大學(xué)物理B層次-第四章 狹義相對(duì)論

第四章狹義相對(duì)論(specialrelativity)愛因斯坦Einstein(1879—1955)1

愛因斯坦的相對(duì)論分為狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論。前者分析時(shí)空的相對(duì)性,建立高速運(yùn)動(dòng)力學(xué)方程;后者論述彎曲時(shí)空和引力理論。

相對(duì)論和量子理論是20世紀(jì)物理學(xué)的兩個(gè)最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)。我們首先介紹相對(duì)論，再討論量子論。

本章僅限于介紹狹義相對(duì)論的內(nèi)容。狹義相對(duì)論討論的主要問題是：時(shí)空觀，即討論時(shí)間、空間及物質(zhì)運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。狹義：討論慣性系間的時(shí)空關(guān)系。21.伽利略變換—經(jīng)典力學(xué)時(shí)空觀的數(shù)學(xué)表達(dá)

設(shè)慣性系S′相對(duì)慣性系S以速度u沿x軸正方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，§4-1

伽利略變換和經(jīng)典力學(xué)時(shí)空觀

現(xiàn)在從S、S′系對(duì)同一質(zhì)點(diǎn)P進(jìn)行觀測(cè)，它在兩慣性系中的時(shí)空關(guān)系為：

且兩慣性系的各對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸相互平行,而當(dāng)t=t′=0時(shí)兩坐標(biāo)系的原點(diǎn)o與o′重合。?PxySuutxoz3速度變換與加速度變換:zzyyxxaaaaaa=￠=￠=￠a=a′4

經(jīng)典力學(xué)認(rèn)為,物體的質(zhì)量與運(yùn)動(dòng)無關(guān)，于是有a=a′

這就是說,

力學(xué)規(guī)律(牛頓運(yùn)動(dòng)定律)對(duì)一切慣性系來說,都具有相同的形式;或者說,在研究力學(xué)規(guī)律時(shí)，一切慣性系都是等價(jià)的。力學(xué)規(guī)律(牛頓運(yùn)動(dòng)定律)在伽利略變換下的這種不變性，叫做力學(xué)相對(duì)性原理，或伽利略相對(duì)性原理。

應(yīng)當(dāng)注意：這里說的不變，是力學(xué)規(guī)律(牛頓運(yùn)動(dòng)定律)的形式不變，而不是所有的力學(xué)量的形式不變。52.經(jīng)典力學(xué)的時(shí)空觀(1)同時(shí)性是絕對(duì)的。S(2)時(shí)間間隔是絕對(duì)的。或?qū)憺镾：兩事件同時(shí)發(fā)生，

t2-t1=0S′：t2′-t1′=t2-t1=0即在S′系兩事件也是同時(shí)發(fā)生的。6(3)空間間隔(距離)是絕對(duì)的。S

這就是說，同時(shí)性、時(shí)間間隔和空間距離都是絕對(duì)的，與參考系的選擇無關(guān)。而且，時(shí)間和空間是彼此獨(dú)立的、互不相關(guān)的，并且獨(dú)立于物質(zhì)和運(yùn)動(dòng)之外。這就是經(jīng)典力學(xué)的時(shí)空觀,也稱絕對(duì)時(shí)空觀。7這種絕對(duì)時(shí)空觀念，只適用于低速運(yùn)動(dòng)(并與通常人們頭腦中的時(shí)空觀念一致)；而在高速運(yùn)動(dòng)中，它的缺陷就明顯表現(xiàn)出來了。

3.伽利略變換的困難

首先是電磁現(xiàn)象的規(guī)律問題。

如果用伽利略變換對(duì)電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律(麥克斯韋方程組)進(jìn)行變換,發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律對(duì)不同的慣性系并不具有相同的形式?？梢?電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律不符合伽利略變換！

另一個(gè)問題是真空中的光速問題。大家都知道，真空的光速是c。可這個(gè)c是對(duì)什么參考系來說的呢？8

如果一個(gè)人以速度u平行于光的傳播方向運(yùn)動(dòng)，在你看來，他測(cè)得的光速應(yīng)該是

式中

o、o是兩個(gè)與參考系無關(guān)的常量,因此c也應(yīng)該與參考系無關(guān)。這些事實(shí)表明，光波或電磁波的運(yùn)動(dòng)不服從伽利略變換!c′=c±u可根據(jù)麥克斯韋電磁理論，光在真空中的速率由下式?jīng)Q定9

