高中數(shù)學(xué)平面幾何強(qiáng)化訓(xùn)練（解析版）

高中數(shù)學(xué)

專題13平面幾何強(qiáng)化訓(xùn)練

1.順次連結(jié)圓f+V=9與雙曲線刈=3的交點(diǎn)，得到一個(gè)凸四邊形，則此凸四邊形的面積為.

【答案】6、可

【解析】

設(shè)4〃?，〃)("?>0,〃>0)為兩曲線在第一象限的一個(gè)交點(diǎn).由兩曲線既關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.乂關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

得另外三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為8(",/〃)，C(-m,-〃)，D(-n,~m).則四邊形ABCD為矩形，其面積

S=\AB\?|CD|=J2(m-?J2(m+n)2

=2y/(m2+n2-2mn)(m2+n2+2mri)=2J(9-6)(9+6)=6、虧.

故答案為：6百

2.一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)為8,面積為12,則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)的最小值=______.

【答案】18

【解析】

在ZL45c中，設(shè)BC=8,BC邊上的高為h,則=三x8xh=12,解得h=3.

2

在BC的側(cè)作直線！IIBC且與BC的距離為3,以［為對(duì)稱軸作出點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)C',連接BC',與!交于月‘，AA'BC

的周長(zhǎng)是最小的.

這是因?yàn)锳B+AC=AB+AC>BC=BA'+A'C'=BA'+4C,此時(shí)從‘8=A'C,

又因?yàn)锳'B?=BD2+A'D2=42+32=25,所以A'C=A'B=5.

因此zMBC周長(zhǎng)的最小值為5+5+8=18.

3.若邊長(zhǎng)為6的正NBC的三個(gè)頂點(diǎn)到平面a的距離分別為1,2,3,則"BC的重心G到平面a的距離

為.

【答案】{0,，p2}

【解析】

(1)當(dāng)AABC的三個(gè)頂點(diǎn)在平面a的同側(cè)時(shí)，由公式d=會(huì)產(chǎn)求得重心G到平面a的距離為2.

⑵當(dāng)AA8C的三個(gè)頂點(diǎn)中，其中一點(diǎn)與另兩點(diǎn)分別在平面a的異側(cè)時(shí)，求得重心G到平面a的距離分別為

°，”

故答案為：，、

m，r2)

4.順次連結(jié)圓/+)2=9與雙曲線沖=3的交點(diǎn)，得到一個(gè)凸四邊形，則此凸四邊形的面積為.

【答案】6V5

【解析】

設(shè)A(m,〃)(〃?(),〃>0)為兩曲線在第一象限的一個(gè)交點(diǎn).由兩曲線既關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.又關(guān)于直線產(chǎn)x對(duì)稱，

得另外三個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為8(“，〃?)，C(一"3一")，力(一〃，-m).則四邊形48co為矩形，其面積

S=\AB\-|CD|=y/2(m-n)2-J2(m+n)2

=2y/(m2+n2-2mn)(m2+n2+2mn)=2J(9-6)(9+6)=6V弓.

故答案為：6、虧

5.凸六邊形ABCDEF的6條邊長(zhǎng)相等，內(nèi)角A、B、C分別為134°、106°、134°.則內(nèi)角E是(用

度數(shù)作答).

【答案】134°

【解析】

不妨設(shè)邊長(zhǎng)為1,設(shè)AC、DF的中點(diǎn)分別為M、N,且A在DF上的射影為K,則

￡BAM=37°,zAMF=97°,^AFK=83°,即FK=cos83°,KN=AM=cos370.

又設(shè)z￡FN=x，則FN=cosx,利用FN=FK+KN,

我們有cosx=cos830+cos37°=2cos60°cos23°=cos230,

因此T=23。，即等腰ADEF的底角為23°,可見其頂角E為134°.

故答案為：134°

6.設(shè)點(diǎn)0為三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足關(guān)系式：si丁…皿=_.

S&ABC

【答案】T

O

【解析】

將5X+2而+3麗=3麗+2前+誣化為3a+而+2前=5,(0A+0B)+2(0A+0C)=0.

設(shè)M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，則加1=一2麗.

