數(shù)學(xué)北師大版必修4導(dǎo)學(xué)案2.3.2平面向量基本定理

3.2平面向量基本定理問題導(dǎo)學(xué)1．用基底表示向量活動(dòng)與探究1如圖所示，在ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)，已知eq\o(AM,\s\up6(→))＝c，eq\o(AN,\s\up6(→))＝d，試用c，d表示eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))．遷移與應(yīng)用設(shè)M，N，P是△ABC三邊上的點(diǎn)，它們使eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，試用a，b將eq\o(MN,\s\up6(→))，eq\o(NP,\s\up6(→))，eq\o(PM,\s\up6(→))表示出來．用基底表示向量的方法技巧(1)熟練應(yīng)用平行四邊形法則和三角形法則以及線性運(yùn)算；(2)充分利用相等向量，相反向量和線段的比例關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化；(3)充分利用幾何圖形的性質(zhì)，如平行、相似、全等、中位線等；(4)充分利用首尾相接的各向量之和為0；(5)注意a，b不共線，則0＝0·a＋0·b是唯一的；(6)若直接利用基底表示比較困難，則利用“正難則反”的原則，采用方程思想來求解．2．平面向量基本定理的應(yīng)用活動(dòng)與探究2平面內(nèi)有一個(gè)△ABC和一點(diǎn)O(如圖)，線段OA，OB，OC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G；BC，CA，AB的中點(diǎn)分別為L(zhǎng)，M，N，設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c．(1)試用a，b，c表示向量eq\o(EL,\s\up6(→))，eq\o(FM,\s\up6(→))，eq\o(GN,\s\up6(→))；(2)證明：線段EL，F(xiàn)M，GN交于一點(diǎn)且互相平分．遷移與應(yīng)用如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b．(1)用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))；(2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．利用平面向量基本定理解決幾何問題：(1)平面向量的基本定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，用向量解決幾何問題時(shí)，可以選擇適當(dāng)?shù)幕祝畬⑾嚓P(guān)量表示為向量形式，通過向量運(yùn)算解答問題．(2)常見類型有證明三點(diǎn)共線，證明直線平行，證明線段相等．當(dāng)堂檢測(cè)1．已知向量e1，e2不共線，實(shí)數(shù)x，y滿足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，則x－y的值等于()．A．3B．－3C．0D．22．已知ABCD為矩形，E是DC的中點(diǎn)，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BE,\s\up6(→))＝()．A．b＋eq\f(1,2)aB．b－eq\f(1,2)aC．a(chǎn)＋eq\f(1,2)bD．a(chǎn)－eq\f(1,2)b3．如果e1，e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，那么()．A．若實(shí)數(shù)λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0B．空間任一向量a可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2，這里λ1，λ2是實(shí)數(shù)C．對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α內(nèi)D．對(duì)平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實(shí)數(shù)λ1，λ2有無數(shù)對(duì)4．D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，給出下列向量表達(dá)式：①eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a－b；②eq\o(BE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b；③eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b；④eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0．其中正確的序號(hào)為________．5．已知O是直線AB外一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)x，y使得eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，且x＋y＝1．求證：A，B，C三點(diǎn)共線．提示：用最精煉的語言把你當(dāng)堂掌握的核心知識(shí)的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫下來并進(jìn)行識(shí)記。答案：課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】a＝λ1e1＋λ2e2基底預(yù)習(xí)交流1提示：(1)不唯一．同一平面可以有無數(shù)組不同的基底，因此，對(duì)不同的基底，同一向量的分解是不唯一的，但基底給定時(shí)，向量的表示方法唯一．(2)基底具備兩個(gè)主要特征：①基底是兩個(gè)不共線的向量；②基底的選擇是不唯一的．平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個(gè)向量可以作為這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件．預(yù)習(xí)交流2提示：可能不同．預(yù)習(xí)交流3B課堂合作探究【問題導(dǎo)學(xué)】活動(dòng)與探究1解：設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，因?yàn)镸，N分別為CD，BC的中點(diǎn)，所以eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝b＋\f(1,2)a，,d＝a＋\f(1,2)b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)2d－c，,b＝\f(2,3)2c－d.))即eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2d－c)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(2c－d)．遷移與應(yīng)用解：eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(CN,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)a.同理可得eq\o(NP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b，eq\o(PM,\s\up6(→))＝－eq\o(MP,\s\up6(→))＝－(eq\o(MN,\s\up6(→))＋eq\o(NP,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.活動(dòng)與探究2解：(1)如題圖，∵eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a，eq\o(OL,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)，∴eq\o(EL,\s\up6(→))＝eq\o(OL,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b＋c－a)．同理：eq\o(FM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋c－b)，eq\o(GN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b－c)．(2)設(shè)線段EL的中點(diǎn)為P1，則eq\o(OP1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OL,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)(a＋b＋c)．設(shè)FM，GN的中點(diǎn)分別為P2，P3，同理可求得eq\o(OP2,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(a＋b＋c)，eq\o(OP3,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(a＋b＋c)．∴eq\o(OP1,\s\up6(→))＝eq\o(OP2,\s\up6(→))＝eq\o(OP3,\s\up6(→)).即EL，F(xiàn)M，GN交于一點(diǎn)，且互相平分．遷移與應(yīng)用(1)解：如圖所示，延長(zhǎng)AD到G，使eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，連接BG，CG，得到平行四邊形ABGC，則eq\o(AG,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)(b－2a)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a＝eq\f(1,2)(b－2a)．(2)證明：由(1)知，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))共線．又eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))有公共點(diǎn)B，∴B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．【當(dāng)堂檢測(cè)】1．A2．B3．A4．①②③④5．證明：由x＋y＝1，eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→)