湖南省寧鄉(xiāng)市三校2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

Page17湖南省寧鄉(xiāng)市三校2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）1.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的虛部的定義去求復(fù)數(shù)的虛部【詳解】復(fù)數(shù)的虛部為．故選：D2.設(shè)為所在平面內(nèi)一點，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量加法減法及數(shù)乘向量去表示向量【詳解】為線段靠近點的三等分點，．故選：C．3.已知，，，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合數(shù)量積的運算性質(zhì)可得，即可得出夾角【詳解】，則與的夾角為，故選：D4.已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則與該圓錐同底等高的圓柱的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】計算出圓錐的母線長，可求出圓錐的高，進而可得出圓柱的母線長和底面半徑，由此可求出圓柱的側(cè)面積.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，由于圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，則，得，所以，圓錐的高為，所以，圓柱的母線長為，底面半徑為，因此，圓柱的側(cè)面積為.故選：A.5.某公園設(shè)置了一些石凳供大家休息，每張石凳是由正方體石料截去八個一樣的四面體得到的，如圖所示加里一張石凳的體積是，那么原正方體石料的體積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正方體、正四棱錐的體積公式，結(jié)合已知進行求解即可.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，則正方體的體積為，每一個正四面體的體積為：，由題意可知：，故選：D6.“今有城，下廣四丈，上廣二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”這是我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》卷第五中“商功”中的問題．意思為“現(xiàn)有城（如圖，等腰梯形的直棱柱體），下底長4丈，上底長2丈，高5丈，縱長126丈5尺（1丈=10尺）”，則該問題中“城”的體積等于（）A.立方尺 B.立方尺C.立方尺 D.立方尺【答案】A【解析】【分析】求出棱柱底邊梯形的面積，利用棱柱的體積公式即可求解.【詳解】（立方尺），故選：A【點睛】本題考查了棱柱的體積公式，需熟記柱體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.7.如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面平行的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用線面平行判定定理逐項判斷可得答案．【詳解】對于選項A，OQ∥AB，OQ與平面MNQ是相交的位置關(guān)系，故AB和平面MNQ不平行，故A錯誤；對于選項B，由于AB∥CD∥MQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正確；對于選項C，由于AB∥CD∥MQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正確；對于選項D，由于AB∥CD∥NQ，結(jié)合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正確；故選：BCD8.已知一圓錐的側(cè)面展開圖是一個中心角為直角的扇形，若該圓錐的側(cè)面積為，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得圓錐的底面半徑、母線長，再去求圓錐的體積．【詳解】設(shè)底面圓半徑為，圓錐母線長為，因為圓錐側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，所以，解得，因為該圓錐的側(cè)面積為，所以，解得，則，即底面圓的面積為，則圓錐的高，故圓錐的體積為，故選：A．二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）9.下列說法中正確的是（）A.若，，則B.兩個非零向量，，若，則與共線且反向C.若，則存在唯一實數(shù)使得D.若是三角形的重心，則【答案】BD【解析】【分析】若可判斷A；根據(jù)向量減法幾何意義可判斷B；若可判斷C；根據(jù)重心特點可判斷D．詳解】若可滿足“，”，但不一定成立，A錯；根據(jù)向量減法幾何意義，當(dāng)，則與共線且反向，B對；若可滿足，但不滿足存在唯一實數(shù)使得，C錯；如圖所示：，D對．故選：BD．10.為了測量B，C之間距離，在河的南岸A，C處測量（測量工具：量角器、卷尺），如圖所示.下面是四位同學(xué)所測得的數(shù)據(jù)記錄，你認為不合理的有（）A.與 B.與 C.，與 D.，與【答案】ABC【解析】【分析】由A，C在河的同一側(cè)，故可以測量，與，由此即可得答案【詳解】因為A，C在河的同一側(cè)，所以可以測量，與，故選：ABC11.設(shè)、表示不同直線，、表示不同平面，則下列結(jié)論中正確的是（）．A.若，，則B.若，，，，則C.、是兩條異面直線，若，，，．則．D.若，，，，則【答案】CD【解析】【分析】對選項逐一分析：項，有可能.項，當(dāng)與相交，且直線都平行于與的交線時，也符合條件.項，設(shè)直線，且，直線與確定的平面為，可證，故.項，易知或.分或兩種情況判斷與的位置關(guān)系，即得答案.【詳解】項，若，，則或，故錯誤.項，當(dāng)與相交，且直線都平行于與的交線時，也符合條件，故錯誤.項，設(shè)直線，且，直線與確定的平面為.由題意.，又.同理，.故正確.項，或.若，過作平面交于直線，則，又.若，.故正確.故選：.【點睛】本題考查空間線面、面面的位置關(guān)系，屬于中檔題.12.