設(shè)△ABC的面積為S,由幾何關(guān)系知5U°H=：5,S^=^S,

Z3OC6

所以$二，。8+"4=—

5&ABC6

7.過動(dòng)點(diǎn)"作圓：(x-2y+(y-2)2=l的切線MN,其中N為切點(diǎn)，若|MN|=阿。|(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，

貝的最小值是.

7A/2

【答案】一匚

8

【解析】解答：由圓的方程可得圓心C的坐標(biāo)為(2,2),半徑等于1.

由歷(“力)，貝iJ|M/V|2=(a-2)2+(/>-2)2-12=。2+〃-4。一4分+7,

\MO\2=a2+b2.

由|M/V]=|MO|,得a2+b—4a-4b+l=a2+b2.

整理得：4a+4A7=0.

：.a,b滿足的關(guān)系為:4a+467=0.

求的最小值，就是求|MO|的最小值。

在直線4〃+4A7=0上取一點(diǎn)到原點(diǎn)距離最小，

由“垂線段最短”得，直線OM垂直直線4?+4Z?-7=0,

7

由點(diǎn)到直線的距離公式得：MN的最小值為：I1■=-V2.

,42+428

8.如圖，在四面體ABCD中，ZXABC為正三角形，AD=BD=2,ADJ_BD,ADJ_CD.則點(diǎn)D到面ABC的距離為

【答案】咨

3

【解析】

據(jù)題意得

AB=xAD2+BD2=2、，*

則8C=CA=AB=2>/2,

CD=、/4c2-AD2=2.

又Be?=BD2+CD2=BDLCD.

從而，以D為頂點(diǎn)的三面角均為直角.

設(shè)點(diǎn)D到面ABC的距離為h

故,口直H43CD=占卜-5"ec=，S&BCD

9.如圖，O。與正方形ABCD的邊AB、AD分別切于點(diǎn)L、K,與邊BC交于點(diǎn)M、P,BM=8厘米，MC=17

厘米.則0。的面積為平方厘米

【解析】

如圖，聯(lián)結(jié)0。的半徑OK、OL、0M,記半徑為r,作MNJ.0L于點(diǎn)N.

則。N=r—8.

又BC=BM+MC=25，故MB=BL=25-r.

在RtAONM中，由勾股定理得

r2=(25-r)2+(r-8)2

==13,r2—53（不合題意）.

故。。的面積為1697r平方厘米.

10.如圖，P月與。0切于點(diǎn)4,PC與00交于點(diǎn)8、C,P0與。。交于點(diǎn)D,AE1P。于點(diǎn)E.聯(lián)結(jié)BE并延

長(zhǎng)，與。。交于點(diǎn)F,聯(lián)結(jié)0C、OF、AD、AF.若zBC。=30°,LBFO=20c,則zDAF的度數(shù)為.

【答案】115°

【解析】

聯(lián)結(jié)OA、CD、CF.

因?yàn)镻A與0。切于點(diǎn)4，所以0A1P4

由4E1P0=>PA2=PE-P0.

又PA?=PBPC

nC、B、E、。四點(diǎn)共圓

=>AFEO=zBCO=30°.

MBFO=20°,故

A0F=130°=>zFCD=65°

=/LDAF=180e-zFCD=

11.給定平面上四點(diǎn)0、A、B、c,滿足OA=4,OB=3,OC=2,而?而=3.則5“8c的最大值為

【答案】2V7+空

2

【解析】

試題分析：

由已知OB-OC=3=3x2xcos乙BOC,得40C=60。，由余弦定理可得BC=V7,從而dOBC中邊BC邊

上的高為等，由0A=4知點(diǎn)4在以。為圓心，4為半徑的圓上，4到直線BC的距離最大值為4+等，."ABC

面積的最大值為］x(4+,)x〃=2々+嚀.

考點(diǎn)：向量的數(shù)量積，三角形面積最大值.

12.已知凸n邊形n個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)并且互不相等,最大內(nèi)角的度數(shù)為最小內(nèi)角的度數(shù)的3倍.則n

可以取到的最大值為.

【答案】20

【解析】

設(shè)n個(gè)內(nèi)角的度數(shù)按從大到小的次序?yàn)椋?t>d2>->8M

則E5U，％=i8O(n-2).