伽利略變換和電磁規(guī)律的矛盾引導(dǎo)人們?nèi)ニ伎?是伽利略變換正確而電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律不符合相對(duì)性原理呢?還是電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律符合相對(duì)性原理而伽利略變換應(yīng)該修正呢?在這些重大問題面前，當(dāng)時(shí)許多著名的物理學(xué)家絞盡腦汁，仍一籌莫展。有的把這形容為物理學(xué)晴朗天空邊際上的一朵烏云，預(yù)感到物理學(xué)中一場(chǎng)重大革命即將發(fā)生。1905年，富于創(chuàng)新精神的年僅26歲的青年物理學(xué)家愛因斯坦脫穎而出，對(duì)此進(jìn)行了深入的研究,力排眾議，發(fā)表了《論動(dòng)體的電動(dòng)力學(xué)》這篇論文,建立了嶄新的時(shí)空觀念，對(duì)此問題作出了對(duì)整個(gè)物理學(xué)帶有根本性變革意義的回答。10§4-2愛因斯坦狹義相對(duì)性的基本假設(shè)1.相對(duì)性原理

物理學(xué)定律在所有的慣性系中都具有相同的數(shù)學(xué)形式。

也就是說,物理學(xué)定律與慣性系的選擇無關(guān),所有的慣性系都是等價(jià)的。2.光速不變?cè)?/p>

在所有慣性系中,真空中的光速都具有相同的量值c。

也就是說,不管光源與觀察者之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)如何,在任一慣性系中的觀察者所觀測(cè)的真空中光速都是相等的。11§4-3洛侖茲變換設(shè)慣性系S

相對(duì)慣性系S以速度u沿x軸正方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)(如圖)，兩坐標(biāo)原點(diǎn)o與o

在t=t

=0時(shí)重合。現(xiàn)在我們來求此時(shí)在共同原點(diǎn)發(fā)生的一個(gè)事件(如一個(gè)光脈沖)，在p點(diǎn)觀察時(shí)這個(gè)事件在S和S

系中的時(shí)空關(guān)系。顯然y=y

,z=z

所以只需確立(x,t)與(x

,t

)之間的變換關(guān)系。?PxySuutxoz1.洛侖茲坐標(biāo)變換12

根據(jù)時(shí)空均勻性,我們有理由假定，對(duì)任一點(diǎn)P有如下線性關(guān)系關(guān)系：即：x=x′+ut′=0+C同理,考慮S′的原點(diǎn)o′,則有對(duì)于S系的原點(diǎn)o,任一時(shí)刻

S系:

x=0。

S′系:x′=-ut′。

根據(jù)狹義相對(duì)論的假設(shè)1—相對(duì)性原理,這兩個(gè)慣性系是等價(jià)的,因此x?PxySuutxoz13

根據(jù)狹義相對(duì)論的假設(shè)2—光速不變?cè)?在S系和S

系看來，光信號(hào)到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的坐標(biāo)應(yīng)分別為將兩式相乘得于是得x=ct，x

=ct

由前面的討論有：?PxySuutxoz14最后就得到洛侖茲坐標(biāo)變換：S′

S正變換S

S′

逆變換15

(1)當(dāng)u<<c時(shí),洛侖茲變換式就變成伽利略變換式：

(2)洛侖茲變換是物理定律的試金石。(3)這里值得一提的是,洛侖茲變換中的一個(gè)重要的因子S′

S16

因而得出推論：任何物體相對(duì)于另一物體的速度不可能等于或大于真空中的光速。即真空中的光速c是一切物體運(yùn)動(dòng)速度的極限。

迄今為止的實(shí)驗(yàn)完全支持了相對(duì)論的這一觀點(diǎn),人們還未發(fā)現(xiàn)存在以超光速運(yùn)動(dòng)的客體。

這一推論也符合因果律的要求。

如果u≥c,則就變?yōu)闊o窮大或有虛數(shù)值,這顯然是沒有物理意義的。17§4-4狹義相對(duì)論的時(shí)空觀1.長(zhǎng)度收縮

設(shè)有一剛性棒，相對(duì)于S

系靜止,沿x

軸方向放置,如圖所示。zxySuox1x2在S′系測(cè)量，長(zhǎng)度為在S系測(cè)量，長(zhǎng)度為

在S系中觀察,棒是運(yùn)動(dòng)的,因此必須在同一時(shí)刻測(cè)量該棒兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，即t2-t1=0。18由洛侖茲坐標(biāo)變換式,有由前：

