同角三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式完美講解版,無(wú)需編輯

第三講同角三角函數(shù)根本關(guān)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】sinα一.借助單位圓，理解同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式:sιn2α+cos2α=1, =tanα，掌握一個(gè)角的三CoSa角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值的方法；2．會(huì)運(yùn)用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求三角函數(shù)值、化簡(jiǎn)三角式或證明三角恒等式?！疽c(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1sina(2)商數(shù)關(guān)系：——=tanacosa(3)倒數(shù)關(guān)系：tanα?cota=1，Sinα?csca=1，cosa?SeCa=1要點(diǎn)詮釋：(1)這里“同角〞有兩層含義，一是“角一樣〞，二是對(duì)“任意〞一個(gè)角(使得函數(shù)有意義的前提下)關(guān)系式都成立；2)sin2a是(sina)2的簡(jiǎn)寫；(3)在應(yīng)用平方關(guān)系時(shí)，常用到平方根，算術(shù)平方根和絕對(duì)值的概念，應(yīng)注意"土〃的選取。要點(diǎn)二：同角三角函數(shù)根本關(guān)系式的變形1．平方關(guān)系式的變形：sin2a=1一cos2a,cos2a=1一sin2a,1±2sina?cosa=(sina±cosa)22．商數(shù)關(guān)系式的變形sinaSina=cosa?tana,cosa= 。tana【典型例題】類型一：*個(gè)三角函數(shù)值求其余的三角函數(shù)值4例1?假設(shè)Sina=-5，且a是第三象限角，求cosa,tana的值。【總結(jié)升華】解答此類題目的關(guān)鍵在于充分借助角的三角函數(shù)值,縮小角的圍。在解答過(guò)程中如果角a所在象限，則另兩個(gè)三角函數(shù)值結(jié)果唯一；假設(shè)角a所在象限不確定，則應(yīng)分類討論，有兩種結(jié)果，需特別注意：假設(shè)三角函數(shù)值以字母a給出，應(yīng)就a所在象限討論。舉一反三：3【變式1】sina=-5,求cosa,tana的值。類型二：利用同角關(guān)系求值例2.：tanθ+cotθ=2,求：〔1〕Sinθ?cosθ的值；〔2〕Sinθ+CoSθ的值；〔3〕sinθ-cosθ的值；〔4〕sinθ及CoSθ的值【總結(jié)升華】此題給出了sinθ+CoSθ,sinθ-CoSθ及sinθcosθ三者之間的關(guān)系，三者知一求二，在求解的過(guò)程中關(guān)鍵是利用了sin2θ+cos2θ=1這個(gè)隱含條件。舉一反三：【變式1】sinα-cosa=。，求以下各式的值:〔1〕tanα+cotα；〔2〕sin3a-cos3a。例3．：〔1〕〔2〕1tanθ=--，求:sinθ+cosθ*sinθ-3cosθ'1+2sinθcosθ ?sin-θ-cos2θ'〔3〕2sin2θ-3sinθcosθ-5cos2θ?！究偨Y(jié)升華】tana的值，求關(guān)于Sina、cosa的齊次式的值問(wèn)題①如〔1〕、〔2〕題，:cosa≠0,所以可用cosna〔nWN*〕除之，將被求式轉(zhuǎn)化為關(guān)于tana的表示式，可整體代入tana=m的值，從而完成被求式的求值；②在〔3〕題中，求形如asin2a+bSinacosa+ccos2a的值，注意將分母的1化為1=sin2a+cos2a代入，轉(zhuǎn)化為關(guān)于tana的表達(dá)式后再求值。舉一反三：【變式1】-anA-=-1,求以下各式的值.tanA-1(1)sinA-3cosA;sinA+9cosA'(2)sin2A+sinAcosA+2類型三：利用同角關(guān)系化簡(jiǎn)三角函數(shù)式例4．化簡(jiǎn)：1-2sin10ocos10o.1〕 ■ =；sin10o-√1-sin2l0o3兀 1-cosa ,,1+cosa〔2〕假設(shè)-<a<2兀，化簡(jiǎn) +1,^2 1+cosa?T-cosa【總結(jié)升華】解答此題目常用的方法有：〔1〕化切為弦，即把非正弦、余弦的函數(shù)都化成正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，到達(dá)化簡(jiǎn)的目的?！?〕對(duì)于含有根號(hào)的，常把根號(hào)下的式子化成完全平方式，然后去根號(hào)到達(dá)化簡(jiǎn)的目的。〔3〕對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或構(gòu)造sin2a+cos2a=1,以降低函數(shù)次數(shù)，到達(dá)化簡(jiǎn)的目的。舉一反三：【變式1】化簡(jiǎn)〔1〕√1-2sinθcosθSinθ-CoSθCC一兀一、一一,θ∈2k兀一一，2k兀k∈Z;I2 )⑵√i-sin22-√1-cos22；類型四：利用同角關(guān)系證明三角恒等式例5.求證：〔1〕sinθ(1+tanθ)+cosθ(1+—L-)=—L-+—?—；tanθSinθcoSθ〔2〕cosasina 2(cosa-sina) - = 1+sinɑ1+cosɑ1+sinα+cosα【總結(jié)升華】〔1〕在三角式的化簡(jiǎn)中，常?！盎袨橄舀暎詼p少函數(shù)種類?！?〕三角恒等式的證明方法靈活多變，因題而異，要細(xì)心觀察兩邊的差異，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，題也可從右到左證明。舉一反三：【變式】求證：cosx1+sinx1-sinxcosx【解析】證法一：由題意知cosX≠0,所以1+sinX≠0,1-sinX≠0.???左邊=cosx(1+sinx)(1-sinx)(1+sinx)cosX(1+sinX)cos2x1+sinx=右邊.cosx此???原式成立.證法二：由題意知cosX≠0，所以1+sinX≠0,1-sinX≠0.又「(1-sinx)(1+sinX)=1-sin2X=cos2X=cosX?cosX,cosx1+sinx.. = .1-sinXcosX證法三：由題意知cosX≠0，所以1+sinX≠0,1-sinX≠0.cosx1+sinx cosx?cosx-(1+sinx)(1-sinx)cos2x-1+sin2x - ; 0,1-sinxcosx (1-sinx)cosx (1-sinx)cosxcosx1+sinx?. 1-sinxcosx【穩(wěn)固練習(xí)】1.下面四個(gè)命題中可能成立的一個(gè)是〔〕A.sinα=—且cosα=—2 2C.tanα=1且cosα=-1B.sinα=0且cosa=-1sinaD.α在第二象限時(shí)，tanα= cosam3 42m2.假設(shè)sinθ- ,cosθ- ，則m的值為〔 〕m+5 m+5A.0 B.8C.?；?D.3vmv93．假設(shè)0≤2X≤2兀，則使".11-sin22X=cos2X成立的X的取值圍是（ ）4．一兀、 3 、A、（0,_） B、（-兀,兀）44C、弓,4π)π3D、[0,/U[4π,π]4假設(shè)Sinα=5，且α是第二象限角，則tanα的值等于〔 〕5．A--333B.--C.-44假設(shè)tanα=2,則2sinα-cosα的值為〔 〕sina+2cosaD36．7．A．0sinαcosα3a?±435B.- C.1D.-4 4=1,則cosα-sinα的值等于〔〕8B．D．~2cosXA.1B.212，12則一°工的值是〔sinX-1C.2 D.－2±超c、汶± C. 2 2假設(shè)匕SnX=一〕8．假設(shè)sinθ,cosθ是方程4X2+2mχ+m=0的兩根，則m的值為〔 〕A.1+√5 B.1--√5D.-1-5C.1±Q9.假設(shè)tanα=√15,則cosα=；sinα=.(11)10.化簡(jiǎn)：(1-cosα)=11.12.化簡(jiǎn)：sin6a+cos6a+3sin2a+cos2a=4假■設(shè)Sinθ=-5,tanθ>0,則IJcosθ=13.sinα+cosα=1,α∈[0,∏],求的值.5 tana14.sin3θ+cos3θ=1，求sinθ+cosθ和sin4θ+cos4θ的值.第四講三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】兀一—一―一―一、 …、.借助單位圓中的三角函數(shù)線導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（一±α,兀士α的正弦、余弦、正切）;2.掌握并運(yùn)用誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值,化簡(jiǎn)或證明三角函數(shù)式.【要點(diǎn)梳理】、sinatanα)...要點(diǎn)一：誘導(dǎo)公式誘導(dǎo)公式一：sin(α+2k兀)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα,tan(α+2k兀)=tanα,其中k∈Z誘導(dǎo)公式二：sin(-a)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα，其中k∈Z誘導(dǎo)公式三：sin[(α+(2k+1)兀]=-sinα,cos[α+(2k+1)兀]=-cosα,tan[α+(2k+1)兀]=tanα,其中k∈Z誘導(dǎo)公式四.(兀)Sm—+α=cosα,2 /(π\(zhòng) .cos—+a=-Smα。、2 ).(π)Sm—-a==cosα,

