北京市東城區(qū)高三一模數(shù)學(xué)理試題

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2013年北京市東城區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）參考答案與試題解析一、本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．（5分）（2013?東城區(qū)一模）已知全集U=｛1，2,3,4}，集合A=｛1，2}，那么集合?UA為（）A．{3}B．｛3，4}C．{1，2}D．｛2，3｝考點(diǎn):補(bǔ)集及其運(yùn)算．專題：計算題．分析：直接利用補(bǔ)集的定義，求出A的補(bǔ)集即可．解答:解:因?yàn)槿疷={1,2,3,4｝,集合A={1,2}，那么集合?UA=｛3，4}．故選B．點(diǎn)評:本題考查補(bǔ)集的運(yùn)算，補(bǔ)集的定義，考查基本知識的應(yīng)用．2．（5分）（2013?東城區(qū)一模）已知ABCD為平行四邊形，若向量，，則向量為（）A．﹣B．+C．﹣D．﹣﹣考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義．3797161專題：平面向量及應(yīng)用．分析：如圖所示，利用向量的減法法則即可得出．解答：解：如圖所示，由向量的減法法則可得：==．故選C．點(diǎn)評：熟練掌握向量的減法法則是解題的關(guān)鍵．3．（5分）（2013?東城區(qū)一模）已知圓的方程為(x﹣1）2+（y﹣2）2=4,那么該圓圓心到直線（t為參數(shù)）的距離為（）A．B．C．D．考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系．3797161專題：直線與圓．分析：求出圓心和半徑，把直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式求得圓心到直線的距離．解答:解:∵圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2)2=4，故圓心坐標(biāo)為(1，2），把直線(t為參數(shù))消去參數(shù)t，化為直角坐標(biāo)方程為x﹣y﹣2=0，故圓心到直線的距離為=，故選C．點(diǎn)評：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、把直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用,屬于中檔題．4．（5分）（2013?東城區(qū)一模）某游戲規(guī)則如下：隨機(jī)地往半徑為1的圓內(nèi)投擲飛標(biāo),若飛標(biāo)到圓心的距離大于，則成績?yōu)榧案瘢蝗麸w標(biāo)到圓心的距離小于，則成績?yōu)閮?yōu)秀；若飛標(biāo)到圓心的距離大于且小于，則成績?yōu)榱己?，那么在所有投擲到圓內(nèi)的飛標(biāo)中得到成績?yōu)榱己玫母怕蕿椋ǎ〢．B．C．D．考點(diǎn)：幾何概型．3797161專題:概率與統(tǒng)計．分析：根據(jù)題意,計算可得圓的面積為π,成績?yōu)榱己脮r，點(diǎn)到圓心的距離大于且小于的面積,由幾何概型求概率即可．解答：解：圓的面積為π，點(diǎn)到圓心的距離大于且小于的面積為π﹣π=π，由幾何概型得在所有投擲到圓內(nèi)的飛標(biāo)中得到成績?yōu)榱己玫母怕蕿镻==故選A．點(diǎn)評：本小題主要考查幾何概型等基礎(chǔ)知識，簡單地說，如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．屬于中檔題．5．(5分）（2013?東城區(qū)一模）已知數(shù)列{an｝中，a1=2，an+1﹣2an=0，bn=log2an，那么數(shù)列｛bn}的前10項(xiàng)和等于（）A．130B．120C．55D．50考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．3797161專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由題意可得，可得數(shù)列｛an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到an，利用對數(shù)的運(yùn)算法則即可得到bn，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)公式即可得出．解答：解:在數(shù)列｛an}中,a1=2，an+1﹣2an=0，即，∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列，∴=2n．∴=n．∴數(shù)列{bn｝的前10項(xiàng)和=1+2+…+10==55．故選C．點(diǎn)評：熟練掌握等比數(shù)列的定義、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對數(shù)的運(yùn)算法則、等差數(shù)列的前n項(xiàng)公式即可得出．6．（5分)（2013?