光纖中的色散和偏振模色散

光纖中的色散和偏振模色散7.0引言

色散實(shí)際上是所有光學(xué)材料的一個(gè)固有特性。這一現(xiàn)象主要表現(xiàn)為一束在透明介質(zhì)中傳輸?shù)墓獾南嗨俣龋ê腿核俣龋ζ漕l率（或波長）的依賴性。類似地，色散也存在于由透明材料制作而成的光纖中。正是由于色散的存在，一束光脈沖沿著光纖傳播時(shí)會(huì)發(fā)生展寬。這一展寬導(dǎo)致了相鄰脈沖重疊時(shí)信號的衰減。隨著傳播距離和傳輸速度的增加，這個(gè)問題會(huì)逐漸地變得更加嚴(yán)重。除了常規(guī)的色散外，光纖還具有雙折射的特性，即相速（群速）依賴于光束的偏振。雙折射是由于光纖本身的不理想性和（或）外界的干擾造成的。因此，兩個(gè)線性偏振模（如和）就不再簡并了。換言之，這兩個(gè)傳播的主模之間存在一個(gè)時(shí)延差——傳播速度慢的模式和傳播速度快的模式。時(shí)延的存在導(dǎo)致光脈沖的展寬和光信號的衰減。在本章中我們定量地討論在光纖中傳播的光脈沖的色散和雙折射效應(yīng)。7.1光傳輸系統(tǒng)中的色散

在第1章中我們采用折射率對光頻率（或波長）的依賴性來描述色散。這點(diǎn)對于討論在同性介質(zhì)中傳播的光脈沖時(shí)是非常重要的。由于色散的存在，光的群速度依賴于頻率（或波長）。這就是眾所周知的群速度色散（GVD）。在光電子學(xué)中，我們經(jīng)常要處理光波在各種光學(xué)系統(tǒng)中的傳輸，包括光纖，調(diào)制器，以及放大器。在這樣一個(gè)普通光學(xué)系統(tǒng)中的群速度色散，可以通過相移是頻率的函數(shù)來描述。7.2色散介質(zhì)中的光脈沖傳播

事實(shí)上在現(xiàn)代通信中，光纖中所攜帶的載流子基本上都是以數(shù)字脈沖的形式存在的，每個(gè)脈沖代表一個(gè)比特的信息。因此，脈沖越窄，在一個(gè)給定的時(shí)隙中就能容納更多的脈沖，更多的數(shù)據(jù)（比特）就能在時(shí)隙中傳輸。實(shí)際上，現(xiàn)代通信系統(tǒng)的脈沖寬度窄至，數(shù)據(jù)速率超過在一個(gè)的系統(tǒng)中，每秒鐘就有100億個(gè)比特。窄脈沖高速度的趨勢一直不會(huì)衰減。進(jìn)一步降低

脈沖寬度的限制因素是群速度對頻率的依賴導(dǎo)致的脈沖展寬。這一現(xiàn)象叫做群速度色散（GVD）。具體地講，我們考慮一種實(shí)際中特定的情形：單模光纖，通常的最低階基模，在處被一個(gè)時(shí)間高斯脈沖（7.2-1）激發(fā)。這里的是一個(gè)約束模式的波函數(shù)，是常數(shù)，是光載波的頻率?？紤]慢變包絡(luò)的情形以使包絡(luò)包含多個(gè)光振蕩，這種情形對應(yīng)于。我們可以把輸入脈沖表示為傅里葉積分的形式（7.2-2）式中是高斯包絡(luò)的傅里葉變換（7.2-3）在上面的公式中，忽略了波函數(shù)。波函數(shù)在信號頻帶范圍內(nèi)保持不變時(shí)，這種忽略是合理的。注意，高斯函數(shù)的頻譜函數(shù)也是高斯函數(shù)?？梢园咽剑?.2-2）看成是諧波場的集合，每個(gè)諧波都是其獨(dú)特的頻率和幅度。為了

