《應用數(shù)學基礎(chǔ)下》課件第十五章　典型習題解答與提示

第十五章導數(shù)的應用典型習題解答與提示習題15-11．（1）①函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)是顯然的，②因，所以在開區(qū)間上可導，③，即滿足特例中三個條件，所以有一點，有成立；（2）①函數(shù)的閉區(qū)間上連續(xù)是顯然的，②因，故在開區(qū)間上可導，滿足拉氏定理條件，因，令，即，故，取有成立；（3）提示：，因為，令，可求取；（4）提示：，因，令，可得。2．（1）函數(shù)，在區(qū)間上滿足拉氏定理的條件，故，即；（2）函數(shù)在上滿足拉氏定理的條件，故，顯然有，即有；（3）因函數(shù)在區(qū)間上滿足拉氏定理的條件，故，注意到余弦函數(shù)在第1象限為減函數(shù)，即，所以，即，注：當且僅當時，不等式取等號；（4）函數(shù)在區(qū)間上滿足拉氏定理條件，故，即。3．（1）因，故函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)；（2），則函數(shù)在整個數(shù)軸上單調(diào)增，當然在上為增函數(shù)。4．（1）函數(shù)在，上為單調(diào)增，在上為單調(diào)減；（2）函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)減，在區(qū)間上為單調(diào)增；（3）函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)增，在區(qū)間為單調(diào)減；（4），令，當時，，當－2＜＜－1時，當時，，當時，故函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)增，在上為單調(diào)減；（5）因，令，則，當時，，則為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，當時，，則為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（6），則函數(shù)在上為單調(diào)增。5．（1）提示，令，則，當時，；（2）提示，令，故；（3）設(shè)，所以，因為當，所以，函數(shù)在上為單調(diào)增，由，即；（4）設(shè)，則，故函數(shù)在上為單調(diào)增，所以，即。6．（1）因，所以在為單調(diào)增，但作為的函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)；（2）在上單調(diào)增，但在上不是單調(diào)函數(shù)。習題15-21．（1）極大值，極小值；（2），令，，所以，則函數(shù)在處有極大值，，即函數(shù)在，有極小值；（3）函數(shù)在處取得極小值；（4）函數(shù)在處取得極小值；（5），令，為整數(shù)，，故當時，，函數(shù)有極大值；當時，，函數(shù)有極小值；（6），則，故，令，當時，，當時，，即函數(shù)在處取得極大值；（7），當時，不存在且函數(shù)在處連續(xù)，當時，；當時，，即函數(shù)在處取得極大值；（8），因，故，即函數(shù)在上為單調(diào)增，無極值。2．，取，令，得，,故當時，函數(shù)在處取得極大值為。3．，由題已知條件，故即函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，即它無極值。習題15-31．（1）因，即函數(shù)在上遞增，最小值為，最大值為；（2）函數(shù)在區(qū)間上最小值為，最大值為；（3），令，考慮，，則函數(shù)在區(qū)間上最大值為，最小值為；（4），令，考慮，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為；（5），令，得，因為，則函數(shù)在區(qū)間上最大值為，最小值為。2．當?shù)酌姘霃綖?，高為時，用料最省。3．當寬為5m，長為10m時，所圍長方形面積最大。4．設(shè)圓的半徑為，則矩形的高為，故截面面積，故，令，m，依題意必存在極大值。即當矩形底邊約為m，高約m時，截面面積最大。5．設(shè)C距A在輸電線上的垂足為km，則電線總長為，則，令，則，依題意必存在極小值，所以當變壓器裝置在距A垂足km處，所用電線最省。6．提示：設(shè)斷面的寬為，這時高滿足，則有函數(shù)，求并解，當截面矩形寬為，高為時，強度最大。7．設(shè)圓錐底面半徑為，高為，則，則，令，即，依題意必存在極大值，所以當炸藥包被埋在深為處，爆破體積最大。習題15-41．（1）函數(shù)曲線在內(nèi)呈現(xiàn)凹狀；（2）函數(shù)曲線在內(nèi)呈現(xiàn)凸狀；（3）函數(shù)曲線在內(nèi)呈現(xiàn)凹狀；（4），即當、曲線呈現(xiàn)凸狀，當、曲線呈現(xiàn)凹狀；（5），令，當、曲線呈現(xiàn)凹狀，當、曲線呈現(xiàn)凸狀，當、曲線呈現(xiàn)凹狀。2．