2(π\(zhòng) .cos_-a=Sma,2J其中k∈Z要點(diǎn)詮釋:⑴要化的角的形式為k?90。±α（k為常整數(shù)）；（2）記憶方法：“奇變偶不變，符號(hào)看象限〃；⑶必須對(duì)一些特殊角的三角函數(shù)值熟記，做到“見角知值，見值知角〃；(π ?4-xk4J(4)sin(π?X+4k4J=cos=cos(π?X-4k4Jcos(π?X+4k4J=sin(π ?4-Xk4 J；要點(diǎn)二：誘導(dǎo)公式的記憶誘導(dǎo)公式一?三可用口訣“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限〃記憶，其中“函數(shù)名不變〃是指等式兩邊的三角函數(shù)同名，“符號(hào)〃是指等號(hào)右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)，“看象限〃是指把α看成銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào).誘導(dǎo)公式四可用口訣“函數(shù)名改變，符號(hào)看象限〃記憶，“函數(shù)名改變〃是指正弦變余弦，余弦變正弦，為了記憶方便，我們稱之為函數(shù)名變?yōu)樵瘮?shù)的余名三角函數(shù).“符號(hào)看象限〃同上.因?yàn)槿我庖粋€(gè)角都可以表示為k?90°+a〔|a|<45°〕的形式，所以這六組誘導(dǎo)公式也可以統(tǒng)一用“口訣〃：“奇變偶不變，符號(hào)看象限〃，意思是說(shuō)角k-90±a（k為常整數(shù)）的三角函數(shù)值：當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，函數(shù)名不變，然后α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)視α為銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào).要點(diǎn)三：三角函數(shù)的三類基此題型(1)求值題型：一個(gè)角的*個(gè)三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值.①一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值及這個(gè)角所在象限，此類情況只有一組解；②一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)值但該角所在象限沒(méi)有給出，解題時(shí)首先要根據(jù)的三角函數(shù)值確定這個(gè)角所在的象限，然后分不同情況求解；③一個(gè)角的*一個(gè)三角函數(shù)值是用字母給出的，這時(shí)一般有兩組解.求值時(shí)要注意公式的選取，一般思路是“倒、平、倒、商、倒〞的順序很容易求解，但要注意開方時(shí)符號(hào)的選取.(2)化簡(jiǎn)題型：化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的一般要：能求出值的要求出值；函數(shù)種類要盡可能少；化簡(jiǎn)后的式子項(xiàng)數(shù)最少，次數(shù)最低，盡可能不含根號(hào).(3)證明題型：證明三角恒等式和條件等式的實(shí)質(zhì)是消除式子兩端的差異，就是有目標(biāo)的化簡(jiǎn).化簡(jiǎn)、證明時(shí)要注意觀察題目特征，靈活、恰中選取公式.【典型例題】類型一：利用誘導(dǎo)公式求值例1．求以下各三角函數(shù)的值：_(10\〔1〕Sin--兀V3J31；〔2〕cos—兀；〔3〕tan〔一855°〕.舉一反三：【變式1】求sin(—1200°)?cos1290°+cos(—1020°)?sin(—1050°)+tan945°的值.(5兀V6(兀、Q6J一一一一 (R例2.〔1〕cos——aV6求cos)+a—sin2

