關(guān)于高斯定理與高斯定律關(guān)系的思考

關(guān)于高斯定理與高斯定律關(guān)系的思考

在目前的中國(guó)高等教育中，程守朱和姜志永的《普通物理》（中國(guó)政法大學(xué)出版，以下簡(jiǎn)稱《教材1》）和張三暉的《大學(xué)物理》（清華大學(xué)出版社出版，以下簡(jiǎn)稱《教材2》）應(yīng)用廣泛，學(xué)生人數(shù)眾多。但兩種教材在靜電學(xué)規(guī)律的提法上卻有所不同,教材1稱為“高斯定理”,而教材2則為“高斯定律”。部分同學(xué)雖意識(shí)到兩種提法不同,但并沒有做進(jìn)一步的思考,認(rèn)為這只是名稱上的不同而已,并無其他深意。其實(shí)這兩種不同的提法隱含了教材作者對(duì)靜電場(chǎng)高斯定理(定律)與庫侖定律關(guān)系的兩種不同認(rèn)識(shí)。本文討論僅限于靜電場(chǎng)與靜止電荷。一、關(guān)于庫侖定律與高斯定律的關(guān)系。靜電場(chǎng)在國(guó)內(nèi)七八十年代的代表性教材中,普遍認(rèn)為庫侖定律是靜電學(xué)基本規(guī)律,因而稱其為“定律”。而高斯定理只是其推論之一,另一推論是靜電場(chǎng)環(huán)路定理,兩者相加才等于庫侖定律,因而稱其為高斯“定理”。認(rèn)為高斯定理與庫侖定律完全等價(jià)或認(rèn)為從高斯定理出發(fā)可以導(dǎo)出庫侖定律的看法是欠妥當(dāng)?shù)?因?yàn)楦咚苟ɡ聿]有反映靜電場(chǎng)是有心力場(chǎng)這一特性。實(shí)際上,不增附任何條件,如點(diǎn)電荷電場(chǎng)的方向沿徑向或具有球?qū)ΨQ性等條件,并不能從高斯定理導(dǎo)出庫侖定律。庫侖定律不但說明電荷間的作用力服從平方反比律,而且說明電荷間的作用力是有心力。因此在靜電范圍內(nèi),庫侖定律比高斯定理包含更多的信息。隨著歷史的發(fā)展,我們對(duì)于庫侖定律與高斯定理之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)也有所發(fā)展。教材1中指出“高斯定理和庫侖定律都是靜電場(chǎng)的基本定律,在這里,高斯定理是由庫侖定律加場(chǎng)強(qiáng)疊加原理導(dǎo)出的,但兩者在物理含義上并不相同。庫侖定律把場(chǎng)強(qiáng)和電荷直接聯(lián)系起來,而高斯定理將場(chǎng)強(qiáng)的通量和某一區(qū)域內(nèi)的電荷聯(lián)系在一起?！彪m然教材1指出高斯定理和庫侖定律都是靜電場(chǎng)的基本規(guī)律,但在提法上仍稱其為“高斯定理”,而并未稱其為“定律”。二、靜電場(chǎng)的高斯定律與庫侖定律的實(shí)然關(guān)系教材1中仍稱為“高斯定理”,筆者認(rèn)為有兩方面的原因。首先是在歷史上國(guó)內(nèi)的主流教材一直稱其為“高斯定理”,因而該教材沿襲了這種習(xí)慣性的提法;但更重要的是在“庫侖定律與靜電場(chǎng)高斯定理是否等價(jià)”這個(gè)問題上,教材1的回答是否定的,文中指出“單靠高斯定理描述靜電場(chǎng)是不完備的,只有和反映靜電場(chǎng)的另一定理——靜電場(chǎng)的環(huán)路定理結(jié)合起來,才能完整地描述靜電場(chǎng)?！痹趦?nèi)容的安排上只介紹了由庫侖定律加場(chǎng)強(qiáng)疊加原理導(dǎo)出高斯定理,并未談到由高斯定理結(jié)合空間的各向同性同樣可以導(dǎo)出庫侖定律。因此,教材1雖然承認(rèn)庫侖定律與高斯定理都是靜電場(chǎng)的基本規(guī)律,但并未承認(rèn)其等價(jià)性,認(rèn)為在靜電學(xué)范圍內(nèi)庫侖定律包含了比高斯定理更多的信息,高斯定理與環(huán)路定理相加才等于庫侖定律,因而稱為“高斯定理”。教材2中則稱為“高斯定律”。