概率論期中測試題參考解答

優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料 歡迎下載《概率論》期中測試題參考解答1、(10分)設(shè)A、B、C表示三個隨機(jī)事件，試用事件A、B、C的運(yùn)算分別表示下列各事件：A不發(fā)生而B、C都發(fā)生；表示為：ABCAB、C三個事件至少有一個發(fā)生；表示為：AUBUC；或表示為：ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABCAB、C三個事件至多有一個發(fā)生；表示為：ABCUABCUABCUABCAB、C恰有兩個不發(fā)生；表示為：ABCUCABUBAC；AB、C都不發(fā)生；表示為：ABCAB、C三個事件不少于兩個發(fā)生；表示為：ABUBCUAC；或表示為：ABCUABCUABCUABCAB、C同時發(fā)生；表示為：ABCAB、C三個事件不多于兩個發(fā)生；表示為：AUBUC；或表示為：ABC或表示為：ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABCAB、C不全發(fā)生；表示為：AUBUC；或表示為：ABC或表示為：ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABCA、B、C恰有一個發(fā)生?或表示為：ABCUABCUABC2、(14分)已知P(A)0.6,P(AB) 0.3,P(B) 0.6,求：⑴P(AB)；(2)P(AB)；⑶P(AUB)；⑷P(AB)；(5)P(AB)；(6)P(BA)；(7)P(ABUA).解:(1)因?yàn)?.3P(AB)P(AB)P(A)P(AB)，所以有TOC\o"1-5"\h\zP(AB)P(A)0.3 [1 P(A)] 0.30.40.3 0.1；(2)P(AB)P(A)P(AB)[1 P(A)]P(AB)(10.6) 0.1 0.3(3)P(AUB)P(A)P(B)P(AB)0.40.60.10.9；(4)P(AB)P(AUB)1P(AUB)10.9 0.1；(5)P(AB)P(AB)P(B)0.1 1 .0.6 6 ；(6)P(B|A)P(AB)P(AB)0.3.4P(A)1P(A)0.4(7)…O11-xP[A(BUA)]P(ABUAA)廠Ir Or丿———P(BUA)P(B)P(A)P(BA)TOC\o"1-5"\h\zP(AB)P(B)P(A)[P(B)P(AB)]P(AB) 0.1 1P(A)P(AB)0.60.1 73、(8分)一個盒子中有10個球，其中4個黑球6個紅球，求下列事件的概率：A=“從盒子中任取一球，這個球是黑球”；⑵B=“從盒子中任取兩球，剛好一黑一紅”；(3)C=“從盒子中任取兩球，都是紅球”；(4)D=“從盒子中任取五球，恰好有兩個黑球”.優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料 歡迎下載213優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料 歡迎下載213解：(1)P(A)C11P(B)C：解：(1)P(A)C11P(B)C：C；-；(3)P(C)15(4)P(C)Cc6Cw10214、（3分）設(shè)甲、乙、丙三人同時獨(dú)立地向同一目標(biāo)各射擊一次，命中率分別為m2，求目標(biāo)被命中的概率.323解：設(shè)A1=甲命中目標(biāo)”A2=乙命中目標(biāo)”Aj=丙命中目標(biāo)”；A=目標(biāo)被擊中”貝UAUA?UA3，且A|,A2,A3獨(dú)立。故有，1P(A1)P(A2)P(A31P(A1)P(A2)P(A3)1(11/3)(11/2)(12/3) 8/95、（6分）設(shè)某批產(chǎn)品中，甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%、35%和20%，各廠的產(chǎn)品的合格品率分別為96%、98%、95%.現(xiàn)從中任取一件，（1）求恰好取到不合格品的概率；（2）取到的不合格品是由甲廠生產(chǎn)的概率.解：設(shè)A=任取一件產(chǎn)品，恰為不合格品”Bi=任取一件產(chǎn)品，恰為第i條流水線生產(chǎn)”i=甲，乙，丙。P（B甲）0.45，P（B乙）0.35，P（B丙）0.20,P（A|B甲）0.04，P（A|B乙）0.02，P（A|B丙）0.05。（1） 由全概率公式有：P（A）P（B甲）P（A|B甲）P（B乙）P（A|B乙）P（B丙）P（A|B丙）=0.450.04+0.350.02+0.20.05=0.035（2） 由貝葉斯公式有：P(B甲|A)=P(B甲)P(A|B甲)=史P(B甲|A)P(A) P(A) 0.035

