全等三角形易錯點剖析

判定三角形全等的錯解例如一、對“對應〃二字認識不準確，應用全等判別法有誤例1AABC和ADEF中，NA=30°，NB=70°,AC=17cm，ND=70°，NE=80°，DE=17cm.則AABC與ADEF全等嗎？為什么?錯解：AABC與ADEF全等.證明如下：在ADEF中，?.?∠D=70°,∠E=80°,.?ZF=180o-ZD-ZE=180o-70o-80o=30°.在AABC中，?.?∠A=30°,∠B=70°,.??∠A=∠F,∠B=∠D.又?.?AC=17cm,DE=17cm,???AC=DE.在AABC與ADEF中，.?.AABC/ADEF.錯解分析：AC是NB的對邊，DE是NF的對邊，而∠B≠∠F，所以這兩個三角形不全等.AABC與ADEF不全等.因為相等的兩邊不是相等的兩角的對邊，不符合全等三角形的判別法.二、判定方法有錯誤例2如圖，AC⊥BC,DC⊥EC,AC=BCjDC=EC.求證：ND=NE.錯解：在AACE與ABCD中，VACXBC,DC⊥EC,.?.∠ACB=∠ECD=90又?.?AC=BC,DC=EC,.?ΔACE^?BCD,ΛZD=ZE.錯解分析：上面的證明中，錯誤地應用了“邊角邊〃.NACB與NECD并不是那一對三角形的角.正解：YAC⊥BC,DC⊥EC,.?.NACB=NECD=90°,.?ZACE=ZBCD.YAC=BC,NACE=NBCD,DC=EC,.?ΔACE^?BCD,ΛZD=ZE.三、錯誤套用等式性質(zhì)例3如圖，AC,BD相交于E點，NA=NB,N1=N2.求證：AE=BE.錯證：在AADC和ABCD中，YNA=NB,DC=CD,N2=N1,「?△ADC/ABCD,「?△ADC—ADEC=ABCd—ADEC,「?△ADE/ABCE,.?.AE=BE.錯解分析：在證明三角形全等時，一定要按判定定理進展證明.上面的證明中，將等式性質(zhì)錯誤地搬到了三角形全等中.這是完全錯誤的.正解：同上，易證AADC/ABCD,???AD=BC.在AADE和ABCE中，?.?AD=BC,∠A=∠B,∠AED=∠BEC,.?ΔADE^?BCE,ΛAE=BE.四、脫離題設，將對圖形的直觀印象視為條件進展證明例4如圖，在AABC中，AD是它的角平分線，BD=CD.DE,DF分別垂直于AB,AC,垂足為E,F.求證：BE=CF.錯解1：認為DE=DF，并以此為條件.在RtABDE與RtACDF中，VDE=DFjBD=CD,,RtABDE/RtACDF〔斜邊直角邊〕，?'?BE=CF.錯解2：認為AD⊥BC，并以此為條件.通過證明AABD/AACD〔邊角邊〕，得AB=AC,再由AAED/AAFD〔角角邊〕，得AE=AF,從而得到BE=CF.錯解分析：錯解1中認為DE=DF，并直接將其作為條件應用，因而產(chǎn)生錯誤；錯解2中，認為AD⊥BC，沒有經(jīng)過推理加以說明，因而也產(chǎn)生了錯誤.產(chǎn)生上述錯誤的原因是審題不清，沒有根據(jù)題設結(jié)合圖形找到證題依據(jù).正解：在AAED和AAFD中，,AAED/AAFD〔角角邊〕，,DE=DF.在RtABDE與RtACDF中，RtABDE/RtACDF〔斜邊直角邊〕，,BE=CF.五、誤將“SSA（邊邊角］〃當成“SAS（邊角邊）〃來證題例5如圖，D是AABC中BC邊上一點，E是AD上一點，EB=EC,∠ABE=∠ACE.試證明：NBAE=∠CAE.錯解：在AAEB和AAEC中，.?ΔAEB^ΔAEC,.?ZBAC=ZCAE.錯解分析：上解錯在證兩個三角形全等時用了“邊邊角〃來判定，這是不正確的，因為有兩條邊以及其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等.正解：在ABEC中，因EB=EC,故NEBC=∠ECB.VZABE=ZACE,ΛZACB=ZABC,ΛAB=AC,'AE=AE,在RtAAEB和RtAAEC中，Jeb=EC,、AB=AC,,AAEB/AAEC,.??∠BAC=∠CAE.在學習中，學會對題中圖形進展觀察以及對條件進展分析，弄明白證明思路.同時，對三角形全等的各種條件要記熟并能區(qū)分.