東城區(qū)一模）已知F1（﹣c，0），F(xiàn)2(c，0）分別是雙曲線C1：（a＞0，b＞0）的兩個焦點(diǎn),雙曲線C1和圓C2:x2+y2=c2的一個交點(diǎn)為P，且2∠PF1F2=∠PF2F1，那么雙曲線C1A．B．C．2D．考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)．3797161專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：如圖所示，利用圓的性質(zhì)可得,再利用2∠PF1F2=∠PF2F1，得到．利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得到｜PF2｜=c，．再利用雙曲線的定義及離心率的計算公式即可得出．解答:解：如圖所示，由題意可得，又2∠PF1F2=∠PF2F1，∴∴|PF2|=c,．好由雙曲線的定義可得：｜PF1｜﹣|PF2｜=2a，∴，解得=．故選D．點(diǎn)評：熟練掌握圓的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、雙曲線的定義、離心率的計算公式是解題的關(guān)鍵．7．（5分）（2013?菏澤二模）已知定義在R上的函數(shù)f(x）的對稱軸為x=﹣3，且當(dāng)x≥﹣3時，f（x）=2x﹣3．若函數(shù)f（x）在區(qū)間（k﹣1，k)(k∈Z）上有零點(diǎn)，則k的值為（)A．2或﹣7B．2或﹣8C．1或﹣7D．1或﹣8考點(diǎn)：根的存在性及根的個數(shù)判斷．3797161專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：先作出當(dāng)x≥﹣3時函數(shù)f（x）=2x﹣3的圖象，觀察圖象的交點(diǎn)所在區(qū)間，再根據(jù)對稱性得出另一個交點(diǎn)所在區(qū)間即可．解答：解：作出當(dāng)x≥﹣3時函數(shù)f(x）=2x﹣3的圖象,觀察圖象的交點(diǎn)所在區(qū)間在（1，2)．∵f（1）=21﹣3=﹣1＜0，f(2）=22﹣3=1＞0，∴f（1）?f(2）＜0，∴有零點(diǎn)的區(qū)間是（1，2），因定義在R上的函數(shù)f(x)的對稱軸為x=﹣3,故另一個零點(diǎn)的區(qū)間是（﹣8，﹣7），則k的值為2或﹣7．故選A．點(diǎn)評：本題主要考查了根的存在性及根的個數(shù)判斷．二分法是求方程根的一種基本算法，其理論依據(jù)是零點(diǎn)存在定理：一般地,若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a）f（b）＜0，則函數(shù)y=f(x）在區(qū)間（a,b）上有零點(diǎn)．8．（5分）（2013?東城區(qū)一模）已知向量，，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若|｜=k｜｜,且方向是沿的方向繞著A點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到的，則稱經(jīng)過一次(θ,k）變換得到．現(xiàn)有向量=（1，1）經(jīng)過一次(θ1，k1）變換后得到，經(jīng)過一次（θ2，k2）變換后得到,…，如此下去,經(jīng)過一次（θn，kn)變換后得到．設(shè)=（x,y），,，則y﹣x等于（）A．B．C．D．考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用．3797161專題：計算題；平面向量及應(yīng)用．分析：根據(jù)題意，可得（θ1,k1）=（1，)，即當(dāng)n=1時，一次（θ1，k1）變換將逆時針旋轉(zhuǎn)1弧度,再將所得向量的長度再伸長為原來的倍得到向量．因此當(dāng)=（1，1)時，運(yùn)用矩陣變換公式，算出逆時針旋轉(zhuǎn)1弧度所得向量=(cos1﹣sin1，sin1+cos1），從而得到=（x,y)=（1﹣，+1),所以y﹣x=．接下來再對A、B、C、D各項(xiàng)在n=1時的情況進(jìn)行計算，對照所得結(jié)果可得只有B項(xiàng)是正確的選項(xiàng)．解答：解:根據(jù)題意，，∴一次（θ1，k1）變換就是將向量逆時針旋轉(zhuǎn)1弧度，再將長度伸長為原來的倍，即由逆時針旋轉(zhuǎn)1弧度而得，且=設(shè)向量逆時針旋轉(zhuǎn)1弧度，所得的向量為=（x’，y’）則有?=，∴，即向量逆時針旋轉(zhuǎn)1弧度,得到向量=（cos1﹣sin1，sin1+cos1），再將的模長度伸長為原來的倍,得到=(cos1﹣sin1，sin1+cos1)=（1﹣,+1）因此當(dāng)n=1時,=（x，y）=(1﹣，+1）即，由此可得y﹣x=+1﹣（1﹣）=對于A,當(dāng)n=1時===2,與計算結(jié)果不相等,故A不正確;對于B，當(dāng)n=1時==，與計算結(jié)果相等，故B正確；對于C，當(dāng)n=1時==，與計算結(jié)果不相等，故C不正確；對于D，當(dāng)n=1時===2，與計算結(jié)果不相等，故D不正確綜上所述，可得只有B項(xiàng)符合題意故選:B點(diǎn)評:本題給出向量的旋轉(zhuǎn)和伸縮，求向量=（1，1）經(jīng)過n變換(θn，kn）后得到的向量坐標(biāo)，著重考查了向量的線性運(yùn)算、用矩陣解決向量旋轉(zhuǎn)問題和數(shù)列的通項(xiàng)公式等知識，屬于中檔題．