由n個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)知

180>d1=38n=%M177tdn<59.

再由n個(gè)內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)且互不相等知.

鮑<178—k(k=L2….,月—1).

故180(n-2)=比=1％M59+￡仁式178-4)=59+178(n-1)一:-l)n,

=n?+3"-482<0,

一一W9+4X492

=>n<----Z；----，

結(jié)合n為正整數(shù),知n<20.

因?yàn)楫?dāng)n=20時(shí)，

59+￡工式178—)=3251，

180(n-2)=3240,

所以,n個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為177,176,...,160,148,59滿足要求.

綜上,n可取到的最大值為20.

13.如圖，設(shè)△ABC的外接圓為。0,ZBAC的角平分線與BC交于點(diǎn)D,M為BC的中點(diǎn).若AADM的外接

圓OZ分別與AB、AC交于P、Q、N為PQ的中點(diǎn).證明：⑴BP=CQ；(2)MNIIAD.

H

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

⑴設(shè)A3=c,BC=a,AC-b

在△礪中,AD為如C的平分線,所以乳急故有梟=泰,

因此有詈=盤所以即=會(huì)

又叫$由BP-BA=BD-BM得BP

AB―2（b+c）

由CQ?CA=CM-CD,得CQ=

因此CQ=BP.

(2)連結(jié)BQ、PC,并設(shè)X、Y分別為BQ、PC的中點(diǎn)，易證XN平行且等于MY,所以四邊形為NXMY平

行四邊形，由CQ=BP知NX=NY,所以四邊形為NXMY菱形，從而MN平分zXNY,又AD平分

LBAC,ABIINX,ACIINY,所以MNIIAD.

14.如圖，001、(DO2與00?交于點(diǎn)P,O。］與0。2的另一個(gè)交點(diǎn)為月，經(jīng)過點(diǎn)4的一條直線分別與

。。工、。。2交于點(diǎn)8、C,AP的延長(zhǎng)線與。。3交于點(diǎn)D，作DEII8C與。。3交于點(diǎn)E,再作EM、EN分別與

0。1、。。2切于點(diǎn)M、M證明：EM2-EN2=DE-BC.

【答案】見解析

【解析】

聯(lián)結(jié)EP,與00/。。2、BC分別交于點(diǎn)5、T、Q.

由相交弦定理及切割線定理得a4-Q5=QS-QP,QAQC=QT-QP.

兩式相加得QA?BC=ST?QP=吃=*

乂DEIIBC=AAQP，ADEP

故等=.=詈=DE?BC=EP.5T=EP(ES-ET)

EP-ES-EP-ET=EM2-EN2.

15.如圖，△月8C的內(nèi)心為1,D、E、F分別是邊BC、以、AB的中點(diǎn)，證明：直線D1平分ADEF的周長(zhǎng).

【答案】見解析

【解析】

如圖①，不妨設(shè)之△月的內(nèi)切圓切、以、于、勺、

ABAC,BCBCA8TK2.

圖①

過T作內(nèi)切圓的直徑TK,過K作O/的切線分別交AC、AB于M、N,貝UMMIIBC.

由于。/是△的旁切圓，因

AMNAKt=AK2,MK=MK1,NK=NK2,

所以有AM+MK=AN+NK.

延長(zhǎng)A較BC于G,則8G=CT,因此DT=DG,

故D/是△TGK的中位線，所以DPIIAG,

因四邊形BDEF為平行四邊形，所以ADEPS^ABG,相似比為至==.

AB2

同理，ADEP-AACG,相似比為絲=三.

AC2

又注意AAMKSAACG,AANKSAABG,相似比均為江，

既然有AM+MK=AN+NK,所以AC+CG=AB+BG,

因此，DF+FP=DE+EP,即所證結(jié)論成立.

附注在幾何題中用到三角形內(nèi)切圓的一個(gè)基本性質(zhì).

如圖②，在AABC中，內(nèi)切圓0徹BC于D,

設(shè)DH是0/的直徑，若月皎8C于"，則=CD.

證明：過H作EFIIBC,點(diǎn)E、F分別在AB、ACk.

