電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)關(guān)系的推導(dǎo)

電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)關(guān)系的推導(dǎo)

0電磁學(xué)教材中電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)關(guān)系的推導(dǎo)過(guò)程林場(chǎng)強(qiáng)度和勢(shì)是物理知識(shí)的重要組成部分，是理解和掌握電磁學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。在中國(guó)經(jīng)典的電磁學(xué)教材中，由于等勢(shì)面法線方向的不一致，現(xiàn)場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)面的電勢(shì)法之間存在明顯差異，因此在某些教育中很難理解其過(guò)程。因此，我們使用電勢(shì)梯度法和向量迭代法來(lái)解釋場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)關(guān)系的過(guò)程，對(duì)于實(shí)際教育具有指導(dǎo)意義。1電勢(shì)力與衰落的關(guān)系1.1電勢(shì)梯度gradent設(shè)在電場(chǎng)中,取兩個(gè)十分臨近的等勢(shì)面1和2(如圖1所示),其電勢(shì)為V和V+dV(dV>0).設(shè)p1為等勢(shì)面1上的一點(diǎn),過(guò)p1點(diǎn)作等勢(shì)面1的法線n,規(guī)定其指向電勢(shì)增加方向,它與等勢(shì)面2交于p2點(diǎn),場(chǎng)強(qiáng)E與n的方向相反.再由p1點(diǎn)向等勢(shì)面2任作一條直線交于p3點(diǎn).從p1向p3引一位移矢量dl,根據(jù)電勢(shì)差的定義,并考慮到兩個(gè)等勢(shì)面非常接近,因此:E≈常矢量,則有:V-(V+dV)=E·dl=Ecosθdl即:-dV=Ecosθdl,令El=Ecosθ為場(chǎng)強(qiáng)在dl方向上的投影,則有:El=-dV/dl.電場(chǎng)中某點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)沿任意dl方向的投影等于沿該方向電勢(shì)函數(shù)的空間變化率(電勢(shì)函數(shù)的方向?qū)?shù))的負(fù)值.兩個(gè)特殊方向:(1)當(dāng)θ=π時(shí),dl沿n方向,與E方向相反,dVdl有最大值,則該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為:E=|En|=dVdl.(2)當(dāng)θ=π/2時(shí),dl沿τ方向,與E方向相垂直,dVdl有最小值,則該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為零,即:Ex=0.定義電勢(shì)梯度(gradient)矢量:gradV=?V=dVdnn.電勢(shì)梯度的大小等于電勢(shì)在該點(diǎn)的最大空間變化率;方向沿等勢(shì)面法向,指向電勢(shì)增加的方向.E=-dVdnn=-gradV=-△V.電場(chǎng)中任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)E,等于該點(diǎn)電勢(shì)沿等勢(shì)面法線方向的方向?qū)?shù)的負(fù)值,即E的大小等于該點(diǎn)電勢(shì)沿等勢(shì)面法線方向的方向?qū)?shù),E的方向與法線方向相反.在直角坐標(biāo)系,有:Ex=-dVdx?Ey=-dVdy?Ez=-dVdz.于是電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)關(guān)系的矢量表達(dá)式可寫成E=-(?V?xi+?V?yj+?V?zk).1.2直角坐標(biāo)系的建立對(duì)于點(diǎn)電荷E=q4πε0rr3.由于rr3=-?(1r),所以E=q4πε0[-?(1r)]=-?(q4πε0),即E=-?V.