《應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課件第七章　典型習(xí)題解答與提示

第七章空間圖形典型習(xí)題解答與提示習(xí)題7-11．（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×；（6）×；（7）√；（8）√；（9）√。2．設(shè)直線和兩條平行線，分別相交于A、B兩點，則A、B在由、所確定的平面內(nèi)，于是也在這個平面內(nèi)，三條直線共面。習(xí)題7-21．（1）×；（2）×；（3）√；（4）√；（5）√；（6）×；（7）×；（8）×；（9）√；（10）√；（11）×；（12）×。2．設(shè)直線∥平面，過做一平面和平面相交于直線，則∥，在上任取兩點A、B，過A、B在平面內(nèi)做兩條平行線交于C、D兩點，則四邊形ABCD為平行四邊形，所以AC＝BD（圖7-18）。圖圖7-19題4圖形圖圖7-18題2圖形3．略4．設(shè)角的頂點是O，點P上斜線上某一點，過P分別做角兩邊的垂線，垂足為A和B，顯然，則PA＝PB，OA＝OB。設(shè)P在角所在平面上的射影點為C，顯然AC＝BC，于是，則（圖7-19）。圖7-20題圖7-20題6圖形6．設(shè)正六邊形某邊兩端點為A、B，則OA＝2，于是。設(shè)E為AB中點，則，則（圖7-20）。7．。8．設(shè)點，過A做直線∥，則圖7-21題8圖形和所確定的平面∥圖7-21題8圖形過B做直線∥，則和所確定的平面∥，因為與相交，所以，∥（圖7-21）。9．略。圖7-22題圖7-22題11圖形11．設(shè)已知點為A，它在棱上的射影點為B，它在另一平面上射影點為C，則為一直角三角形，AB為斜邊，AC為一直角邊，易得二面角為（圖7-22）。圖圖7-23題12圖形止，設(shè)B在坡腳水平線上射影點為C，在地平面上射影點為D，則為二面角的平面角，，，所以。圖圖7-24題14圖形14．如圖7-24所示，設(shè)點、是從棱出發(fā)的一個半平面內(nèi)任兩點，它們在二面角的兩個面上的射影點分別為B、C和、，則，所以。15．，，所以是二面角的平面角。已知二面角為直二面角，故。由已知得，，且，，。又為等邊三角形，所以。16．如圖7-25所示，設(shè)、為異面直線，、是公垂線在異面直線上的垂足，、是滿足題設(shè)條件的點，過做∥，圖7-25題16圖形圖7-25題16圖形為直角三角形，且。為的三角形，且，，因而，可算得，。若在的另一側(cè)，同理可得習(xí)題7-3圖7-25題4圖7-25題4圖形2．。3．略4．如圖7-26所示，設(shè)平行六面體的高為，底面對角線長為和，則，故側(cè)5．提示：設(shè)三棱長比值為，則三棱長為、2、3。6．三棱柱側(cè)面被截出三個部分：一個長方形，其高為，長為，面積為。兩個全等的平行四邊形，其高為，底為，面積為。所以截出的總面積為。7．（1）略；（2）。8．側(cè)面高；二面角。9．設(shè)棱錐高為，，解得，或（舍去）。10．略。11．約。12．棱錐側(cè)面高，S側(cè)面13．顯然，題設(shè)是一個正棱錐，現(xiàn)就一個側(cè)面來證。設(shè)底面邊長為，斜高為，它在底面上的射影為，則該側(cè)面在底面上的射影部分的面積側(cè)。14．。15．設(shè)棱臺高，原棱錐高，則，解得或（舍去，因為應(yīng)有）。16．略。17．。18．設(shè)上底邊長為，下底邊長為，上底面面積為，下底面面積為，，側(cè)面面積為，則，解得。19．側(cè)面積，過相對側(cè)截面面積。20．。21．設(shè)原棱錐高為，截得棱錐高為。，解得。22．