二、填空題:本大題共6小題，每小題5分，共30分．9．（5分）（2013?東城區(qū)一模）復(fù)數(shù)z=（2﹣i)i的虛部是2．考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的基本概念．3797161專題：計算題．分析:利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和虛部的意義即可得出．解答：解：∵復(fù)數(shù)z=（2﹣i）i=1+2i,∴它的虛部為2．故答案為2．點(diǎn)評：熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和虛部的意義是解題的關(guān)鍵．10．（5分）（2013?東城區(qū)一模）的展開式中x3的系數(shù)是160．考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．3797161專題:計算題．分析:在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于3,求出r的值，即可求得展開式中x3的系數(shù)．解答：解：由于的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=?x12﹣2r?2r?x﹣r=2r??x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3,故展開式中x3的系數(shù)是23?=160，故答案為160．點(diǎn)評:本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．11．（5分）（2013?東城區(qū)一模）如圖是甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)入高中以來5次體育測試成績的莖葉圖，則甲5次測試成績的平均數(shù)是84，乙5次測試成績的平均數(shù)與中位數(shù)之差是2．考點(diǎn)：莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．3797161專題:圖表型．分析：先從莖葉圖中分析出甲、乙兩人的成績數(shù)據(jù)，再根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的求法進(jìn)行運(yùn)算即得．解答：解：由圖可知,甲，乙兩人共有5次測試成績,分別是：甲：76、83、84、87、90乙:79、80、82、88、91則甲、乙兩人5次體育測試成績的中位數(shù)分別為84、82，平均數(shù)分別為==84，==84故乙5次測試成績的平均數(shù)與中位數(shù)之差是2．故答案為：84，2．點(diǎn)評:莖葉圖的莖是高位，葉是低位，所以本題中“莖是十位”，葉是個位，從圖中分析出參與運(yùn)算的數(shù)據(jù),代入相應(yīng)公式即可解答．從莖葉圖中提取數(shù)據(jù)是利用莖葉圖解決問題的關(guān)鍵．12．（5分)(2013?東城區(qū)一模）如圖，已知PA與圓O相切于A，半徑OC⊥OP，AC交PO于B，若OC=1，OP=2，則PA=，PB=．考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段．3797161分析：由切割線定理可得PA2=PE?PF，即可得出PA，再根據(jù)圓的切線的性質(zhì)、互余角的關(guān)系及對頂角即可得出∠PAB=∠ABP,從而求出PB．解答：解:設(shè)OP與⊙O相較于點(diǎn)E，并延長PO交⊙O于點(diǎn)F,由PA與圓O相切于A，根據(jù)切割線定理可得PA2=PE?PF，∴PA2=（2﹣1）×（2+1），解得PA=．連接OA，則∠PAO=90°，∵∠OAB+∠PAB=90°,∠OBC+∠OCA=90°，∠OAC=∠OCB，∠ABP=∠OBC，∴∠PAB=∠ABP．∴PB=PA=．故答案分別為，．點(diǎn)評：熟練掌握切割線定理、圓的切線的性質(zhì)、互余角的關(guān)系及對頂角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（5分）（2013?東城區(qū)一模）有甲、乙、丙在內(nèi)的6個人排成一排照相，其中甲和乙必須相鄰，丙不排在兩頭，則這樣的排法共有144種．考點(diǎn)：排列、組合及簡單計數(shù)問題．3797161專題：計算題．分析：依題意，甲和乙必須相鄰,可將甲、乙捆綁；丙不排在兩頭，可對丙插空，最后對甲、乙松綁即可．解答:解：∵甲和乙必須相鄰，可將甲、乙捆綁，看成一個元素，與丙除外的另三個元素構(gòu)成四個元素，自由排列，有種方法；丙不排在兩頭，可對丙插空,插四個元素生成的中間的三個空中的任何一個，有種方法；最后再對甲、乙松綁,有種方法,由分步計數(shù)乘法原理得:共有??=144種．故答案為：144．點(diǎn)評：本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題,著重考查“捆綁法”與“插空法”的應(yīng)用，屬于中檔題．14．(5分）(2013?