J的值.7=苴3，〔2〕cos(a—75。)=—3，且a為第四象限角，求sin(105°+a)的值.【總結(jié)升華】注意觀察角，假設(shè)角的絕對(duì)值大于2n，可先利用2kπ+a轉(zhuǎn)化為。?2π之間的角，然后利用∏±a、2π-a等形式轉(zhuǎn)化為銳角求值，這是利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值的一般步驟.舉一反三：【變式1】cos(75o+a)=3，其中a為第三象限角，求。。$(1。5°—a)+sin(a—105°)的值.【總結(jié)升華】解答這類給值求值的問(wèn)題，關(guān)鍵在于找到角與待求角之間的相互關(guān)系，從而利用誘導(dǎo)公式去溝通兩個(gè)角之間的三角函數(shù)關(guān)系，如：75°+a=180°-(105°-a)或105°-a=180°-(75°+a)等.類型二：利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)例3.化簡(jiǎn)∕r?-sin(180+a)+sin(-a)-tan(360+a)(1) ;tan(a+180)+cos(-a)+cos(180-a)⑵sin(θ-5兀)cos(3π-θ)cos1-θ、j—?cos(8π-θ)sin(θ-3π)sin(-θ-4π)舉一反三：【變式1】〔1〕.(π一、一一、，二sin—+acos(3π-a)tan(π+a)12 √cosπ2-acos(-a-π),√1+2sin290ocos430o.sin250o+cos790o ；類型三：利用誘導(dǎo)公式進(jìn)展證明例4.求證:tan(2π-α)sin(-2π-α)cos(6π-α).(3π?

Sina+——cosa4、2√I3πT=-tanα.【穩(wěn)固練習(xí)】對(duì)于誘導(dǎo)公式中的角ɑ,以下說(shuō)確的是〔〕A.α一定是銳角B.0≤αV2πC.α一定是正角D.α是使公式有意義的任意角sin(π+θ)<0,cos(θ-π)>0,則以下不等式關(guān)系中必定成立的是〔 〕A.sinθV0,C.sinθ>0,cosθ>0

cosθ>0B.sinθ>0,

D.sinθVO,cosθV0cosθV0sin300o的值為〔〕a?-212CMC. -2亙

2D.4.假設(shè)sinA=1,則sin(6π-A)的值為〔〕a?3B?-32√2C.-二D.2√2

r12，5.假設(shè)sin(π+α)則cosα的值為〔〕A.±2B