獲得輸出平面處的場，需要用傳輸相位延遲因子（7.2-4）疊加公式（7.2-2）各個(gè)頻率分量結(jié)果為（7.2-5）其他形狀的脈沖

高斯形狀的光脈沖，經(jīng)過傅里葉變換后仍為高斯型，即頻譜在載波頻率附近服從高斯分布。實(shí)際上，光通信中的脈沖并不是嚴(yán)格的高斯脈沖，脈沖形狀的變化導(dǎo)致頻譜分布的變化，因而會(huì)影響到在色散介質(zhì)中傳輸后脈沖的展寬。圖7.3展示了三種不同脈沖的展寬。它們是梯形脈沖，高斯脈沖和余弦脈沖。注意它們有不同的頻譜分布和不同脈沖展寬。梯形脈沖具有最寬的頻帶寬度，這是由于陡峭邊緣的原因（陡峭的上升和下降）。頻譜分布越寬導(dǎo)致的脈沖展寬越大而“眼圖”恰越?。ㄒ妶D7.3）。通常，高斯脈沖具有最好的脈寬—帶寬積。這與物理最小波包的概念是一致的。眼圖是傳輸和網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)工程中用來描述數(shù)字二進(jìn)制脈沖由于傳輸過程中的脈沖展寬，畸變和噪聲導(dǎo)致的信號退化的一種方法。接收脈沖波流被呈現(xiàn)在存儲(chǔ)示波器中，示波器的水平掃描和比特速率相同。存儲(chǔ)示波器因而可記錄若干比特序列（伴隨著擴(kuò)展和畸變）而形成眼圖。具有大的“眼睛”的眼圖表示傳輸質(zhì)量高和比特率低。7.3光纖中的偏振效應(yīng)

前面已經(jīng)闡述了色散可以導(dǎo)致光脈沖的展寬，這一節(jié)中，我們可以看到光纖中的偏振效應(yīng)也會(huì)導(dǎo)致光脈沖的展寬。在第3章中，已經(jīng)討論了圓形介質(zhì)光纖中的傳播模，具體地說，討論了圓形介質(zhì)單模光纖中的線性偏振模。盡管被稱為“單?！?，這些光纖實(shí)際上支持兩種偏振狀態(tài)不同的（和）傳播模式，由于圓對稱性，這些傳播模式（和）是簡并的。換句話說，在任意給定的頻率，它們具有完全相同的傳輸常數(shù)，并且以嚴(yán)格相同的相位和群速度傳輸。實(shí)際上，并非所有的圓形介質(zhì)光纖都是嚴(yán)格圓形的。光纖的橫截面在一個(gè)方向上可以被壓平，在另一個(gè)方向被拉長，這就形成橫截面為橢圓形的纖芯。圖7.4顯示了橢圓纖芯的光纖中線偏振模的偏振狀態(tài)。非圓對稱特性形成了傳導(dǎo)模傳播常數(shù)的不同。即橢圓形的纖芯導(dǎo)致單模光纖中的雙折射。如果和軸分別對應(yīng)纖芯橢圓的長軸和

短軸，那么兩種偏振模式（和）將以不同的群速度傳輸。在實(shí)際的光纖中，橢圓形纖芯的長軸方向可能（由于光纖的彎折和扭曲）沿著光纖的方向變化。而且，由于光纖方向的拉力引起的光測彈性效應(yīng)能導(dǎo)致傳播模式之間的耦合。因此由于制造缺陷和環(huán)境干擾（彎折和扭曲等），光纖實(shí)際成為慢軸方向隨光纖位置不斷變化的雙折射率介質(zhì)。我們將看到這種雙折射會(huì)引起脈沖的畸變、展寬和限制光纖傳輸容量的系統(tǒng)損傷。7.4偏振主態(tài)為了分析偏振狀態(tài)的演變，我們把一長段光纖分割成許多均勻雙折射率的小段光纖。每段為單軸雙折射，并且具有固定的快軸和慢軸方向。在這種雙折射網(wǎng)絡(luò)中，輸入和輸出偏振狀態(tài)可用在第1章中討論的瓊斯矩陣方法分析獲得。圖7.6為一長段實(shí)際光纖雙折射光回路示意圖。在實(shí)際光纖中圓形對稱光纖產(chǎn)生的損失可能因?yàn)闄E圓形的纖芯或包層，或者因?yàn)閺澱酆团で鷫毫σ鸬母飨虍愋缘纫鸬摹?/p>