東城區(qū)一模）數(shù)列{an｝的各項(xiàng)排成如圖所示的三角形形狀,其中每一行比上一行增加兩項(xiàng),若（a≠0），則位于第10行的第8列的項(xiàng)等于a89，a2013在圖中位于第45行的第77列．（填第幾行的第幾列）考點(diǎn)：數(shù)列的函數(shù)特性;等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．3797161專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析:①由于每行的所有數(shù)的個數(shù)形成等差數(shù)列，故可得到前9行的數(shù)的個數(shù),從而得出答案；②由①可知前k行所有ai的個數(shù)為b1+b2+…bk=1+3+…（2k﹣1）=k2．解出（k﹣1）2≤2013即可得出答案．解答：解：①設(shè)每行的數(shù)的個數(shù)為數(shù)列｛bn}，則此數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．于是前9行所有an的個數(shù)為b1+b2+…+b9==81．∴位于第10行的第8列的項(xiàng)等于a81+8=．②由①可知：前k行所有ai的個數(shù)為b1+b2+…bk=1+3+…（2k﹣1）=k2．由（k﹣1）2＜2013,解得，而442＜2013＜452，∴k＜1+44=45．∴前44行的所有數(shù)ai的個數(shù)為442=1936．而1936+77=2013，∴a2013在圖中位于第45行的第77列．故答案分別為a89,第45行的第77列．點(diǎn)評:正確理解每行的所有數(shù)的個數(shù)形成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前可知前k行所有ai的個數(shù)為b1+b2+…bk=1+3+…(2k﹣1）=k2是解題的關(guān)鍵．三、解答題:本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15．(13分）（2013?東城區(qū)一模）在△ABC中，三個內(nèi)角A，B,C的對邊分別為a，b,c，且．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若，求ac的最大值．考點(diǎn)：正弦定理；余弦定理．3797161專題：解三角形．分析：（Ⅰ）因?yàn)椋烧叶ɡ砬蟮?從而求得B的值．（Ⅱ）由余弦定理求得12=a2+c2﹣ac，再利用基本不等式求得ac的最大值．解答：解：(Ⅰ）因?yàn)?，由正弦定理可得．因?yàn)樵凇鰽BC中,sinA≠0，所以．又0＜B＜π，所以．（Ⅱ）由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB,因?yàn)椋?所以12=a2+c2﹣ac．因?yàn)閍2+c2≥2ac,所以ac≤12．當(dāng)且僅當(dāng)時，ac取得最大值12．點(diǎn)評:本題主要考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．16．（14分）（2013?東城區(qū)一模）如圖,已知ACDE是直角梯形,且ED∥AC，平面ACDE⊥平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，AAB=AC=AE=2,，P是BC的中點(diǎn)．（Ⅰ)求證：DP∥平面EAB;（Ⅱ）求平面EBD與平面ABC所成銳二面角大小的余弦值．考點(diǎn):二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定．3797161專題:空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（I)取AB的中點(diǎn)F，連接PF，EF．利用三角形的中位線定理可得．再利用已知條件和平行四邊形的判定定理可得四邊形EFPD是平行四邊形，可得PD∥EF．利用線面平行的判定定理即可得出；（II）通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角．解答：(I）證明：取AB的中點(diǎn)F，連接PF，EF．又∵P是BC的中點(diǎn),∴．∵，ED∥AC，∴,∴四邊形EFPD是平行四邊形，∴PD∥EF．而EF?平面EAB，PD?平面EAB，∴PD∥平面EAB．（II）∵∠BAC=90°，平面ACDE⊥平面ABC，∴BA⊥平面ACDE．以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB為x軸,AC為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則z軸在平面EACD內(nèi)．則A（0，0,），B（2，0，0），,．∴，．設(shè)平面EBD的法向量,由，得，取z=2，則,y=0．∴．可取作為平面ABC的一個法向量，∴===．即平面EBD與平面ABC所成銳二面角大小的余弦值為．點(diǎn)評：熟練掌握三角形的中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、面面垂直的性質(zhì)定理、通過建立空間直角坐標(biāo)系并利用兩個平面的法向量的夾角得出二面角等是解題的關(guān)鍵．