三角形的全等具有傳遞性，比方假設有AABC/ADEF,ADEF/AMNP,則一定有AABC/AMNP,這個性質(zhì)在解題時有很重要的應用.在一些計算圖形中有幾對全等三角形的題目時，利用這個性質(zhì)可以發(fā)現(xiàn)一些不明顯的全等關系，幫助發(fā)現(xiàn)那些不是直接有關聯(lián)的全等三角形.六、把“角角角〃當成判定三角形全等的條件來使用例6如圖，NCAB=∠DBA,∠C=∠D,E為AC和BD的交點.AADB與ABCA全等嗎“說明理由.錯解：AADB/ABCA.因為NC=ND,NCAB=NDBA,所以NDAB=NCBA,所以AADB/ABCA(AAA).錯解分析:錯解把三個角對應相等作為這兩個三角形全等的依據(jù)，顯然是錯誤的,“角角角〞不是識別兩個三角形全等的條件.正解：AADB^△BCA.因為∠CAB=∠DBA,∠C=∠D,AB=BA(公共邊)，所以AADB/ABCA(AAS).七、把“邊邊角〞當成判定三角形全等的條件來使用例7如圖,AABC中，AB=AC,D,E分別是AB,AC的中點，且CD=BE,△ADC與△AEB全等嗎“說明理由.錯解：AADC/AAEB.因為AB=AC,BE=CD,∠BAE=∠CAD,所以AADC/AAEB(SSA).錯解分析：錯解把“邊邊角〞作為三角形全等的判別方法,實際上,“邊邊角〞不能作為三角形全等的判別依據(jù),因為兩邊及一邊對角對應相等的兩個三角形不一定全等.正解：AADC/AAEB.因為AB=AC,D,E為AB,AC的中點，所以AD=AE.在AADC和AAEB中，因為AC=AB,AD=AE,CD=BE,所以AADC/AAEB(SSS).八、局部當整體例8如圖，AB=AC,∠B=∠C,BD=CE,試說明AABE與AACD全等的理由.錯解：在AABE和AACD中，因為AB=AC,∠B=∠C,BD=CE,所以AABE/AACD(SAS).錯解分析:錯解沒有認真地結(jié)合圖形來分析條件，錯把三角形邊上的一局部(BD是BE的一局部，CE是CD的一局部）當成邊來說明，這不符合“邊角邊〃條件.正解：因為BD=CE,所以BD+DE=CE+DE,即BE=CD.在AABE和AACD中,因為AB=AC,NB=NC,BE=CD,所以AABE/AACD(SAS).九、把等量相減用在全等上例9如圖,AC,BD相交于點O,NA=∠B,∠1=∠2,AD=BC.試說明AAOD/ABOC.錯解：在AADC和ABCD中,因為NA=NB,N2=N1,DC=CD,所以AADC/ABCD(AAS),所以AADC-ADOC/ABCD-ADOC,即AAOD/ABOC.錯解分析:錯解原因是將等式的性質(zhì)盲目地用到了三角形全等中，實際上，三角形全等是兩個三角形完全重合，是不能根據(jù)等式上的數(shù)量關系來說明的.正解：在AAOD和ABOC中，NA=NB,NAOD=NBOC,AD=BC,所以AAOD/ABOC(AAS).十.“同理可證〃實際不同理例10：AD和A'D'分別是AABC和AA'B'C”的中線，AB=A'B”,BC=BC,AD=AD■求證：AABC/AA"B'C'.錯解：如圖，因為BD=1BC,B'D'=1B"C",BC=B'C”,22所以BD=B'D”.在AABD和ΔA'B'D'中，AB=A'B",BD=B'D”,AD=A'D”,因此AABD/AA'B'D”.同理可證AADC/AA'D'C‘.故AABD+△ADC/AA'B'D+AA'D'C",即AABC/AA'B'C”.錯解分析：以上證法有兩個錯誤：⑴用了不同理的同理可證.證明AABD/A'B'D'與AADC/AA'D'C'的理由是不同的.要證AADC/AA'D'C‘,需證NADC=NA'D'C」,根據(jù)SAS來證；⑵由兩對全等三角形之和推出AABC/AA'B'C」,理由不充分.正解：由AABD/AA'B'D",有NB=NB".在AABC和AA'B'C‘中，AB=A'B",NB=NB',BC=B'C"，因此AABC/AA"B'C".十一.不顧條件任意引申例11:如圖，AB=AC,BD=CE,AD=AE.求證：BE=CD.錯解：在AABD和AACE中，因為AB=AC,BD=CE,AD=AE，所以AABD/AACE,故N1=N2.于是N