設(shè)。/的半徑為r,HF=x,CD=y,EH=z,BM=t,MD=d,

連結(jié)引、Cl、EKFI,由于￡7、F/分別平分一對(duì)互補(bǔ)角zBCF、zEFC,

2

所以4C7F=9(r,且ACD//HF,則'r=x"xyy'=r.

同理ABD/SA/HE,則華=「z(t+d)=/，

所以xy=z(t+d),則:=詈.①

又由EFIIBC,得上7=^=1所以三=四，②

y^dAMtzt

根據(jù)①②式得，—=^,所以t2+td=y2+yd,即6，一6。，+土+<0=0,

y。

由此得，y-t=O,BPt=y,也就是BM=CD.(同時(shí)也有CM=BD.)

16.如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中，自AD的中點(diǎn)M,作MN_LBC,ME_L>1B,MF1CD,N、E、F為垂足.

證明:MN過線段EF的中點(diǎn).

【答案】見解析

【解析】

如圖所示,在線段AB、CD上分別取點(diǎn)G、H,使GE=AE,HF=DF,則A、G、H、D四點(diǎn)共圓(以M點(diǎn)為該圓

的圓心),

所以rBGH=LADC=180s-LABC,

于是GH〃BC,則MNLGH.設(shè)垂足為K,于是K為GH的中點(diǎn)(圓心M至圓弦的垂線，平分該弦)，

這樣就有E、K、F、M為四邊形AGHD四條邊的中點(diǎn)，

因此四邊形EKFM為平行四邊形，

故其對(duì)角線互相平分，即MN過線段EF的中點(diǎn).

17.(1)已知P是矩形ABCD所在平面上的一點(diǎn)，貝D有PA2+pc2=pB2+PD2.試證明該命題

(2)將上述命題推廣到P為空間上任一點(diǎn)的情形，寫出這個(gè)推廣后的命題并加以證明.

(3)將矩形ABCD進(jìn)一步推廣到長(zhǎng)方體ABCD-&B1a%,并利用(2)得到的命題建立并證明一個(gè)新命題.

【答案】(1)見解析⑵見解析(3)見解析

【解析】

⑴如圖①，設(shè)在直角坐標(biāo)平面中，矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-a,—b),B(a,-b),C(a,b),D(-a,b),點(diǎn)

P(x,y)是直角坐標(biāo)平面上的任意一點(diǎn)，則

PA2+PC2=(x+a)2+(y+b)2+(x-a)2+(y—b)2

=2(x2+y2+a2+&2),

PB2+PD2=(x—a)2+(y+h)2+(x+a)a+(y-&)a

=2(x2+y2+a2+b2),

ii(.PA2+PC2=PB2+PD2.

(2)推廣命題：若棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，則有PA2+p。？=PB?+p).

證明：如圖②，設(shè)棱錐P-/1BCD的底面ABCD在空間直角坐標(biāo)系的x。)，平面上，矩形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

A(-a,-b.0),B(a,-b,0),C(a,b,0),D(-a,b.0),設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y,z),則

PA2+PC2=(x+a)2+(y+b)?+(z-0)2+(x-a)2+(y-h)a+(z-0)2=2(x2+y2+a2+b2+z2)

PB2+PD2=(x—a)2+(y+b)2+(z-O)2+(x+a)2+(y-b)2(z-0)2=2(x2+y2+a2+b2+z2)?

i^PA2+PC2=PB2+PD2.

⑶再推廣命題：設(shè)ABCD-A/WDi是長(zhǎng)方體，P是空間上任意一點(diǎn)，則

證明：如圖③，由(2)中定理可得

PA2+PC2=PB2+PD2.

PAf+PCI=PB：+PD?,

所以P否+PC；=PB；+PD}=PB2+PD2+PAI+PCI

18.如圖，在銳角AABC中，E、E是邊BC上的點(diǎn)，AABC、△ABD、AADC的夕卜心分別為0、P、Q.證明:

(1)AAPQ'-"AABC；

⑵若E01PQ,則QO1PE.

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

(1)如圖，連結(jié)PD、QD.

因?yàn)镻、Q分別為AABD、AADC的外心，所以PQ為線段AD的垂直平分線.