其中提到,由庫侖定律(已暗含了空間的各向同性)和疊加原理可導(dǎo)出高斯定律,而在電場(chǎng)強(qiáng)度定義之后,也可以把“高斯定律”作為基本定律結(jié)合空間的各向同性而導(dǎo)出庫侖定律來。這說明,對(duì)靜電場(chǎng)來說庫侖定律和高斯定律并不是互相獨(dú)立的定律,而是用不同形式表示的電場(chǎng)與場(chǎng)源電荷關(guān)系的同一客觀規(guī)律,并明確指出“對(duì)于靜止電荷的電場(chǎng),可以說庫侖定律與高斯定律二者等價(jià)?！睅靵龆芍赋?兩個(gè)靜止電荷之間作用力的大小與距離的平方成反比,作用力方向?yàn)檫B線方向。由庫侖定律及場(chǎng)強(qiáng)疊加原理可導(dǎo)出靜電場(chǎng)的高斯定理和環(huán)路定理。而從靜電場(chǎng)的高斯定理卻只能得出電力的平方反比性質(zhì),必須借助空間的各向同性才能得到力的方向是連線方向,從而得到庫侖定律。由此看來,庫侖定律與高斯定理似乎是不等價(jià)的。但是,仔細(xì)考察庫侖扭秤實(shí)驗(yàn)和卡文迪許-麥克斯韋實(shí)驗(yàn),就能發(fā)現(xiàn)由實(shí)驗(yàn)直接得到的只是電力大小與距離平方成反比。庫侖定律中的作用力沿連線方向并非由實(shí)驗(yàn)得到,而是根據(jù)對(duì)稱性得到的結(jié)論。近代驗(yàn)證庫侖定律的實(shí)驗(yàn)都只限于討論平方反比律的精確度,因?yàn)殡娏ρ貜较虻慕Y(jié)論是點(diǎn)電荷這一理想模型的必然結(jié)果。由于點(diǎn)電荷自身不具有任何特殊方向,也沒有內(nèi)部結(jié)構(gòu),當(dāng)它靜止在各向同性空間中,所能產(chǎn)生的矢量只能是徑向?qū)ΨQ的,否則將違背因果律。因此,將電力沿徑向納入庫侖定律并當(dāng)成是庫侖得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是不合適的,庫侖定律描述的對(duì)象是點(diǎn)電荷之間的作用,因此點(diǎn)電荷是前提,所謂的“庫侖定律比高斯定理包含更多的信息”其實(shí)是來自點(diǎn)電荷的模型而非實(shí)驗(yàn)。由此可見,兩點(diǎn)電荷間作用力沿連線方向,或者說點(diǎn)電荷的場(chǎng)沿徑向都是對(duì)稱性原理的結(jié)果。而靜電場(chǎng)的環(huán)路定理即靜電場(chǎng)的無旋性,則是電力沿徑向的必然結(jié)果。因此,靜電場(chǎng)的高斯定律與庫侖定律的實(shí)質(zhì)都是電力與距離平方成反比,兩者是等價(jià)的。電力沿徑向以及由此得到的環(huán)路定理都是點(diǎn)電荷模型及空間各向同性的必然結(jié)果。三、兩種觀點(diǎn)的比較如果將兩點(diǎn)電荷間作用力沿連線方向作為庫侖的實(shí)驗(yàn)結(jié)果而納入庫侖定律,自然會(huì)得到高斯定理加對(duì)稱性原理等于庫侖定律的結(jié)論,那么,高斯定理就與庫侖定律不等價(jià)。如果認(rèn)為點(diǎn)電荷間作用力沿連線方向是對(duì)稱性原理的結(jié)果,那么庫侖定律和高斯定律的實(shí)質(zhì)都是電力大小與距離平方成反比,二者等價(jià)。綜上所述,兩種不同觀點(diǎn)的根本原因在于,把由對(duì)稱性得到的結(jié)論或者說將對(duì)稱性原理本身置于不同的地位、不同的層次。第一種觀點(diǎn)將其作為庫侖定律的一部分,而第二種觀點(diǎn)則將其置于庫侖定律以及高斯定律之上,認(rèn)為它是更高一層次的法則,庫侖定律與高斯定律都應(yīng)該遵循它,而不可能包含它趙凱華先生指出,自然界的規(guī)律是分層次的,正像一個(gè)國(guó)家,憲法是最高層次的法律;下面每個(gè)部門可以有自己的具體法規(guī),但不能與憲法相悖,不應(yīng)與上一層次的法規(guī)相抵觸。物理學(xué)家孜孜以求的,主要是那些適用性更廣泛的基本規(guī)律,如牛頓定律、麥克斯韋方程組等,而凌駕于這些基本