運用均值定理求最值的：幾點注意和常用方法與技巧(精)

僅當 時等號成立”是一個應用廣泛的不等式，許多外形與它截然相異的函數(shù)式，常常也能利用它巧妙地求出最值。且運用均值定理求最值是歷年來高考的熱點內容。因此必須掌握用重要不等式求函數(shù)的最值。一、重視運用過程中的三個條件：“正數(shù)、取等、定值”。（1）注意“正數(shù)”。例1、求函數(shù) 7的值域（僅當：：時取等號），所以值域為：,這里錯誤在于使用均值定理'A-C時忽略了條件:所以函數(shù)的值域是（僅當：：時取等號），所以值域為：,這里錯誤在于使用均值定理'A-C時忽略了條件:所以函數(shù)的值域是_l/i■'2）注意“取等”例2、設'卜'，求函數(shù)'" '的最小值誤解：拿到很容易想到用均值定理，所以有O

O這里的錯誤是沒有考慮等號成立的條件。顯然要八 ??，這樣的不存在'■，故-寸師字-土吋取等號）O-寸師字-土吋取等號）OVis正確解法：Vis3V18例3例3設魚縱比yW出丨［有岸2Ih!=乞求般*卽的最大值TOC\o"1-5"\h\z『斗X, $4# 「 I2l1 2 . 9■.■±v蘭 ,bx<> .'.iv+cy^—(a'-+b'+rty)=- (11誤解： " ^ ^ "所以"的最大值為「。這里（1）取等號的條件是僅當A "；由條件知這是不可能的，所以不可能取到上述的最大值。正確解法■-"■■- '■1 '■■'■"‘僅當"加時取\ay-bx覘c+眇三原？二3邁僅當｝/+/二3時取等等，所以 ' ：， ^-"匹國牡十by）n^=如取(3)注意“定值”例4、已知''■' ■- ?'■ —-■-'■1：<「O

OJnUL2I 2K=y=—tpj — M ——?以上過程只能說明當? '一。但沒有任何理由說明.■■-這種似是而非的錯誤解法，關鍵在于運用重要不等式放縮后的式子不是定值，致使得不出正確的結果。正確解法：a-ta-t.rt4y.丄(加巴勺7=A4 3 27"4”而―2^=1,所以"二嚴丄時戢等號疋陶大値為三所以僅當， ^ '二、常用處理方法和技巧(1)拆項、 5y=2x'4-—0)例5、求函數(shù)’ ; 的最小值解：冷辰"疵時取等號〉解：冷辰"疵時取等號〉3(目標求和的最值，所以湊積為定值，因此拆'為相同兩項，同時使得含變量的因子的次數(shù)和為零)(2)裂項_W勻⑴十X例6、設「：，求函數(shù)' 1的最小值解，=［（”+l）+4］［（用十1“丨］=亦|”—1522XriI）—I5- 1=—取答）A'4-1 X4-1 \ X+\ A4-I［先盡可能的讓分子變量項和分母相同(常用于分子所含變量因子的次數(shù)比分母的

含變量因子的次數(shù)大或相等時），然后裂項轉化為求和的最值，進而湊積為定值即使得含變量的因子I的次數(shù)和為零，同時取到等號]]所以僅當二（3）添項例7、求函數(shù) ?的最小值。（求和的最值，盡可湊積為定值，因此添加6,再減法6,即使得含變量的因子'的次數(shù)和為零，同時取到等號）。0,^>0dl.-I-=1■則浙y例8、若'■' ?的最小值◎廠如丁）（丄十-）=l+9-t-+— 10+-?J-— 16[-=空時取等）解：[所以求變量出現(xiàn)在分子，已知條件變量在分母，為此添上1（即乘1即乘1 $ y''）,變?yōu)榍蠛偷淖钪?，因此湊積為定值，即使得含變量的因子'的次數(shù)和為零，同時取到等號]丄2]所以僅當丄2]所以僅當2戶 時斛丿的最小值為164、放入根號內例9、求函數(shù)'"'1,1 、"的最大值y-xy-x2Jl一FJ￡(I-x解 'XK 、r5''時取等號）（把變量都放在同一條件下既根號里，求積的最值，湊和為定值，因此配變量次數(shù)相同且系數(shù)和為零，且取到等號）薔2爲因此僅當'例10、已知「''求函數(shù)1 「的最大值。,2解：「」,2解：「」■■ 11' 、、-I-■屮—g畔“=士取等）（求積的最值，湊和為定值，因此首先配變量次數(shù)相同，故把變量放到根號內使次數(shù)升高，再配次數(shù)相同和系數(shù)和為零，且取到等號）因此僅當5、分之變量常數(shù)化3x例、11設求函數(shù)? ：J的最大值。3.Y- 3v= = 十4-4 4X+—

（分子變量因子次數(shù)比分母的大且變量因子不為零，可同時除以分子所含變量因子化為前面形式解），所以僅當■6、取倒數(shù)6尸=八， 十 —1 2例12、已知 "''，求」的最小值。2 2 3——-4-——-I-?—22」.芒=2時取等）解：■（已知變量出現(xiàn)在分母，所求為變量積且出現(xiàn)在分子，故取倒數(shù)再如前面一樣求解）hyhy因此僅當練習：做學生用書的怎樣最值的相應的例題和練習題，簡略答案為：例1、（例1、（1）用橢圓的參數(shù)方程可把面積表示為角的函數(shù)即2）、打開絕對值要對變量的取值分類：<y 2<y 2>TOC\o"1-5"\h\z例2、（1）用圖形或添加輔助角或用萬能公式進而可解得? 。（3）由題'—宀 — -，然后兩邊平方再用判別式可得解為、-"。「門2 y=扣揮（川+ m例3、（1） ■'o（2） ' 這里均值定理取不到，故而用單2占応爲=4砧調性求解得 o測式（1）J15

sinf/?■位j二一 ‘1、B用二次函數(shù)性質可解得 。2、C最大利潤OOI廳I廳3、元后平方即可得解2 '」。4、用二次函數(shù)性質求解人、5、面積最大僅當半徑最大，

5、面積最大僅當半徑最大，毗——用單調性得-。+ 2〕則f.1+ 2〕則f.12辭-27、4X44"_2牡（2’4 令J=2所以，所以?. : l>2...I Z「二2）設直線方程然后用弦長公式及點到直線的距離公式可得例5、（1）找A的對稱點即可得交點（2，2），⑵用橢圓的第二定義得"卜習朋1-1尸川4冊|,過a作an垂直l于N,即可得最小值為5。例6、由題—I、' :令-■ '淞叫氓卄毗皆L."所以例7、利用橢圓的參數(shù)方程，并利用平面幾何知識知只需求"''的最值,-J--J-3｛血占■扌『+牛J<測式（2）測式（2）1、（1）由已知；… ■■…?一 -（2） 1丨d：，'I」】二、：，-?-」 /■二.Ij.■ : :,■■: ：i.2“- -I).2“- -I).沖E丄.s2、設tr-1|-](ry])選擇D4、（1）3、（1）' 「"'，⑵L-^max"~■、x=2sec^,_y=-2(Rg、x=2sec^,_y=-2(Rg[0,2jr))#