所以"PQ=2-LAPD=LABD=/.AB2C,/AQP=-eAQD=/ACD=UCB.

故△APQ-AABC.

(2)如圖，連結(jié)OA、OB、OP、PB、QC.延長(zhǎng)OQ與AC相交于點(diǎn)F.

由0、P、Q分別為AABC、△月BD、△ADC的外心，

知OP、OQ、PQ分別是線段AB、AC、AD的垂直平分線.

所以UPB=LAPD+zBPD=2(UBD+zBAD)=2UDC=zAQC.

又40BP=Z.OAP,zAQF=力QC=2PB=UP0.

所以A、P、0、Q四點(diǎn)共圓，LOAP=Z.OQP.

又EOLPQ,DQ1PQ,所以EOIIDA,/.OEC=￡ADC=\^APB=ABPO.

所以P、B、E、。四點(diǎn)共圓，LOEP=eOBP.

設(shè)EO、QO的延長(zhǎng)線分別與PQ、PE相交于M、N,

則zOEP=408P=NOAP=NOQP.故M、N、E、Q四點(diǎn)共圓.

XEO1PQ,所以NQNE=4QME=9(T.故QO_LPE.

19.在銳角^ABC中，已知NA=75。，AC=b,AB=c。求AABC的外接正三角形面積的最大值。

【答案】^(b2+c2+^bc)

【解析】

設(shè)4DEF為4ABC的外接正三角形,如圖1.

記NBAF=a.

則由正弦定理得

bsin(a+15°)csin(120°-a)

但s.。“sin600

故EF=AE+AF=:[(fesinl50?cosa+&cosl50-sina)+(卷CCOSQ+Resina)]

°)sina++fesinl5e)cosaj

-+&sinl5

41

+c2+hc(cosl5°+VJsinl5。)

2,------------------

=—V&2+c2+2bccos45°=+C2+y/2bc

6

當(dāng)a=7-arctan’時(shí)，上式等號(hào)成立.

于是，AABC的外接正三角形面積的最大值為

■-EF2=3(卷V&2+c2+y/2bcj

=y(b2+C2+V2&C).

20.如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)為5,延長(zhǎng)BA至點(diǎn)P,使得|AP|=9.D為線段BC上一點(diǎn)(包括端點(diǎn))，直線

AD與ABPC的外接圓交于E、F兩點(diǎn)，其中，\EA\<\ED\.

(1)設(shè)|8D|=x,試將|E川一|DF|表示為關(guān)于x的函數(shù)f(x)；

(2)求f(x)的最小值.

【答案】(l)f(x)=會(huì)篝(0WXW5)；(2)475

【解析】

(1)設(shè)u=\EA\,v=\AD\,w=\DF\.則f(x)=u-w.

在正AABC中，由余弦定理得u=y/\AB\2+\BD\2-2\AB\\BD\cos^ABD=Vx2-5x+25.

對(duì)APBC的外接圓運(yùn)用相交弦定理得EAAF=BA-AP,EDDF=BD-DC

=u(v+w)=45,(u+v)w=x(5-x)=>v(u-w)=x2-5x+45

X2-5X+45二-5*+45y?一

=>/(x)=u-w=-------=,(0<x<5)

V%X2-5X+45V'

(2)設(shè)t=VA--5x+25>0.則/■(>)=t+y>2=4百.

當(dāng)且僅當(dāng)t=Vx2-5x+25=2、月，BPx=審時(shí)，f(x)取到最小值4百.

21.如圖,在銳角AABC中，其外接圓圓心為0,半徑為R,A0的延長(zhǎng)線與ABOC的外接圓交于點(diǎn)4,B0的延長(zhǎng)線

與AAOC的外接圓交于點(diǎn)B',CO的延長(zhǎng)線與AAOB的外接圓交于點(diǎn)C'.證明：OA'?。8'?OC08R?