給定一個(gè)固定的輸入偏振狀態(tài)，輸出偏振狀態(tài)通常是光頻率的函數(shù)。下面，我們描述一些輸入偏振的特定狀態(tài)，被稱為主要偏振狀態(tài)（PSP）。在這些初始狀態(tài)下，輸出偏振狀態(tài)對光頻率的變化并不敏感。PSP的概念首先在1986年由Poole和Wagner提出。為了描述PSP的概念，我們假定光纖是無損的，是輸入光波的瓊斯矢量，輸出光波的瓊斯矢量寫為（7.4-1）

其中（）是第個(gè)雙折射元的瓊斯矩陣。總的瓊斯矩陣是所有瓊斯矩陣的積。對無損光纖，所有的瓊斯矩陣都是歸一的，因此可以寫成（7.4-2）式中，和是總的瓊斯矩陣的矩陣元。實(shí)際上，這些矩陣元可以通過計(jì)算各個(gè)矩陣的乘積獲得。這些矩陣元（和）取決于光的頻率和光纖中的雙折射分布。式（7.4-2）中的瓊斯矩陣是歸一的，因此(7.4-2)7.5偏振模色散的矢量分析在這一節(jié)我們使用瓊斯矢量表示法和斯托克斯矢量表示法描述偏振模色散（PDM）。泡利自旋矩陣提供了這兩種表示方法之間便利的聯(lián)系。斯托克斯矢量尤其適用于邦加球上輸出光束的偏振狀態(tài)變化的圖形表示法。首先引進(jìn)在偏振模色散分析中一些重要參數(shù)的定義和符號，然后描述瓊斯矢量表示法和斯托克斯矢量表示法之間的關(guān)系。在7.4節(jié)中，我們已通過瓊斯矩陣公式簡單描述了PSP的概念。在這一節(jié)，我們將利用斯托克斯矢量來處理，另外，還會(huì)介紹一些重要概念，包括PMD矢量和雙折射矢量，這些都是分析光纖網(wǎng)絡(luò)中偏振模色散的主要工具。最后，我們描述在任意雙折射率光纖中PMD矢量描述的一個(gè)動(dòng)態(tài)的方程和PMD矢量的連接法則。這節(jié)的討論主要參考了文獻(xiàn)[2]。瓊斯矢量和斯托克斯矢量

我們已經(jīng)描述了瓊斯矢量表示法和斯托克斯矢量表示法之間的關(guān)系。當(dāng)一束偏振光通過雙折射網(wǎng)絡(luò)傳播時(shí)，瓊斯矩陣是聯(lián)系輸出偏振狀態(tài)和輸入偏振狀態(tài)的矩陣。線性關(guān)系可以寫為（7.5-1）式中是輸入偏振狀態(tài)，是輸出偏振狀態(tài)，是的瓊斯矩陣。注意到矢量和矩陣都是復(fù)數(shù)。式（7.5-1）可被看做雙折射網(wǎng)絡(luò)偏振狀態(tài)的轉(zhuǎn)換方程。瓊斯矩陣的作用相當(dāng)于在二維復(fù)瓊斯空間的一次“旋轉(zhuǎn)”。如果我們把偏振狀態(tài)表示為斯托克斯空間的單位矢量，那么偏振狀態(tài)的轉(zhuǎn)化可以用三維斯托克斯空間的一次旋轉(zhuǎn)表示，數(shù)學(xué)表達(dá)式想、可以寫為

