數(shù)字圖像處理-胡學龍等-第03章-圖像變換

（a）信號的頻譜圖（b）圖（a）的灰度圖圖3.2信號的頻譜圖二維信號的頻譜圖3.1.2二維離散傅里葉變換連續(xù)傅里葉變換無法用數(shù)字計算機實現(xiàn)，而離散傅里葉變換建立了離散時間域與離散頻率域之間的關系，物理意義強且具有快速算法，在信號分析與圖像處理領域具有很大的使用價值。尺寸為M×N的離散圖像函數(shù)的DFT反變換可以通過對F(u,v)求IDFT獲得（3.3）（3.4）

DFT變換進行圖像處理時有如下特點：（1）直流成分為F(0,0)，在頻譜原點的傅里葉變換等于圖像的平均灰度級。（2）幅度譜|F(u,v)|對稱于原點。（3）圖像f(x,y)平移后，幅度譜不發(fā)生變化，僅有相位發(fā)生了變化。（3.5）（3.6）3.1.3二維離散傅里葉變換的性質1．周期性和共軛對稱性周期性和共軛對稱性來了許多方便。我們首先來看一維的情況。設有一矩形函數(shù)為,求出它的傅里葉變換：幅度譜：

（a）幅度譜（b）原點平移后的幅度譜圖3.4頻譜圖DFT取的區(qū)間是[0,N-1]，在這個區(qū)間內頻譜是由兩個背靠背的半周期組成的，要顯示一個完整的周期，必須將變換的原點移至u=N/2點。根據(jù)定義，有

在進行DFT之前用(-1)x

乘以輸入的信號f(x)，可以在一個周期的變換中（u＝0，1，2，…，N－1），求得一個完整的頻譜。（3.7）推廣到二維情況。在進行傅里葉變換之前用(-1)x+y

乘以輸入的圖像函數(shù)，則有：DFT的原點，即F(0,0)被設置在u=M/2和v=N/2上。(0,0)點的變換值為：即f(x,y)的平均值。如果是一幅圖像，在原點的傅里葉變換F(0,0)等于圖像的平均灰度級，也稱作頻率譜的直流成分。

（3.8）（3.9）（a）原始圖像(b)中心化前的頻譜圖(c)中心化后的頻譜圖圖3.5圖像頻譜的中心化2．可分性離散傅里葉變換可以用可分離的形式表示這里對于每個x值，當v＝0，1，2，…，N－1時，該等式是完整的一維傅里葉變換。（3.10）（3.11）二維變換可以通過兩次一維變換來實現(xiàn)。同樣可以通過先求列變換再求行變換得到2DDFT。

圖3.6二維DFT變換方法3．離散卷積定理設f(x,y)和g(x,y)是大小分別為A×B和C×D的兩個數(shù)組，則它們的離散卷積定義為卷積定理

（3.12）（3.13）【例3.2】用MATLAB實現(xiàn)圖像的傅里葉變換。解：MATLAB程序如下：

A=imread('pout.tif'); %讀入圖像imshow(A);%顯示圖像A2=fft2(A); %計算二維傅里葉變換A2=fftshift(A2); %將直流分量移到頻譜圖的中心 figure,imshow(log(abs(A2)+1),[010]);%顯示變換后的頻譜圖

（a）原始圖像（b）圖像頻譜圖3.7傅里葉變換3.2二維離散余弦變換（DCT）任何實對稱函數(shù)的傅里葉變換中只含余弦項，余弦變換是傅里葉變換的特例，余弦變換是簡化DFT的重要方法。3.2.1一維離散余弦變換將一個信號通過對折延拓成實偶函數(shù)，然后進行傅里葉變換，我們就可用2N點的DFT來產生N點的DCT。

1．以x=-1/2為對稱軸折疊原來的實序列f(n)得：＝（3.14）-N-10N-1NN+1f(n)圖3.8延拓示意圖2．以2N為周期將其周期延拓，其中f（0）＝f（－1），f（N－1）＝f（－N）