6、(8分)在電源電壓不超過200伏,在200~240伏和超過240伏三種情形下,某種電子元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2.假設(shè)電源電壓X~N(220,252),試求：(1)該電子元件損壞的概率；(2)在該電子元件損壞時，電源電壓在200~240伏的概率.(注：(0.8)0.7881)電源電壓解：設(shè)人=該電子元件損壞”B1=電源電壓不超過200伏”B2=電源電壓在200~240伏”B3=電源電壓超過240伏”已知P(A|BJ0.1，P(A|BJ0.001，P(A|B3)0.2P(B1)P(X200)(害)(0.8)125(0.8)0.78810.2119，P(B2)P(200240220 200:240) (—25-) (—25220)(0.8)10.5762，P(B3)P(X240)1P(X240) 1 (240220) 125(0.8) 0.2119，(1)由全概率公式有:P(A)P(B1)P(A|BJP(B2)P(A|B2)P(B3)P(A|B3)=0.21190.1+0.57620.001+0.21190.2=0.064146(2)由貝葉斯公式有:P(B2|A)=卩(&)卩(人|&)=O.57620.°01=0008983P(A) P(A) 0.064146P(A)7、(6分)設(shè)在一次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為p，現(xiàn)進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn),試求:(1)A恰好發(fā)生兩次的概率;(2)A至少發(fā)生兩次的概率；(3)A至多發(fā)生兩次的概率.解：設(shè)X表示n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，易知X~b(n,p)。(1)P(X2)2 2 n2CnP(1P)；(2)P(X2)nCii ninP(1P)i2或P(X2)P(X0)P(X0 0 n0 1 1 n11) 1CnP(1P) CnP(1P)1(1p)n叩(1p)n1;2P(X2) cnpi(1p)ni；i0設(shè)為X1,X2,X3,設(shè)為X1,X2,X3,記(3)P{2X4}.3,4,5且有Xmin{x,,X2,X3}，求：⑴X的分布列；（2）X的分布函數(shù);解：（1）隨機(jī)變量X3,4,5且有p(x3)C命；P（x4）5)C；10。所以X的分布列為:（2）分布函數(shù)F（x）X345P6/103/101/100x（2）分布函數(shù)F（x）X345P6/103/101/100x36/10；3x49/104x5(3)P(2X4)P(X3)P(X4)9/109、（6分）設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F（x）0,x20.3,2x10.5,1x3，-求:0.7,3x71,x7（1）X的分布列；（2）E（X）；（3）Var（X）.解：（1）X的可能取值為分布函數(shù)F（x）的間斷點(diǎn)：-2,1,3,7;P(X2)F(2)F(10)0.30 0.3；P(X1)F(1)F(10)0.50.30.2；P(X3)F(3)F(30)0.70.50.2；P(X7)F⑺F(70)10.70.3；所以X的分布列為：X丨-2 1 3 7優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料 歡迎下載5050612；優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料 歡迎下載5050612；0.3(2)E(X)20.310.230.270.32.3；(3)2E(X)2222(2) 0.31 0.23 0.27 0.317.9；Var(X)222E(X)[E(X)] 17.92.3 12.61。0.30.20.2P10、(3分)隨機(jī)變量X服從泊松分布,且P(X0)P(X1)，求P(X解：因?yàn)閄服從泊松分布，即X~P()，故X的分布列為：P(Xk)2).ke，k!0因?yàn)镻(X0)P(X1)，所以有一e0!所以P(X2) ^12!11、(14分)設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)kx,220,其它4，(1)確定常數(shù)k；(2)求隨機(jī)變量X的分布函數(shù);⑶求P1(4)求E(X)；(5)求Var(X).解：(1)由1f(x)dx3kxdx043(2￡)dx，26；故f(x)6,02P0,其他(2)X的分布函數(shù)F(x)P(Xx)f(t)dt(i)當(dāng)x0時，F(xiàn)(x)xf(t)dt0dt0；(ii)當(dāng)0x3時，F(xiàn)(x)f(t)dt00dt2x優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料 歡迎下載1；21；2180優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料 歡迎下載優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料 歡迎下載X 2101 2X 2101 2(iii)當(dāng)3x4時,F(x)xf(t)dt0dt3idt06x3(22x(iv)當(dāng)x4時,F(x)xf(t)dtOdt3-dt0643(2x40dt1；故F(x)2x02x122x410x33x4(3)f(x)dx3-dx16(24148f(2)F(1)1121 。48(4)E(X)xf(x)dx-dx6(2-)dx2(5)2E(X)2x2f(x)dx3x2x—dx6x(22)dx37；6Var(X)E(X2)[E(X)]237613。1812、（3分）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下，試求YX2X的分布列.X21012P0.30.20.10.30.1解：因?yàn)?

P0.30.20.10.30.1YX2X2002613、（8分）設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fX（x）-x, 0x3求（隨9 ，求：（1）隨0,其它機(jī)變量Y2X8的密度函數(shù)；（2）求E（Y）；（3）求Var(Y).解：（1）分布函數(shù)法:13、（8分）設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為fX（x）-x, 0x3求（隨9 ，求：（1）隨0,其它機(jī)變量Y2X8的密度函數(shù)；（2）求E（Y）；（3）求Var(Y).解：（1）分布函數(shù)法:記Y2X8的分布函數(shù)與密度函數(shù)分別為:FY（y），fY（y）;則有:Fy(Y)P(Yy)P(2X8y)P(X（i）當(dāng)y8n0，即y8時2y8y8FyW)2fx(x)dx 20dx0；(ii)當(dāng)0 冷8 3，fx(x)dx14時FY(y)fx(x)dx0dx(y8)236何當(dāng)寧3，即14時FY(y)fx(x)dx0dx32x,

dx

09y8~0dx3故FyW) 丄8136114，fY(y)FyW)8y14y14其它Y026P0.30.60.1

公式法:因?yàn)閥g(x)2x8在(,)上嚴(yán)格遞增;y 8 1其反函數(shù)為xh(y) ，且h(y) ，故有:fx[h(y)]|h(y)|0h(y)fx[h(y)]|h(y)|0h(y)fy(y)(3)E(X(3)E(X2)x2fx(x)dx-xdx92y81oy84 -y88y149222180其它0其它(2)E(X)32xfX(