【答案】見解析

【解析】

設(shè)44'與BC、BB'與CA、CC'與AB的交點(diǎn)依次為D、E、F,△AOB、△BOC、△COA的面積依次記為0、&、S3

由B、0、C、A四點(diǎn)共圓

nZ.OBC=/.OCB=MO

,OA'OB

=△OBD—&OABn

UDUU

,OB'R2

OA=

ODOD

類似地，OB'=史OC'=—.由又=\OA-OBsinAAOB,S2=-OB-0CsinzB0C,53=-OA-OCsinzCOA,且

OEOF222

LBOC=2n-(UOB+“。4),知言=誓.

類似地，罟

故。，AO5OC_

R3-ODOEOF

^OA0B_PC

=ODOE"OF

S[+S?S]+Ss2+S

=-^7；---1------2+-±-z3

52S3S]

>=8

當(dāng)且僅當(dāng)51=S2=S?時(shí),上式等號(hào)成立,此時(shí)，AABC為正三角形.

故0H-OB'-0C>8H）當(dāng)且僅當(dāng)AABC為正三角形時(shí)，等號(hào)成立.

22.如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，邊BA、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,。工、。公分別為AABC、^DBC的內(nèi)心,

直線B。1與C0交于點(diǎn)H.證明：PHLOiO2.

【答案】見解析

【解析】

如圖，設(shè)直線。：。2與AB、CD分別交于點(diǎn)E、E,聯(lián)結(jié)0*C、0zB.

rD

C

由。，為△ABC的內(nèi)心知UOiC=180=-“UBC+UCB)=90°--/.BAC.

22

類似地，

ZB02C=90°-2-ZBDC.

又/LBAC=4DC,故q。2。=乙8。2。=8、Ox、。2、C四點(diǎn)共圓，

=>z￡O$=402cB=Z.O2CF,dO2c=4O、BC=z.OtBA.

則dEF=a0>B+LABOZ=zJ02C+gCF=dFE=PE=PF=△PEF為等腰三角形.

又H為48C、dCB的平分線交點(diǎn)，于是，”為APBC的內(nèi)心.

從而，PH1EF,即PHJ.010T

23.在正方形ABCD中，P為邊CD上一點(diǎn)(點(diǎn)P與頂點(diǎn)不重合).延長(zhǎng)AP,與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q.設(shè)

xABQ、△PAD、APCQ的內(nèi)切圓半徑分別為〃、0、3

(1)證明：沖240&，并指出點(diǎn)P在什么位置時(shí)，等號(hào)成立；

⑵若AB=1,證明：3-2々<琢+琢+琢2

【答案】(1)P為CD的中點(diǎn)(2)見解析

【解析】

⑴如圖

由AABQ-APDASAPCQ

=>r1：r2：r3=AB：PD：PC.

而AB=CD=PD+PC,故

r1=r2+r2>2y/r^

=埒24r20.①

當(dāng)且僅當(dāng)々=P3,即P為CD的中點(diǎn)時(shí)，式①等號(hào)成立.

(2)由(I)得q=r2+r3.

2

貝Urj+r/+r/=(?2+r3)+琢+琢

PC,”PC,

2

=(r2+r2—)+以+仁?麗/

1-PD,,,1-PD,

2

=(r2+r2--py-)+咤+琢(f->

=埒(盛+1+(^T)2)

=琢'2(募一焉+1)

1+PD-AP,11

=(-----2-----)2標(biāo)-而+D

(I+PDT'1+P出)2/11,4、

=-------------------------(-7---------1-1).

2KPD2PDJ

記血P=6(0<0<》

則嚀+琢+琢

11,

=-(1+tan，-+cot，6—cot&)

_1〔C03§+9in6-l.)2|>Tin6cos6)

2(sin^cos0)2"

令cosG+sin夕=t.

于是，\<t<0，且sind?cosd二=三.

從而，以+琢+以=高，其為關(guān)于t的單調(diào)遞減函數(shù).

故3-2后需

<琢+以+琢<品=：.

24.如圖，AP、AQ為00的切線，P、Q為切點(diǎn),M為線段PQ的中點(diǎn)，AKL為一條割線，直線

IIIAQ,與QK、QP、Q2分別交于X、丫、Z三點(diǎn)。證明：

(1)PM2=KM-ML;

(2)xy=yz.

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【解析】

(1)如圖，易知，A、M、。三點(diǎn)共線.聯(lián)結(jié)AO、OK、OP、OL、PK、PL.