17．(13分）(2013?東城區(qū)一模）某班聯(lián)歡會舉行抽獎活動，現(xiàn)有六張分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6六個數(shù)字的形狀相同的卡片,其中標(biāo)有偶數(shù)數(shù)字的卡片是有獎卡片，且獎品個數(shù)與卡片上所標(biāo)數(shù)字相同，游戲規(guī)則如下：每人每次不放回抽取一張,抽取兩次．（Ⅰ）求所得獎品個數(shù)達(dá)到最大時的概率；(Ⅱ）記獎品個數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差．3797161專題：概率與統(tǒng)計．分析：(I）由題意可知所得獎品個數(shù)最大時是同時抽到4與6，其和為10．從6張卡片依次不放回的抽取2張有種方法,其中抽到2張分別為4和6的方法有種．利用古典概型的概率計算公式即可得出;(II）X的可能取值是：0，2，4，6，8,10．其概率計算與（I)解釋同理．①兩次取得都是奇數(shù),則P(X=0)=;②兩次中有一次取得是2，而另一次是奇數(shù)，P（X=2）=；③兩次中有一次取得是4，而另一次是奇數(shù)，P（X=4)=；④兩次取得是2和4,或一次取得是6而另一次取得是奇數(shù)，P(X=6）=；⑤兩次取得是2和6，P（X=8）=；⑥由(I）可得P（X=10)=．即可得到分布列．再利用數(shù)學(xué)期望計算公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）由題意可知所得獎品個數(shù)最大時是同時抽到4與6，其和為10，從6張卡片依次不放回的抽取2張有種方法,其中抽到2張分別為4和6的方法有種．依次所求的概率為:．(Ⅱ）X的可能取值是:0,2,4，6，8，10．其概率計算與（I）解釋同理．①兩次取得都是奇數(shù)，則P(X=0）==；②兩次中有一次取得是2,而另一次是奇數(shù)，P（X=2）=；③兩次中有一次取得是4,而另一次是奇數(shù)，P（X=4）==;④兩次取得是2和4，或一次取得是6而另一次取得是奇數(shù),P（X=6）==；⑤兩次取得是2和6,P(X=8）=；⑥由（I）可得P（X=10）=．于是可得X的分布列如下：X0246810p所以．點(diǎn)評：熟練掌握古典概型的意義及概率計算公式、分類討論的思想方法、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望是解題的關(guān)鍵．18．（14分)（2013?東城區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=（x2+ax+a）e﹣x,（a為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底)．（Ⅰ)當(dāng)a=0時，求f′（2）;（Ⅱ）若f（x）在x=0時取得極小值，試確定a的取值范圍；（Ⅲ)在（Ⅱ)的條件下，設(shè)由f（x）的極大值構(gòu)成的函數(shù)為g（a），將a換元為x，試判斷曲線y=g（x）是否能與直線3x﹣2y+m=0（m為確定的常數(shù)）相切，并說明理由．考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．3797161專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=0代入函數(shù)解析式，求導(dǎo)后直接把x=2代入導(dǎo)函數(shù)解析式計算；（Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),解出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)為0或2﹣a，分2﹣a=0、2﹣a＞0、2﹣a＜0三種情況討論導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號，判出極小值點(diǎn),從而得到使f（x）在x=0時取得極小值的a的取值范圍;（Ⅲ)由（Ⅱ）中的條件，能夠得到x=2﹣a是f（x）的極大值點(diǎn)，求出f(2﹣a），得到g（x)，兩次求導(dǎo)得到函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)值小于1，而直線3x﹣2y+m=0的斜率為,說明曲線y=g(x）與直線3x﹣2y+m=0不可能相切．解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時，f（x）=x2e﹣x，f'（x）=2xe﹣x﹣x2e﹣x=xe﹣x(2﹣x）．所以f’(2）=0．（Ⅱ)f'（x）=（2x+a）e﹣x﹣e﹣x(x2+ax+a）=e﹣x[﹣x2+（2﹣a）x]=﹣e﹣x?x[x﹣（2﹣a)]．令f’（x）=0，得x=0或x=2﹣a．若2﹣a=0，即a=2時，f’(x)=﹣x2e﹣x≤0恒成立,此時f（x）在區(qū)間（﹣∞,+∞）上單調(diào)遞減，沒有極小值；當(dāng)2﹣a＞0，即a＜2時，若x＜0，則f’（x）＜0．若0＜x＜2﹣a，則f’（x）＞0．所以x=0是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)．