shù)學(xué)(高數(shù)微積分)第十章線性函數(shù)第四節(jié)(課堂講義)

*第四節(jié)辛空間主要內(nèi)容辛空間的基本概念及性質(zhì)辛子空間及辛變換辛變換的性質(zhì)近年來(lái)有限維辛空間的理論在力學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、組合學(xué)等學(xué)科中日顯重要.我們?cè)谶@一節(jié)簡(jiǎn)略地介紹辛空間的一些性質(zhì)，特別是辛空間的子空間及辛自同構(gòu)(稱為辛變換)的性質(zhì).由前一節(jié)的討論，已經(jīng)得到下面兩點(diǎn)性質(zhì)：1.辛空間(V,f)中一定能找到一組基

1,

2,…,

n,

-1,

-2,…,

-n

滿足一、辛空間的基本概念及性質(zhì)f(

i,

j

)=0,-n

i,j

n,i+j0.這樣的基稱為(V,f)的辛正交基.還可看出辛空間一定是偶數(shù)維的.2.任一2n

級(jí)非退化反對(duì)稱矩陣K

可把一個(gè)數(shù)域

P

上2n

維空間V

化成一個(gè)辛空間，且使K

為某基e1,e2,…,en,e-1,e-2,…,e-n

下的度量矩陣.又此辛空間在某辛正交基

1,

2,…,

n,

-1,

-2,…,

-n

下的度量矩陣為f(

i,

-i

)=1,1

i

n,故

K

合同于J.即任一2n

級(jí)非退化反對(duì)稱矩陣皆合同于J.兩個(gè)辛空間(V1,f1)及(V2,f2)，若有V1

到V2的作為線性空間的同構(gòu)K

，它滿足f1(u,v)=f2(K

u,K

v),則稱K是(V1,f1)到(V2,f2)的辛同構(gòu).(V1,f1)到(V2,f2)的作為線性空間的同構(gòu)是辛同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)它把(V1,f1)的一組辛正交基變成(V2,f2)的辛正交基.兩個(gè)辛空間是辛同構(gòu)的當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的維數(shù).辛空間(V,f)到自身的辛同構(gòu)稱為(V,f)上的辛變換.取定(V,f)的一組辛正交基

1,

2,…,

n,

-1,

-2,…,

-n

V

上的一個(gè)線性變換K

，在該基下的矩陣為K，其中A,B,C,D

皆為n

n

方陣.則K是辛變換當(dāng)且僅當(dāng)KTJK=J，亦即當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立：ATC=CTA,BTD=DTB,ATD-CTB=E.且易證，|K|0，及辛變換的乘積、辛變換的逆變換皆為辛變換.設(shè)(V,f)是辛空間，u,v

V,滿足f(u,v

)=0則稱

u,v

為辛正交的.W

是V

的子空間，令W

={u

V|f(u,w

)=0,w

W}.(2)W

顯然是V

的子空間，稱為W

的辛正交補(bǔ)空間.定理7

(V,f)是辛空間，W

是V

的子空間則dimW

=dimV-dimW.證明取V

的一組基

1,

2,…,

2n

，W

的一組基

1,

2,…,

k.設(shè)f

在

1,

2,…,

2n

下的度量矩陣為A.一對(duì)向量

=(

1,

2,…,

2n)X，

=(

1,

2,…,

2n)Y，其中分別是

及

在基

1,

2,…,

2n下的坐標(biāo)向量，于是f(

,

)=XTAY.現(xiàn)設(shè)W

的基

1,

2,…,

k在V

的基

1,

2,…,

2n下的坐標(biāo)向量是

X1,X2,…,Xk.又f是非退化的，A

為可逆陣.因此又

W

當(dāng)且僅當(dāng)

1,

2,…,

k都與

辛正交當(dāng)且僅當(dāng)Y

滿足齊次線性方程組于是W

與(3)的解空間同構(gòu).(3)的解空間的維數(shù)為2n-k,就證明了dimW

=dimV-dimW.證畢定義11

(V,f)為辛空間，W

為V

的子空間.若W

W

,

則稱W

為(V,f)的迷向子空間；若W

=W

,即W

是極大的(按包含關(guān)系)迷向子空間，也稱它為拉格朗日子空間；若

W

∩

W

={0}，則稱W

為

(V,f)的辛子空間.二、辛子空間及辛變換例如，設(shè)

1,

2,…,

n,

-1,

-2,…,

-n

是(V,f)

的辛正交基，則L(

1,

2,…,

k)是迷向子空間.L(

1,

2,…,

n)是極大迷向子空間，即拉格朗日子空間.L(

1,

2,…,

k,

-1,

-2,…,

-k)是辛子空間.對(duì)辛子空間(V,f)的子空間U，W.通過(guò)驗(yàn)證，并利用定理7，可得下列性質(zhì):(1)

(W

)

=W

,(2)

U

W

W

U

,(3)

若U

是辛子空間，則V=U

U

,(4)

若U

是迷向子空間，則

(5)

若U

是拉格朗日子空間，則

定理8

設(shè)L

是辛空間(V,f)的拉格朗日子空間，

1,

2,…,

n是L

的基，則它可擴(kuò)充為(V,f)的辛正交基.證明由上面性質(zhì)(5)，知dimV=2n.用Li表示n-1維子空間L(

1,…,

i-1,

i+1,…,

n).由Li

L知Li

L

=L.再由定理7知L1

是n+1維子空間，故L1

中有向量

-1不在L

中，即f(

1,

-1

)

0.不妨設(shè)f(

1,

-1

)=1(否則把

-1換成它的適當(dāng)倍數(shù)).由于

-1

L1

，則f(

j,

-1

)=0,j=2,…,n.

然后在L2

選一向量

-2不在L

中，使f(

2,

-2)=1.設(shè)f(

-1,

-2)=

a，作

-2=a

-1+

-2，則有f(

2,

-2)=1及f(

-1,

-2)=-a+a=0,且顯然有f(

i,

-2

)=0,i=1,3,…,n.

如此繼續(xù)下去得到(V,f)

的基

1,

2,…,

n,

-1,

-2,…,

-n是(V,f)

的辛正交基.證畢推論設(shè)W

是(V,f)的迷向子空間，

1,

2,…,

n

是W

的基，則它可擴(kuò)充成(V,f