＝（3.15）＝（3.16）3．對0到2N－1的2N個點的離散周期序列作DFT，得令i＝2N－m－1，則上式為＝＝＋＋＝＝

為了保證變換基的規(guī)范正交性，引入常量，定義：F(k)＝C(k)C(k)=（3.17）其中（3.18）3.2.2二維離散余弦變換

（3.19）DCT逆變換為【例3.3】應用MATLAB實現(xiàn)圖像的DCT變換。解：MATLAB程序如下：A=imread('pout.tif'); %讀入圖像I=dct2(A); %對圖像作DCT變換 subplot(1,2,1),imshow(A);%顯示原圖像subplot(1,2,2),imshow(log(abs(I)),[05]);（3.20）（a）原圖（b）DCT系數(shù)圖3.10離散余弦變換3.3二維離散沃爾什-哈達瑪變換（DHT）前面的變換都是余弦型變換，基底函數(shù)選用的都是余弦型。圖像處理中還有許多變換常常選用方波信號或者它的變形。沃爾什（Walsh）變換。沃爾什函數(shù)是一組矩形波，其取值為1和-1，非常便于計算機運算。沃爾什函數(shù)有三種排列或編號方式，以哈達瑪排列最便于快速計算。采用哈達瑪排列的沃爾什函數(shù)進行的變換稱為沃爾什-哈達瑪變換，簡稱WHT或直稱哈達瑪變換。3.3.1哈達瑪變換哈達瑪矩陣：元素僅由＋1和－1組成的正交方陣。正交方陣：指它的任意兩行（或兩列）都彼此正交，或者說它們對應元素之和為零。哈達瑪變換要求圖像的大小為N＝2n

。一維哈達瑪變換核為其中，代表z的二進制表示的第k位值。（3.21）一維哈達瑪正變換為一維哈達瑪反變換為二維哈達瑪正反變換為（3.22）（3.23）（3.24）（3.25）二維哈達瑪正、反變換也具有相同形式。正反變換都可通過兩個一維變換實現(xiàn)。高階哈達瑪矩陣可以通過如下方法求得：N＝8的哈達瑪矩陣為（3.26）（3.27）3.3.2沃爾什變換哈達瑪變換矩陣，其列率的排列是無規(guī)則的。將無序的哈達瑪核進行列率的排序，之后得到的有序的變換就成為沃爾什（Walsh）變換。一維Walsh變換核為二維沃爾什正變換和反變換為（3.28）N＝8時的沃爾什變換核的值為

3.4卡胡南-列夫變換（K-L變換）Kahunen-Loeve變換是在均方意義下的最佳變換。優(yōu)點：能夠完全去除原信號中的相關性，因而具有非常重要的理論意義。缺點：基函數(shù)取決于待變換圖像的協(xié)方差矩陣，因而基函數(shù)的形式是不定的，且計算量很大。H8=（3.29）3.5二維離散小波變換一種窗口大小固定，但形狀可改變，因而能滿足時頻局部化分析的要求的變換。

3.5.1連續(xù)小波變換按如下方式生成的函數(shù)族稱為分析小波或連續(xù)小波。稱為基本小波或母波a,b屬于R,a不等于0，a稱為伸縮因子，b為平移因子。（3.30）母波可由平移與尺度變換構造小波基函數(shù)。如Harr函數(shù)是一種基本正交基，也是小波變換中的典型小波，圖示。其中為擴展運算，而由為平移變換。重復使用平移與擴展可以得到下一級的小波函數(shù)得到Harr小波基：式中，j為正整數(shù)。設函數(shù),函數(shù)滿足以下容許性條件：則稱為一容許小波，并定義信號f(x)的連續(xù)小波變換的重構f(x)的小波逆變換：3.5.2離散小波變換把連續(xù)小波變換離散化更有利于實際應用。對a和b按如下規(guī)律取樣：其中，；；，得離散小波：離散小波變換和逆變換為（3.31）（3.32）（3.33）3.5.3二維離散小波變換可分離二維小波變換的頻率域分解示意圖對LL1做第二層分解對LL2可以類似的處理得到第三層分解將原數(shù)字圖像做J層分解后，可把圖像分解成3J+1幅離散圖像，通常3層分解就足夠精細。小波變換常用的MATLAB函數(shù)（1）[CA,CH,CV,CD]=dwt2(X,’wname’)對圖像進行一層二維小波分解X為圖像矩陣’wname’：使用的小波基函數(shù)名稱如選擇雙正交樣條小波基函數(shù)，形式為biorNr.NdCA,CH,CV,CD:輸入矩陣X小波分解的近似系數(shù)矩陣、水平細節(jié)系數(shù)、垂直細節(jié)系數(shù)、對角線細節(jié)系數(shù)。（2）Waveinfo(‘wname’)查詢使用的小波基函數(shù)的信息。（3）Y=upcoef2(O,X,’wname’,N)對二維小波分解的圖像進行各種分量的重構X:分解后的細節(jié)信號Y:重構后細節(jié)信號分量N:重構的層數(shù)，默認值為1,O:細節(jié)信號的類型，O=‘a’,’h’,’v’,’d’則分別對信號的近似系數(shù)，水平細節(jié)，垂直細節(jié)，對角線細節(jié)進行重建（4）idwt2(CA,CH