在RtdAP。中，AP2=AM.AO.

5LAP2=AK-AL,^AM-AO=AK-AL,

=KM、0、L四點(diǎn)共圓，

=zAMK=￡KLO=AKO=4ZJVfO

=AKMP=LPML

==E0L=&QL

由"PM=&LQ,ML="KL，

=AKMP-AKQLAPML-AKQL,

=>AKMP，APML=>—=—,

PMML

=PM2=KM-ML.

⑵由⑴知：

dKMPsAPML=/LKPM=4PLM.

因?yàn)?所以，/J>LK=￡MLQ

又4KL=zMQL,貝必PLK-AMLQ

口巴.=2nPK.LQ=LK-MQ.

類似地，APLK?AMQKnPL?QK=LKMQ

故PL-LQ=PL-QK

=空=竺①

QKLQ

注意到，/.YXQ=UQX=￡KPQ.

則dQXK5他犬=77="色.②

類似地，yz=9衛(wèi).③

由式①、②、③得xr=yz.

25.如圖，點(diǎn)C在線段AB上，分別以AB、AC、CB為直徑作半圓。。、半圓。01、半圓。。2，形成的陰影

圖形稱作“皮匠刀形”，過點(diǎn)a乍AB的垂線與半圓。。交于點(diǎn)D,半圓。。工、半圓。。2的外公切線為EF.

證明：CD=EF.

【答案】見解析

【解析】

如圖，設(shè)

01c=a,C02=b.

n

則AB=2a+2b.

由CD?=AB,CB

=>CD2=2a-2b=4ab.①

聯(lián)結(jié)、過點(diǎn)以作的平行線，與。送交于點(diǎn)

OzE02F,EFP.

易知，在4。1。2尸中，

/.02P01=90°,02P=a—b,0,02=a+b.

故產(chǎn)=2。/-

E02P=OiOp

=(a+b~)2-(a-b)2=4ab.②

由①、②式得

CD2=EF2^>CD=EF.

26.如圖，在銳角AABC中，垂心”關(guān)于邊BC、CA.AB的對(duì)稱點(diǎn)分別為此、電、電,關(guān)于邊BC、CA.AB

的中點(diǎn)Mz、”2'的對(duì)稱點(diǎn)分別為。2、%、4.證明：

(1)凡、電、必、瓦、。2、D?六點(diǎn)共圓；

⑵S皿020s=

「

（3）S&XlNi!ii=45AH3H2H

A

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

證明：（1）如圖，作△ABC的外接圓00.

下面證明：N、、電、義、仄、。2、均在。。上

由此為△ABC的垂心H關(guān)于邊BC的對(duì)稱點(diǎn)，則”兄=

故△HBCWhN'BC

=4N*C7HC.

因?yàn)橐褺HC是乙必從心的對(duì)頂角，且u4“必+4AC=180',

所以四邊形ABMC中，

zJ3AC+zBMC=180。.

這表明，點(diǎn)4、B、乂、C同在。。上.

類似地，點(diǎn)聞、M也在。。上.

再由點(diǎn)內(nèi)為H關(guān)于邊BC在中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，則=D.At.

又BM2=CM「得四邊形2c為平行四邊形.

從而，zBD,C=LBN.C.

易知，zBAC+rBN2c=180°.

故+180c.

因此，點(diǎn)外在。。上.

類似地，點(diǎn)內(nèi)、%也在00上.

s

(2)由CH||DtB,4cH3A=90°，得〃18A=90.

因此，AO1為。0的一條直徑，即么為點(diǎn)A關(guān)于。的對(duì)稱點(diǎn).

類似地，D：為點(diǎn)8關(guān)于。的對(duì)稱點(diǎn)，％為點(diǎn)。關(guān)于。的對(duì)稱點(diǎn).

故Di。?=<B,D2D2-BC,D3=CA

=△。也D?=△ABC

⑶由H/z為△HMM的中位線知H#2IIN#2,2HtH2=NtN2.

類似地，

H2H3\\N2N3,2H2H3=N2N3；

/HJIMM，/H*=NaN*.

則UfzH]%=4必MM，