已知兩非零復(fù)數(shù)，，若，則下列說法一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)，則，根據(jù)復(fù)數(shù)性質(zhì)依次判斷即可.【詳解】設(shè)，則，對A，，，所以，故A正確；對B，，只有當(dāng)時，，故不一定成立，故B錯誤；對C，，故C正確；對D，，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知（是虛數(shù)單位），在復(fù)平面上，對應(yīng)的點在第______象限.【答案】一【解析】【分析】由題意先求出，進而求出，從而得到點的坐標(biāo)，即可得到答案【詳解】，，，所以對應(yīng)的點為，在第一象限，故答案為：一14.已知外接圓的圓心為O，半徑為1，且，則向量在方向上的投影為________.【答案】【解析】【分析】由化簡可以知道，即三點共線，所以為外接圓的直徑，即，又，為正三角形，即可得出答案?！驹斀狻坑傻?，所以，所以三點共線，所以.又因為，所以，所以，故向量在方向上的投影為.【點睛】本題考查向量的投影，屬于基礎(chǔ)題。15.正方形的邊長是4，點E、F分別是、的中點，現(xiàn)將，，分別沿DE，EF，F(xiàn)D折起，使得A、B、C三點重合于一點.若四面體的四個頂點在同一個球面上，則該球的表面積為______.【答案】.【解析】【分析】將四面體補全為共外接球的長方體，長方體的對角線為外接球的直徑可得到答案.【詳解】由題意可知，，，可以將四面體補形為以、、為棱的長方體，如圖：，此長方體與四面體有相同的外接球，且長方體的體對角線就是四面體的外接球的直徑，為，故球的半徑為，所以該球的表面積為.故答案為：.16.已知復(fù)數(shù)滿足，則=________，=_________.【答案】①.②.1【解析】【分析】運用復(fù)數(shù)的除法運算法則求出，利用復(fù)數(shù)模公式求出.【詳解】因為，所以.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法運算、求模公式，考查了數(shù)學(xué)運算能力.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分）17.平面向量，.（1）若且，求的坐標(biāo)；（2）若滿足（1）且的橫坐標(biāo)為正，試求使成立的實數(shù)k的值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，求出與的坐標(biāo)，再由平面向量共線的坐標(biāo)運算即可求解；（2）先確定的坐標(biāo)，求出與的坐標(biāo)，再由平面向量垂直的坐標(biāo)運算即可求解；【詳解】（1）設(shè)，則，，由且可得，，解得或，的坐標(biāo)為或（2）根據(jù)題意取，則，，又，則，解得：18.若的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，且，.（1）若，求的值；（2）若的面積，求b、c的值.【答案】（1）；（2），【解析】【分析】（1）由平方關(guān)系以及正弦定理，即可得出的值；（2）由三角形面積公式以及余弦定理，即可得出，的值.【詳解】（1）∵，且，∴.由正弦定理得，∴.（2）∵，所以由余弦定理得，∴19.已知，，是實數(shù)，是虛數(shù)單位.（1）若，，求的模；（2）若，且，試求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求出，進而計算，再由復(fù)數(shù)模的定義計算即可；（2）根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)相等得，進而有，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)以及，分析可得答案【詳解】（1），則，則，則（2）若，則，變形可得：，又，則時，，時，，故的取值范圍為20.如圖，在直三棱柱中，，，，，分別為，，的中點，為線段上的動點.（1）證明：平面；（2）若將直三棱柱沿平面截開，求四棱錐的表面積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接，，可證四邊形為平行四邊形，從而得到，再可得，即可得到平面平面，從而得證；（2）連接即可證明平面，得到，再根據(jù)面積公式求出錐體的表面積即可；【詳解】解：（1）證明：連接，，因為，分別為，中點，所以，，又因為，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又為中點，所以，又，，所以平面平面，又平面，所以平面.（2）連接，因為，，，平面，平面，所以平面，所以，，，，，在中，，，，所以，所以，，所以四棱錐的表面積.【點睛】本題考查面面平行，線面平行的證明，錐體的表面積的計算，屬于中檔題.21.如圖，邊長為的等邊所在平面與菱形所在平面互相垂直，且，，.（1）求證：平面；（2）求多面體的體積.【答案】（1）證明見詳解；（2）.【解析】【分析】（1）先利用已知條件得到線面平行，再證面面，即可得出結(jié)論；（2）利用已知條件分別求出三棱錐和四棱錐的體積，相加即為多面體的體積.【詳解】（1）四邊形是菱形，，又面，面，面，同理得，面，，面，且，面面，又面，平面；（2），，，，，，，在菱形中，，，，面面，取的中點，連接，，面，面，由（1）知，面面，點到面的距離為，又點到面的距離為，連接，則.【點睛】本題考查線面平行的判定，考查幾何體體積的求法，考查邏輯思維能力和運算求解能力，考查空間想象能力，屬于?？碱}.22.已知五面體ABCDEF中，四邊形CDEF為矩形，,CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC=，．（1）求證：AB平面ADE；（2）求平面EBC與平面BCF所成的銳二面角的余弦值.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理得，再根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)果,（2）先根據(jù)條件證得直線DE,DA,DC兩兩互相垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，利用方程組解得平面EBC和平面BCF法向量，利用向量數(shù)量積得法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.【詳解】（1）因為，，所以因為四邊形CDEF為矩形，所以，