在直角坐標(biāo)系中E=(?V?xi+?V?yj+??V?zk),寫成標(biāo)量形式Ex=-?V?x?Ey=-?V?y?Ez=-?V?z;柱坐標(biāo)系中Ep=-?V?ρ?Eφ=-1ρ?V?φ?Eρ=-?V?z;球坐標(biāo)系中Er=-?v?r?Eθ=-1r?V?θ?Eφ=-1rsinθ?V?φ.2根據(jù)已知電池強(qiáng)度計(jì)算當(dāng)前電壓2.1場(chǎng)強(qiáng)evp、rondr2r2r2r2r2r2l40qr20qr20qr20qr20qr2r30qr2r3.空間有一點(diǎn)電荷q,與它相距r的點(diǎn)P的場(chǎng)強(qiáng)E=14πε0qr2?r,則Vp=∫∞r(nóng)E?dr=∫∞r(nóng)dr=∫∞r(nóng)14πε0qr2dr=14πε0qr.2.2點(diǎn)電荷的電勢(shì)空間有n個(gè)點(diǎn)電荷q1、q2、…qn,求任意一點(diǎn)P的電勢(shì).這時(shí)點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度E等于各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)在點(diǎn)P產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度E1、E2、…En的矢量之和,及E=E1+E2+…+En,所以點(diǎn)P的電勢(shì)可以表示為Vp=∫∞pE?dl=∫∞p(E1+E2+?+En)?dl=∫∞pE1?dl+∫∞pE2?dl+?+∫∞pdl=n∑i=1n∫∞pEi?dl.2.3帶電體內(nèi)部荷密度的測(cè)量一個(gè)帶電體在空間某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小:E=14πε0∫dqr2.式中r是電荷元dq到所討論的點(diǎn)P的距離.U=∫E?dl=∫E?dr=14πε0∫dqr2.在處理具體問(wèn)題時(shí),我們可以根據(jù)電荷在帶電體上的分布情況,分別引入體電荷密度、面電荷密度和線電荷密度,它們分別可寫為:Vτ=14πε0?τρdzr;Vs=14πε0?sσdsr;Vp=14πε0∫τλdlr.在計(jì)算電勢(shì)時(shí),如果已知電荷的分布,尚不知電場(chǎng)強(qiáng)度的分布,總可以利用上式直接計(jì)算電勢(shì).對(duì)于電荷分布具有一定對(duì)稱性的問(wèn)題,往往先利用高斯定理求出電場(chǎng)的分布,然后再計(jì)算電勢(shì).3已知電勢(shì)計(jì)的最大電壓3.1電偶極子的電偶極子及電場(chǎng)強(qiáng)度解:設(shè)A與+q和-q均在xoy平面內(nèi),A到+q和-q的距離分別為r+和r-,+q和-q單獨(dú)存在時(shí),A點(diǎn)的電勢(shì)為V+=q4πε0r+和V-=q4πε0r-.由電勢(shì)的疊加原理,A點(diǎn)的電勢(shì)為V=V++V-=q4πε0(1r+-1r-)=q4πε0(r--r+r+r-).對(duì)于電偶極子,l?r,所以r--r+=lcosθ,r+r-=r2于是V=q4πε0lcosθr2引入電偶極子的偶極矩p=q1,電勢(shì)為V=14πε0pcosθr2=p4πε0r2xr=p4πε0x(x2+y2)3/2.因而電場(chǎng)強(qiáng)度為Ex=-?V?x=-p4πε0y2-2x2(x2+y2)5/2,Ey=-?V?y=-p4πε0-3xy(x2+y2)5/2.在電偶極子的延長(zhǎng)線上y=0?Ex=2p4πε01x3?Ez=0.在電偶極子的中垂線上x(chóng)=0?Ex=-p4πε01y3?Ez=0.3.2電荷分布密度解1:用庫(kù)侖定律直接解.dE=14πε0dqr2e^r.其中,e^r是PQ方向的單位矢量.e^=-e^xsinθcosφ-e^ysinθsinφ+e^zcosθ,dq=λdl=λRdφ.λ線電荷密度,cosθ=zr由于電荷分布沿z軸對(duì)稱,因此場(chǎng)強(qiáng)只沿z軸方向.E=14πε0λRr2∫02πe^zcosθdφEz=λR4πε0Ζr3×2π=λRΖ2ε0(R2+Ζ2)3/2,Ex=0?Ey=0.解2:先求電勢(shì)dU=14πε0dqr,其中dq=λdl,r=