當(dāng)2﹣a＜0，即a＞2時，若x＞0，則f'（x）＜0．若2﹣a＜x＜0，則f’（x）＞0．此時x=0是函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)．綜上所述，使函數(shù)f(x）在x=0時取得極小值的a的取值范圍是a＜2．（Ⅲ）由(Ⅱ）知當(dāng)a＜2，且x＞2﹣a時，f’（x）＜0,因此x=2﹣a是f(x）的極大值點(diǎn)，極大值為f（2﹣a）=(4﹣a）ea﹣2．所以g（x）=（4﹣x）ex﹣2（x＜2）．g’(x)=﹣ex﹣2+ex﹣2(4﹣x）=(3﹣x）ex﹣2．令h（x）=(3﹣x）ex﹣2(x＜2）．則h'（x）=（2﹣x）ex﹣2＞0恒成立，即h（x）在區(qū)間（﹣∞，2）上是增函數(shù)．所以當(dāng)x＜2時，h(x)＜h(2)=(3﹣2）e2﹣2=1,即恒有g(shù)'（x）＜1．又直線3x﹣2y+m=0的斜率為,所以曲線y=g(x）不能與直線3x﹣2y+m=0相切．點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)模型的選擇，考查了函數(shù)存在極值點(diǎn)的條件，需要注意的是,函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)一定等于0，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),此題有一定難度．19．(13分)（2013?東城區(qū)一模）已知橢圓(a＞b＞0）的兩個焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為，過F1的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且△MNF2的周長為8．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過原點(diǎn)O的兩條互相垂直的射線與橢圓C分別交于A,B兩點(diǎn)，證明：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，并求出這個定值．考點(diǎn):直線與圓錐曲線的關(guān)系;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．3797161專題:綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（Ⅰ）由△MNF2的周長為8,得4a=8，由，得，從而可求得b；（Ⅱ)分情況進(jìn)行討論：由題意,當(dāng)直線AB的斜率不存在,此時可設(shè)A（x0，x0），B（x0，﹣x0),再由A、B在橢圓上可求x0，此時易求點(diǎn)O到直線AB的距離；當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，知△＞0,由OA⊥OB,得x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+m)（kx2+m）=0，整理后代入韋達(dá)定理即可得m，k關(guān)系式，由點(diǎn)到直線的距離公式可求得點(diǎn)O到直線AB的距離，綜合兩種情況可得結(jié)論,注意檢驗(yàn)△＞0．解答:解：（I)由題意知，4a=8，所以a=2．因?yàn)?所以，所以b2=3．所以橢圓C的方程為．（II）由題意，當(dāng)直線AB的斜率不存在，此時可設(shè)A(x0，x0），B（x0,﹣x0）．又A，B兩點(diǎn)在橢圓C上，所以，．所以點(diǎn)O到直線AB的距離．當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．由消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由已知△＞0，設(shè)A(x1，y1）,B（x2，y2）．所以，．因?yàn)镺A⊥OB,所以x1x2+y1y2=0．所以x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，即．所以．整理得7m2=12（k2所以點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查學(xué)生分析解決問題的能力，弦長公式、韋達(dá)定理是解決該類問題的常用知識，要熟練掌握．20．（13分)（2013?東城區(qū)一模）設(shè)A是由n個有序?qū)崝?shù)構(gòu)成的一個數(shù)組，記作：A=(a1，a2，…,ai，…，an）．其中ai(i=1，2,…，n）稱為數(shù)組A的“元”,S稱為A的下標(biāo)．如果數(shù)組S中的每個“元”都是來自數(shù)組A中不同下標(biāo)的“元”,則稱A=（a1，a2，…,an）為B=（b1，b2,…bn)的子數(shù)組．定義兩個數(shù)組A=（a1，a2，…,an），B=（b1,b2，…，bn）的關(guān)系數(shù)為C（A，B）=a1b1+a2b2+…+anbn．（Ⅰ）若，B=（﹣1，1，2，3)，設(shè)S是B的含有兩個“元”的子數(shù)組，求C（A,S）的最大值；（Ⅱ)若，B=（0，a,b,c）,且a2+b2+c2=1，S為B的含有三個“元”的子數(shù)組，求C（