這就是說,與棒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的觀察者測(cè)得棒的長(zhǎng)度l要比與棒相對(duì)靜止的觀察者測(cè)得棒的長(zhǎng)度lo(稱為固有長(zhǎng)度或原長(zhǎng))要短一些。即物體沿運(yùn)動(dòng)方向縮短了。最后得(同時(shí))19

應(yīng)當(dāng)指出,長(zhǎng)度收縮是一種相對(duì)論效應(yīng),并非棒的材料真的收縮了。由于長(zhǎng)度收縮只發(fā)生在物體運(yùn)動(dòng)的方向上,與物體運(yùn)動(dòng)方向垂直的方向上觀測(cè)長(zhǎng)度仍與原長(zhǎng)相等,所以物體的形狀、體積、密度等也會(huì)相應(yīng)發(fā)生變化。

2.時(shí)間膨脹(或鐘慢)

設(shè)有兩事件發(fā)生在S

系中的同一地點(diǎn)，但不同時(shí)刻，即S

系：(用固定在S′系中的時(shí)鐘來量度)S系：(用固定在S系中的時(shí)鐘來量度)20由洛侖茲坐標(biāo)變換式(7-13),有但

x

=0,于是有(同地)

也就是說,由相對(duì)事件發(fā)生地點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的慣性系中所量出的時(shí)間,與由相對(duì)事件發(fā)生地點(diǎn)靜止的慣性系中所量出的時(shí)間(稱為固有時(shí)間或原時(shí)),要延長(zhǎng)一些(時(shí)間膨脹)。換句話說,與時(shí)鐘作相對(duì)運(yùn)動(dòng)的觀察者來觀察時(shí),運(yùn)動(dòng)的時(shí)鐘走得慢些(鐘慢)。21

應(yīng)當(dāng)注意,時(shí)間膨脹或運(yùn)動(dòng)的時(shí)鐘變慢,完全來自相對(duì)性時(shí)空效應(yīng),與鐘表的具體運(yùn)轉(zhuǎn)無關(guān)。并且不僅對(duì)時(shí)鐘(包括擺的振動(dòng)周期或晶格振蕩的頻率等)如此,對(duì)一切生長(zhǎng)變化的進(jìn)程(包括生物鐘,如心跳的頻率等)也如此。

上面說的時(shí)間膨脹，是與事件發(fā)生地點(diǎn)作相對(duì)運(yùn)動(dòng)的慣性系S中的觀察者作的結(jié)論，她認(rèn)為S

系中運(yùn)動(dòng)的時(shí)鐘變慢了。反過來，S

系中的觀察者看到S系中的時(shí)鐘也是在運(yùn)動(dòng)的，于是認(rèn)為是S系中的時(shí)鐘變慢了。究竟是哪里的時(shí)鐘變慢了？應(yīng)當(dāng)說，兩個(gè)慣性系中的觀察者作的結(jié)論都是對(duì)的。因?yàn)樗袘T性系都是等價(jià)的。22

3.同時(shí)的相對(duì)性

設(shè)A、B兩事件同時(shí)發(fā)生在S

系的不同地點(diǎn)，即

可見，在S

系看來同時(shí)發(fā)生的事件，在S系看來就不是同時(shí)發(fā)生的。所以同時(shí)性是相對(duì)的。容易發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)慣性系中只有同時(shí)又同地發(fā)生的事件，在另一個(gè)慣性系看來才是同時(shí)的。既然同時(shí)性是相對(duì)的，那么早與晚的時(shí)間順序是否也是相對(duì)的呢？即一個(gè)參考系早發(fā)生的事件，在另一個(gè)參考系看來是否會(huì)晚發(fā)生呢？S:23

這種情況是完全可能的。但具有因果關(guān)系的事件的時(shí)間順序那是不會(huì)顛倒的。

綜上所述，按照相對(duì)論，時(shí)空與物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)是相互聯(lián)系的；空間距離、時(shí)間間隔、同時(shí)性也是相對(duì)的，它們隨物體與觀察者的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)而改變。這就是狹義相對(duì)論的時(shí)空觀。(同地)

(同時(shí))

小結(jié)：24

例題4-1試證明：

（1）如果兩個(gè)事件在某慣性系中是發(fā)生在同一地點(diǎn)，則對(duì)一切慣性系來說，該慣性系中測(cè)得的兩事件的時(shí)間間隔最短。

（2）如果兩個(gè)事件在某慣性系中是同時(shí)發(fā)生的，則對(duì)一切慣性系來說，該慣性系中測(cè)得的兩事件的空間距離最短。證：（2）（1）25