（1）在區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)凸狀，在區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)凹狀，點為拐點；（2）在曲線呈現(xiàn)凸狀，曲線呈現(xiàn)凹狀，拐點；（3），令，求得，則當時、曲線呈現(xiàn)凹狀，當時、曲線呈現(xiàn)凸狀，即凹區(qū)間為，凸區(qū)間為，拐點為；（4），當時，不存在，但函數(shù)在處連續(xù)，當時，，當時，，即區(qū)間呈現(xiàn)凸狀，區(qū)間呈現(xiàn)凹狀，（2,0）為拐點；（5）提示：參見第五節(jié)中例2。3．，取時，令及曲線過點，有，則，這時，，當從1的一側(cè)變化到另一側(cè)時，變號，即當時，點為曲線的拐點。4．因，令得，因在這些點的左右兩側(cè)均改變符號，所以點，，都是拐點。因為，，即這三個拐點位于同一條直線上。習題15-5略習題15-61．（1）；（2）；（3）2；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）。2．（1）0；（2）；（3）0；（4）；（5）；（6）令，則，故，即，所以；（7）設(shè)，則，故則，即；（8）令，則，則，所以。3．（1），若用洛必達法則，原式不存在，所以（1）不能用洛必達法則；（2），若用洛必達法則，原式與原題相比，沒有任何改進，再用一次洛必達法則，又變回原題，故（2）也不能用洛必達法則。*習題15-71．。2．（1）；（2）平均變化率約為；（3）。3．，因為，所以。4．，令；，所以生產(chǎn)50000單位時，利潤最大。5．因為（1），所以；，所以；；（2）令，所以。，所以當時，總收益最大。6．，所以總收益，成本，所以利潤，所以；令，所以；，所以當時，收益最大。7．因為，所以。復習題十五1．（1）①函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)是顯然的，②因，則函數(shù)在開區(qū)間上是可導的，因，則，使成立；（2）①因，所以，即函數(shù)在分斷點處連續(xù)，從而函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，②，，故，當時，；當時，，由上可知，在開區(qū)間上可導，所以滿足拉氏定理的條件，考慮，取或取，都有成立；（3）①函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)是顯然的，②，則函數(shù)在開區(qū)間上可導，故，滿足成立。2．（1）證：函數(shù)在區(qū)間上滿足拉氏定理條件，則有，故，即，推出；（2）證：令，故在時為單調(diào)增，則，即成立；（3）證：函數(shù)在閉區(qū)間上滿足拉氏定理條件，則，，故，即。故。3．（1），令；，不存在，則當時，；當，；當時，，即區(qū)間和，函數(shù)為單調(diào)增；，函數(shù)為單調(diào)減；（2），則當時，，函數(shù)為單調(diào)減，當時，，函數(shù)為單調(diào)增；（3），則函數(shù)在上為單調(diào)增；（4），令，當時，；當時，；當時，，即函數(shù)在區(qū)間和上為單調(diào)增；上為單調(diào)減。4．（1），令，當時，；當時，；當時，，即函數(shù)在處有極小值；在處有極大值；（2），令，當時，；當時，；當時，，即函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值；（3），令，，當時，；時，；時，，因函數(shù)在處不連續(xù)，因此函數(shù)在處取得極大值，在處不取極值，當從1的左側(cè)變化到1的右側(cè)時，不變號，即不是極值點；（4），令，，，當時，不存在；當時，；當時，；當時，；當時，，因此函數(shù)在處有極小值；在處有極大值；在處有極小值。5．（1），令，則，即最小值為，最大值；（2）提示，，最小值，最大值。6．設(shè)所求直線方程為，令；令，設(shè)截距之和為，則，令，。，，即當時，S有極小值。這時所求直線方程為，即。7．設(shè)在處視角為，如圖15-2所示，則，，42圖42圖15-2復習題十五中7圖示令，依題意必存在極大值，即在矩形幕底邊m處，視角最大。8．設(shè)圓柱底面半徑為，則高，總成本為，則。令，這是高。依題意必存在極小值，即當?shù)酌姘霃綖?，高為時，造價最低。9．（1），令，因函數(shù)為奇函數(shù)，故只考慮情況，當時，，曲線為凸；當時，，曲線為凹；由對稱性知和，曲線為凸；和，曲線為凹，點，，為拐點。（2），令，當從的一側(cè)變化到另一側(cè)時，變號，容易得出，在區(qū)間和內(nèi)，，曲線為凹；區(qū)間上，，曲線為凸；（3），，令，因函數(shù)為奇函數(shù)，故只考慮情況，當，，曲線為凸；當，，曲線為凹；由對稱性知，曲線為凸；，曲線為凹，拐點為。10．因，故有，即。[當從1的一側(cè)變化到另一側(cè)時，變號，即確為拐點]。11．略。12．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）令，則，故，即當時，，原式；