（7.5-2）式中是三元列矢量，表示輸入偏振狀態(tài)。是三元列矢量，表示輸出偏振狀態(tài)，是矩陣。斯托克斯矢量和矩陣都是實(shí)的。我們記得，一束偏振光的斯托克斯參數(shù)，因此，只需要三個(gè)參數(shù)就可描述偏振狀態(tài)?；谒雇锌怂故噶扛鱾€(gè)分量的定義（第1章），利用泡利自旋矩陣和瓊斯矢量，他們可以方便地寫成（7.5-3）或者用符號表示（7.5-4）這兩個(gè)方程是瓊斯矢量和斯托克斯矢量之間的關(guān)系式。PSP(偏振主態(tài))

至此，我們在瓊斯空間和斯托克斯空間均描述了主偏振態(tài)?？紤]一個(gè)有固定偏振態(tài)的光波通過一個(gè)感興趣的區(qū)域，研究輸出偏振態(tài)作為頻率的函數(shù)的變化。這可以通過考察輸出狀態(tài)對頻率的微商得到

（7.5-20）式中是固定的輸入偏振態(tài)，為雙折射網(wǎng)絡(luò)的瓊斯矩陣。對于一般的雙折射網(wǎng)絡(luò)，瓊斯矩陣是頻率的函數(shù)。一般地，輸出偏振態(tài)會(huì)隨頻率發(fā)生變化。我們所感興趣的是一系列特殊的輸入偏振狀態(tài)，在這些偏振狀態(tài)下輸出偏振狀態(tài)不隨頻率（對頻率的一階微分）的變化而變化。數(shù)學(xué)上，可以寫成（7.5-21）式中是常數(shù)。物理上，是由于傳輸導(dǎo)致的群時(shí)延。根據(jù)這個(gè)公式，頻率的變化僅僅導(dǎo)致相位因子的變化而不會(huì)改變輸出瓊斯矢量偏振狀態(tài)的變化。滿足上面公式的狀態(tài)被稱為偏振主態(tài)（PSP）輸出偏振模色散（PMD）矢量

輸出PMD矢量定義為斯托克斯空間中的矢量，它平行于輸出PSP慢模的斯托克斯矢量，大小為。對于單個(gè)雙折射網(wǎng)絡(luò)，群時(shí)延可以描述信號脈沖的展寬。當(dāng)多個(gè)雙折射網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)中，總的群遲延不是單個(gè)網(wǎng)絡(luò)群時(shí)延的和，而是單個(gè)雙折射網(wǎng)絡(luò)元的PMD矢量復(fù)雜的矢量和。本節(jié)的最后將討論這個(gè)問題。為了討論這個(gè)問題，需要引入PMD矢量的概念。PMD矢量可以由輸出PSP的瓊斯矢量得到，如下式所示（7.5-29）群時(shí)延由式（7.5-26）給出，輸出PSP的慢模的瓊斯矢量由式（7.5-27）給出。對于一個(gè)均勻雙折射率網(wǎng)絡(luò)或者波陣面，PMD矢量平行于慢模的偏振方向，其大小由式（7.3-1）給出。無窮小旋轉(zhuǎn)和微分方程

從剛體力學(xué)可知，當(dāng)旋轉(zhuǎn)為無限小時(shí)，旋轉(zhuǎn)定律變得尤為簡單?？紤]一段無限小的雙折射光纖，斯托克斯空間的旋轉(zhuǎn)角正比于光纖的長度即

（7.5-35）式中為雙折射的度量，和分別為慢模和快模對應(yīng)的折射率。根據(jù)式（7.5-14），表示輸入-輸出關(guān)系的瓊斯矩陣可以寫為式中是斯托克斯空間的旋轉(zhuǎn)軸。根據(jù)式（7.5-19），旋轉(zhuǎn)矩陣可以明確寫為