例題4-2

在慣性系K中觀測(cè)到相距

x=5×106m的兩點(diǎn)間相隔t=10-2s發(fā)生了兩事件,而在相對(duì)于K系沿x軸方向勻速運(yùn)動(dòng)的慣性系K

中觀測(cè)到這兩事件卻是同時(shí)發(fā)生的。試計(jì)算在K

系中發(fā)生這兩事件的地點(diǎn)間的距離

x

是多少？

解能否用長(zhǎng)度收縮公式？可以，由于K

系中兩事件是同時(shí)發(fā)生的。解得:u=0.6cK：K

：或26

例題4-3

在慣性系S中，有兩事件發(fā)生于同一地點(diǎn)，且第二事件比第一事件晚發(fā)生

t=2s;而在另一個(gè)慣性系S

中,觀測(cè)到第二事件比第一事件晚發(fā)生

t

=3s。那么在S

系中，測(cè)得發(fā)生這兩事件的地點(diǎn)之間的距離

x

是多少？

解：能否用時(shí)間膨脹公式？可以，由于在S系中，有同地的條件。解得：u=2.24×108(m/s)S

:S：

x=0,

t=2=6.71×108(m)27

例題4-4

一宇宙飛船相對(duì)地球以0.8c(c表示真空中的光速)的速度飛行。一光脈沖從船尾傳到船頭,飛船上的觀察者測(cè)得飛船長(zhǎng)為90m，地球上的觀察者測(cè)得光脈沖從船尾發(fā)出和到達(dá)船頭傳播了多少距離？解能否用長(zhǎng)度收縮公式計(jì)算？

因?yàn)楣饷}沖從船尾傳到船頭這個(gè)事件無論在哪個(gè)慣性系看來都不具有同時(shí)性。應(yīng)直接用洛侖茲變換計(jì)算。不行！u=0.8c,=270m28

例題4-5

在實(shí)驗(yàn)室測(cè)得,一細(xì)直棒以0.5c的速度運(yùn)動(dòng)，長(zhǎng)度為1米，且它與運(yùn)動(dòng)方向成45°角，求棒的固有長(zhǎng)度。

解固有長(zhǎng)度比1米長(zhǎng)還是短？長(zhǎng)。

S(實(shí)驗(yàn)室)：長(zhǎng)度為1米，與運(yùn)動(dòng)方向成45°角。

S

(棒):棒只在運(yùn)動(dòng)方向變短。=1.08m固有長(zhǎng)度:

x45°

yuozxyS292.相對(duì)論的速度變換§4-3洛侖茲變換將洛侖茲坐標(biāo)變換兩邊微分：30將第1式除以第4式：就得31正變換S

S逆變換S

S

32

例題4-6一原子以0.5c的速度離開一觀察者，該原子又沿運(yùn)動(dòng)方向向前以0.8c的速度發(fā)射一個(gè)電子，求電子相對(duì)于觀察者的速度。解電子相對(duì)于觀察者的速度：=0.5c+0.8c=1.3c對(duì)嗎？S(觀察者)：S′(原子)：u=0.5c,

錯(cuò)！33

例題4-7在地面上觀察，甲、乙兩火箭分別以0.5c和0.75c的速度相向飛行,求：(1)兩火箭的相對(duì)速度；(2)地面上觀測(cè)到的兩火箭的接近速度。解(1)S(地面)：S

(甲)：u=0.5c(甲),

x=0.75c(乙)-=-0.91c

(2)

接近=0.5c+0.75c=1.25c

這不違背相對(duì)論。相對(duì)論說，單獨(dú)看每一個(gè)物體的速度都不會(huì)超過光速。但同時(shí)觀測(cè)兩個(gè)物體的(接近)速度超光速是不足為奇的。這是相對(duì)論中速度的真正涵義。zxySou?甲?乙34

例題4-8地面上觀察，火箭A以0.8c的速度向正北飛行，火箭B以0.6c的速度向正西飛行，求由火箭A相對(duì)火箭B的速度。解：S(地面)：S

(B)：=0.6c=0.64c

=

xi+

yj′′′=0.6ci+0.64cjzxySuoAB35§4-5狹義相對(duì)論動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)1.相對(duì)論中的動(dòng)量和質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的定義仍為:

S系:

A球:速度

(向右),質(zhì)量m，

B球:靜止,質(zhì)量為mo；由于A、B作完全非彈性正撞，由動(dòng)量守恒有

假定有兩個(gè)完全相