截得小棱錐側(cè)高及側(cè)面三角形底邊與原棱錐側(cè)高及側(cè)面三角形底邊之比都為1：2，所以小棱錐側(cè)面積與原棱錐側(cè)面積之比為1：4。故截得兩部分的側(cè)面積比為1：3。23．設(shè)棱臺高為，則，解得。習(xí)題7-41．。2．略。3．設(shè)圓臺高，母線長，上下底半徑分別為、、、，，解得，則，，。4．設(shè)圓錐截面積為，則，，于是所求截面面積5．。6．圓心角，側(cè)面面積7．提示：的弧度數(shù)為。8．設(shè)北緯圈半徑為，，所以甲、乙兩地之間緯線長。9．A、B兩點徑度相差，所以它們間的球面距離的海里數(shù)（nmile）。10．。11．。12．，。13．提示：截下部分的橫截面面積。14．，，，15．設(shè)圓臺上、下底面半徑為、，母線為，高為，，由S側(cè)面，得，則，代入圓臺體積公式解得。16．圓孔分三部分：兩頭是兩個相同的球缺，中間是一個圓柱。圓柱體積。球缺高。兩個球缺的體積＋圓柱體積。所剩部分體積球體積－圓孔體積。17．利用相似形，求得。球重水下球缺體積水相對密度。復(fù)習(xí)題七略。（1）×；（2）×；（3）√；（4）√；（5）×。設(shè)點P在平面上的射影點為E，在AC、BC上射影點分別為F、G，點E在C平分線上，四邊形EFCG是一個正方形有。，，則，顯然，PCE＝。設(shè)點A在某邊上射影點有B，。，。所以，。。由相似形可知，長為的直角邊在斜邊上的射影長為，長為的直角邊在斜邊上的射影長為。將直角三角形折成直二面角后，原直角三角形的兩個銳角頂點間連線的平方為，由余弦定理，。得（為題目所指的角）。顯然AC＝5，設(shè)B、D在AC上的射影點分別為點E、F，由相似形，CE，EF，BEDF，于是B與D的距離為。若A、B在兩側(cè)，則A、B連線與的交點即為所求點C。若A、B在同側(cè)，則做A關(guān)于的對稱點D，B與D連線與的交點即為所求點C。10．平面與截面的交線即為的一個高，且與BD成角。所以。11．與底面垂直的側(cè)面的一個銳角是角度為的二面角的平面角。由此，設(shè)棱錐高為，則。12．設(shè)上、下底邊長分別為、，，得，。13．略。14．設(shè)內(nèi)接正方體棱長為，，解得，。15．設(shè)圓臺上、下底面半徑分別為、，。設(shè)圓臺所對應(yīng)的圓錐的高為，。設(shè)圓臺上面的圓錐的高為，則。因為，，故。16．北緯緯圓半徑，甲、乙兩地緯度圈上的弧所對圓心角，也就是說甲乙兩地間直線距離等于緯圓的直徑R。因此，它們之間的球面距離是。17．。。18．設(shè)題給平行六面體中，，，，底面面積。在底面上射影E恰在相應(yīng)的角平分線上，設(shè)在棱AB上的射影點為F，連接EF，，，。。所以，。19．由于上、下面半徑比為2：5，且母線長為5cm，所以側(cè)面展開的環(huán)扇形的小半徑，大半徑。又圓心角為，則小扇形面積為，大扇形面積為，由此得到側(cè)面面積為。20．直角三角形斜邊上的高為12cm，這個旋轉(zhuǎn)體是由兩個圓錐體組成：一個高9cm，底面半徑12cm，另一個高16cm，底面半徑12cm，所以，旋轉(zhuǎn)體體積。21．設(shè)球半徑為R，正方體的棱長為，球體積解得。22．由題設(shè)，A繞圓錐一周到B的連線在圓錐側(cè)面展開圖中應(yīng)為直線段。設(shè)其長為，，則。23．過頂點做PO垂直于底面，O是垂足，則O是的中心，連接CO，并延長交AB于D，則CDAB。連接PD，則PDAB，所以PDC是側(cè)面PAB的和底面CAB所成二面角的平面角，即PDC＝。在直角POD中，。在中，。在直角中，。所以，正三棱錐的全面積。24．所需鐵皮面積為。25．做軸截面，得正三角形，其高為H，設(shè)圓錐底面半徑為R，母線長為L，則所以圓錐的體積和全面積分別是，。2